1 绪论
材料力学的任务：在满足
强度（抵抗破坏的能力）
刚度（抵抗变形的能力）
稳定性（保持原有平衡形态的能力）
的要求下，为设计安全且经济的构件提供理论基础和计算方法。
可变形固体的基本假设：
连续性假设：认为物体内部物质不留空隙地充满其体积。
均匀性假设：认为物体内各处的力学性能相同。
各向同性假设：认为物体在各个方向上的力学性能相同（性能随方向变化的称为各向异性，如木材）。
外力及其分类：
按作用方式：
表面力（分布力、集中力）：作用于表面的力
体力（如重力、惯性力）：连续分布于物体个点的力
按时间性质：
静载荷（缓慢加载且不显著变化）
动载荷（如交变载荷、冲击载荷）
截面法（求内力的基本方法）：截 → 取 → 代 → 平衡
内力的概念与求解：内力是由于外力作用引起的物体内部各部分之间相互作用力的改变量。求解基本方法是截面法。
欲求某一截面上面的内力，先沿着该截面假想的把构件分成两部分，然后任意地取出一部分作为研究对象，并丢弃掉一部分。
用作用于截面上面的内力代替掉去除部分的作用。
建立取出部分的平衡方程，确定未知内力。
应力的概念：应力是内力在截面上某一点的分布集度，分为垂直于截面的正应力 (\(\sigma\)) 和相切于截面的切应力 (\(\tau\))。
\[p = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta A}\]
其单位通常为 Pa (\(1\text{N/m}^2\)) 或 MPa (\(10^6\text{Pa}\))。
变形与应变：变形是构件尺寸和形状的改变。应变用于度量一点处的变形程度，分为线应变 (\(\epsilon\)) 和 切应变 (\(\gamma\))。
\[\epsilon_m = \frac{\Delta s}{\Delta x}=\frac{M'N' - MN}{\Delta x}\]
一点处的线应变（正应变） \[\epsilon = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta x}\]
- \(\epsilon\)：该点在特定方向上的线应变，是一个无量纲的量。
切应变（角应变） \[\gamma = \lim_{\substack{MN \to 0 \\ ML \to 0}} \left( \frac{\pi}{2} - \angle L'M'N' \right)\]
\(\gamma\)：切应变，代表两相互垂直线段间夹角的变化量。有时会用\(\tan\)近似。
\(\angle L'M'N'\)：变形后两条原本相互垂直的线段之间的夹角。
小变形假设：认为构件的变形远小于其原始几何尺寸，在建立平衡方程时可按变形前的尺寸计算。
杆件变形的基本形式：轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲，以及它们的组合变形。
2 轴向拉伸压缩 剪切与挤压
2.1 轴向内力与应力
作用于杆件上的外力合力作用线与杆轴线重合，表现为杆件长度的伸长或缩短。
轴力 (\(F_N\))：通过截面法求得的横截面上的内力合力。是应力在横截面上的积分
\[F_N=\int_A \sigma dA\]
轴力图：反映轴力沿杆轴线变化的图形，习惯上拉力为正，压力为负。
横截面上的正应力： \[\sigma = \frac{F_N}{A}\]
\(\sigma\)：正应力（单位：Pa或MPa）。
\(F_N\)：该截面上的轴力。
\(A\)：杆件横截面积。
工程应力应变与真实应力应变的关系
真实应力\(\sigma_{true}=\frac{F}{A} = \frac{F}{A_0} \cdot \frac{L}{L_0}=\sigma(1+\epsilon)\)
真实应变\(\epsilon_{true}=\int_{L_0}^{L} \frac{dL}{L} = \ln\frac{L}{L_0}=ln(1+\epsilon)\)
主要用于大变形非线性问题的研究、金属塑性加工过程分析以及对材料应变硬化指数（\(n\)值）的科学研究。
斜截面上的应力（设斜截面法线与轴线夹角为 \(\alpha\)）：
正应力：\(\sigma_\alpha = \sigma \cos^2 \alpha\)
切应力：\(\tau_\alpha = \frac{\sigma}{2} \sin 2\alpha\)
整理得： \[ (\sigma_{\alpha}-\frac{\sigma}{2})^2+\tau_{\alpha}^2=(\frac{\sigma}{2})^2 \] 这正是一个单向应力状态下的应力莫尔圆。
- 最大值：当 \(\alpha=0^\circ\) 时，\(\sigma_{max} = \sigma\)；当 \(\alpha=45^\circ\) 时，\(\tau_{max} = \sigma/2\)。
戴维南定理 如果将作用在构件局部区域上的力系，用一个与其静力等效的力系（即合力和合力偶相同）来代替，那么这种代替仅在原力系作用区域的附近对应力分布有显著影响。
2.2 变形与胡克定律
胡克定律（弹性范围内）：
\[\sigma = E \epsilon \quad \text{或} \quad \Delta l = \frac{F_N l}{EA}\]
\(\Delta l\)：杆件的总伸长或缩短量。
\(E\)：材料的弹性模量（拉压刚度为 \(EA\)）。
\(l\)：杆件原长。
\(\epsilon\)：线应变（\(\epsilon = \Delta l / l\)）。
横向变形与泊松比： \[\mu = -\frac{\epsilon'}{\epsilon}\]
\(\mu\)：泊松比（横向变形系数）。
\(\epsilon'\)：横向线应变。
\(\epsilon\)：轴向线应变。
由于工程实际中绝大多数材料在轴向伸长时横向会缩小（或轴向缩短时横向增大），\(\epsilon'\) 与 \(\epsilon\) 符号相反，引入负号是为了使泊松比 \(\mu\) 在计算中表现为正值。 对于各向同性材料，泊松比的理论范围是 \(-1 \le \mu \le 1/2\)。
常见材料：通常在 \(0 < \mu < 1/2\) 之间（如钢材约为 0.25~0.33）。
不可压缩材料：当 \(\mu = 1/2\) 时，材料在变形过程中体积保持不变。
负泊松比：极少数材料（如某些多孔结构或 \(\alpha\)-方英石）具有负泊松比效应，即拉伸时横向也会增大。
2.3 材料的力学性能（受载形式、温度与时间影响）
2.3.1 材料在拉伸时的力学性能
塑性材料（以低碳钢为例）的四个阶段：
弹性阶段：应力与应变成正比，比例极限为 \(\sigma_p\)(proportional)，弹性极限 \(\sigma_e\),此阶段完全遵循胡克定律。
屈服阶段：应力在微小范围内波动，材料产生显著塑性变形。此时的应力称为屈服极限 \(\sigma_s\)(yield strength)（或上下屈服强度 \(ReH/ReL\)）。
强化阶段：材料恢复抗变形能力，需继续增加载荷才能继续变形，直到应力达到抗拉强度 \(\sigma_b\)(ultimate strength)（或 \(Rm\)）。
局部变形阶段（颈缩断裂）：试样局部截面急剧缩小，载荷下降，最终在颈缩处断裂。
脆性材料（以铸铁为例）：拉伸时变形极小即断裂，无明显的屈服现象，抗拉强度 \(\sigma_b\) 远低于塑性材料，是衡量其强度的唯一指标。
2.3.2 材料在压缩时的力学性能
低碳钢（塑性）：屈服极限与拉伸时大致相同。屈服后试样被压扁而不产生断裂，因此没有明确的抗压强度极限。
铸铁（脆性）：抗压能力远大于抗拉能力（通常为 3~5 倍）。破坏时产生约 \(45^\circ \sim 55^\circ\) 的斜断口，表现为剪切破坏特征。
2.3.3 塑性性能指标
用于衡量材料在断裂前产生永久变形的能力：
断后伸长率 (\(\delta\))：试样拉断后标距的残余伸长与原标距之比。
断面收缩率 (\(\psi\))：试样断口处缩颈截面积的减少量与原截面积之比。 注：工程上通常将 \(\delta > 5\%\) 的材料定为塑性材料（如钢、铝），\(\delta < 5\%\) 的定为脆性材料（如铸铁、石料）。
2.3.4 温度与时间因子的影响
温度的影响：
高温：随温度升高，材料的弹性模量 \(E\)、屈服极限 \(\sigma_s\) 和强度极限 \(\sigma_b\) 通常会降低，而塑性指标（\(\delta, \psi\)）可能上升。
低温：钢材在低温下倾向于变脆，强度极限可能有所提高但塑性急剧下降。
时间因子的影响（蠕变与松弛）：
蠕变 (Creep)：在高温环境下，即使应力保持恒定，材料的塑性变形也会随时间增加而缓慢增大，最终可能导致断裂。
松弛 (Relaxation)：在高温下，若构件的变形保持不变，材料会在恒定变形条件下通过缓慢的塑性/粘性流动来释放弹性储能，其内部应力会随时间增加而逐渐降低。
2.4 强度条件与失效
失效是指材料或构件由于力学行为使其丧失正常功能的现象。对于轴向拉压杆件，主要的失效形式包括：
强度失效：表现为塑性材料在载荷下产生显著的屈服（流动），或者脆性材料在变形极小时突然发生断裂。
屈曲失效：细长压杆在压力下失去原有的直线平衡形态而突然变弯（失稳）。
刚度失效：构件产生过量的弹性位移，导致机器无法正常工作。
极限应力是材料在失效前所能达到的最高应力值，其取值取决于材料的力学性质：
塑性材料（如低碳钢）：通常以屈服极限 (\(\sigma_s\)) 作为极限应力，因为一旦进入屈服阶段，产生的显著塑性变形通常会导致构件无法正常工作。
脆性材料（如铸铁）：由于没有明显的屈服现象，以强度极限 (\(\sigma_b\))（抗拉强度）作为极限应力。
强度条件：
\[\sigma = \frac{F_N}{A} \le [\sigma]\]
\([\sigma]\)：许用应力，\([\sigma] = \sigma_{limit} / n\)。
\(\sigma_{limit}\)：极限应力
- （塑性材料取 \(\sigma_s\)，脆性材料取 \(\sigma_b\)）。
\(n\)：安全系数\((n>1)\)
塑性材料：通常取 \(n_s = 1.2 \sim 2.5\)。
脆性材料：由于材料均匀性较差且断裂具有突发危险性，安全系数取值较高，通常为 \(n_b = 2.0 \sim 3.5\)，有时甚至高达 \(9\)。
根据上述强度条件，可以解决工程设计中的三类基本计算问题 ：
强度校核：在已知载荷、截面及材料的情况下，核算工作应力是否满足 \(\sigma \le [\sigma]\)。
截面设计：在已知载荷和材料的情况下，确定所需截面积 \(A \ge \frac{F_N}{[\sigma]}\)。
确定许可载荷：在已知截面和材料的情况下，计算构件所能承受的最大轴力 \(F_N \le A \cdot [\sigma]\)。
2.5 拉压应变能
应变能 (\(V_\epsilon\) 或 \(U\))： \[V_\epsilon = W =\int_0^{\Delta l_1}Fd(\Delta l)= \frac{1}{2}F\Delta l = \frac{F_N^2 l}{2EA}\]
应变能密度 (\(v_\epsilon\))： \[v_\epsilon =\frac{dV_\epsilon}{dV} = \int_0^{\epsilon_1}\sigma d\epsilon= \frac{1}{2} \sigma \epsilon= \frac{E\epsilon^2}{2}= \frac{\sigma^2}{2E}\]
2.6 简单超静定问题
特征：仅靠平衡方程无法求出所有未知力。
求解三部曲：
列平衡方程（静力方面）：根据构件的受力情况，利用静力学平衡条件列出方程。由于未知力多于方程，此时无法直接求解。
建立变形协调方程（几何方面）：分析由于构件受力（或温度变化等）产生的变形，根据结构连接处的位移相容性，找出各部分变形量之间的几何关系。
建立物理方程（物理方面）：利用胡克定律（如 \(\Delta l = \frac{F_N l}{EA}\)）将上述几何变形量表示为轴力的函数。
温度应力（热应力）： 在静定结构中，温度均匀变化时构件可以自由膨胀或收缩，不会产生内力。但在超静定结构中，由于多余约束限制了这种自由变形，从而在构件内部激起轴力。例如两端固定的杆件，其温度正应力为 \(\sigma_T = E \alpha_l \Delta T\)，其中 \(\alpha_l\) 为线膨胀系数。
装配应力： 由于制造误差，构件的实际尺寸（如长度）可能与名义尺寸不符（误差为 \(\delta\))。在强制将这些带有偏差的构件安装进超静定结构时，构件会发生相互挤压或拉伸，从而产生初始的内力和应力。这种在未受载荷前就存在的应力有时会严重削弱构件的承载能力，但也常被用于工程中的预应力设计。
2.7 应力集中
等截面的直杆在受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力通常被认为是均匀分布的。然而，当构件上存在圆孔、切口、沟槽、螺纹或轴肩等几何形状突变的部位时，这些部位截面上的应力分布将不再均匀。在孔径或切口附近的局部区域内，应力会剧烈增加，而在离开这些部位稍远的地方，应力又迅速降低并趋于均匀。
为了度量应力集中的程度，引入了理论应力集中因数，用 \(K_t\) 表示：
\[K_t = \frac{\sigma_{max}}{\sigma}\]
\(\sigma_{max}\)：应力集中处的最大工作应力。
\(\sigma\)：同一截面上的平均应力（按净截面面积计算)。
特性：\(K_t\) 是一个大于 1 的系数。截面尺寸改变越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度就越严重。
2.7.1 材料对应力集中的敏感性
不同力学性质的材料对应力集中的反应截然不同：
塑性材料（如低碳钢）：
在静载荷作用下，应力集中处的高应力达到屈服极限时，材料会产生局部塑性变形。随着载荷增加，塑性区扩展，使应力分布趋于平均，从而降低了应力不均匀的程度。
因此，对于塑性材料制成的零件，在静载荷下通常可以不考虑应力集中的影响。
脆性材料（如铸铁）：
由于缺乏屈服阶段，应力集中处的峰值应力会一直领先达到强度极限，导致构件产生微裂纹并迅速断裂。
因此，脆性材料对极其敏感，即使在静载荷下，应力集中也会严重削弱构件的承载能力。
2.7.2 疲劳与动载荷下的危害与工程减缓措施
无论材料是塑性还是脆性，在承受交变应力（疲劳载荷） 或 冲击载荷 时，应力集中都是极其危险的。它是产生疲劳裂纹的根源，裂纹在应力集中处萌生并不断扩展，最终导致构件在远低于强度极限的应力水平下发生突然断裂。
为了降低应力集中的危害，在设计构件时应采取以下措施：
尽可能避免带有尖角的孔和槽。
在阶梯轴的轴肩处采用圆弧过渡。
尽量增大圆弧的半径，使截面改变更加平缓。
2.8 剪切计算
名义切应力 (\(\tau\))： \[\tau = \frac{F_s}{A} \le [\tau]\]
\(F_s\)：剪切面上的剪力。
\(A\)：剪切面的面积。
\([\tau]\)：许用切应力。
2.9 挤压计算
- 挤压应力 (\(\sigma_{bs}\))： \[\sigma_{bs} = \frac{F}{A_{bs}} \le [\sigma_{bs}]\]
\(F\)：传递的挤压力。
\(A_{bs}\)：计算挤压面积。 平面接触：取实际面积。 圆柱面接触（如销钉）：取投影面积 \(A_{bs} = d \cdot \delta\)（\(d\) 为直径，\(\delta\) 为板厚）。
\([\sigma_{bs}]\)：许用挤压应力。
剪切面一般与挤压面垂直
3 扭转
杆件受到一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴线的力偶作用，使杆的任意两个横截面绕轴线发生相对转动，这就是扭转变形。如汽车转向轴、机床主轴、传动轴等。
3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
外力偶矩的换算：在工程中，通常根据轴传递的功率和转速来计算作用在轴上的外力偶矩。
扭矩 (\(T\))：应用截面法，由截开后一侧的外力偶矩平衡得到截面上的内力偶矩。
扭矩符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢量方向背离截面时为正，指向截面时为负。
扭矩图：反映扭矩沿杆轴线变化的图形。
外力偶矩计算公式： \[ {2\pi\times\frac{\{n\}_{r/min}}{60}}\times\{M_e\}_{N\cdot m}=\{P\}_{kW}\times1000 \] \[\{M_e\}_{N\cdot m} = 9550 \frac{\{P\}_{kW}}{\{n\}_{r/min}}\]
\(M_e\)：外力偶矩 (N·m)。
\(P\)：传递的功率 (kW)。
\(n\)：转速 (r/min)。
内力平衡方程：\[\sum M_x = 0 \Rightarrow T = M_e\]
- \(T\)：截面扭矩。
3.2 纯剪切
纯剪切状态：薄壁圆筒受扭时，其单元体各面仅受剪力作用而无正应力。
切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等、方向共同指向或背离两平面的交线。
- 切应变 (\(\gamma\))：直角改变量，用于度量剪切变形。
- 剪切胡克定律：在材料的剪切比例极限内，切应力与切应变成正比。
纯剪切核心公式：\(\tau = \tau'\)（互等定理）；
\(\tau = G\gamma\)（剪切胡克定律）；
\(G = \dfrac{E}{2(1+\mu)}\)
切应力互等定理：\[\tau = \tau'\]
剪切胡克定律：\[\tau = G \gamma\]
\(\tau\)：切应力 (MPa)。
\(G\)：切变模量（材料弹性常数，钢材约为 80 GPa）。
\(\gamma\)：切应变 (rad)。
三个弹性常数的关系：\[G = \frac{E}{2(1+\mu)}\]
\(E\)：弹性模量。
\(\mu\)：泊松比。
应变=柔度矩阵\(\times\) 应力
\[ \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\[4pt] \varepsilon_2 \\[4pt] \varepsilon_3 \end{bmatrix}= \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 & -\mu & -\mu \\[4pt] -\mu & 1 & -\mu \\[4pt] -\mu & -\mu & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1 \\[4pt] \sigma_2 \\[4pt] \sigma_3 \end{bmatrix} \]
体积应变 \(\theta\) 定义为单位体积的体积变化量：
\[ \begin{aligned} \theta &= \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 \\ &= \frac{1-2\mu}{E}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)\\ &= \frac{3(1-2\mu)}{E} \sigma_m \end{aligned} \]
体积变化定律 定义体积模量\(K\) \[ K = \frac{\sigma_m}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\mu)},\;\sigma_m = K\theta \]
- 剪切比能（应变能密度/畸变能密度）：\[v_\epsilon = \frac{\tau^2}{2G} = \frac{1}{2}G\gamma^2\]
应变能密度 \[ u=u_v+u_d=\frac{\sigma_m^2}{2K} + \frac{1}{12G}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2] \] 也就是 \[ u = \frac{1}{2}\{\sigma\}^T [C] \{\sigma\} = \frac{1}{2} \{\sigma_m\}^T [C] \{\sigma_m\} + \frac{1}{4G} \{s\}^T \mathbf{M} \{s\} \]
这里的 \(\mathbf{M}\) 是一个对角矩阵： \[ \mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]
一般的六维应力向量（工程记号） \[ \begin{aligned} \{\sigma\} = \begin{bmatrix}\sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy} & \tau_{yz} & \tau_{zx}\end{bmatrix}^T\\ \{\varepsilon\} = \begin{bmatrix}\varepsilon_x & \varepsilon_y & \varepsilon_z & \gamma_{xy} & \gamma_{yz} & \gamma_{zx}\end{bmatrix}^T\\ \end{aligned} \]
\(u_v\)：体积改变能密度（由应力球张量引起）
\(u_d\)：畸变能密度（由应力偏张量引起）
\(\sigma_m = (\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)/3\)：平均应力 \(s_x = \sigma_x - \sigma_m\)，\(s_y = \sigma_y - \sigma_m\)，\(s_z = \sigma_z - \sigma_m\)：这些 \(s\) 是偏应力
3.3 圆轴扭转时的应力
知识点：
平面假设：圆轴受扭后，其横截面仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线。
应力分布：横截面上任一点的扭转切应力力 \(\tau_\rho\) 与该点到圆心的距离 \(\rho\) 成正比，方向垂直于半径。\(\tau_\rho=k\rho\)
核心公式：
圆轴扭转切应力公式：\[T=\int_A \rho \cdot \tau_\rho dA,\;\tau_\rho = k \rho=\frac{T}{\int_A \rho^2dA}\rho =\frac{T}{I_p}\rho\]
\(\rho\)：该点到圆心的距离。
\(I_p\)：极惯性矩（截面二次极矩）截面抵抗扭转的几何能力。 在在匀质等截面、绕自身轴转动时转动惯量等于密度乘以极惯性矩
\(\frac{d\phi}{dx}=\frac{T}{GJ}\): 弹性力学求切应力分布
最大切应力：\[\tau_{max} = \frac{T}{W_p}\]
\(\tau_{max}=\frac{T}{W_t}\): 弹性力学求最大切应力
\(W_p\)：抗扭截面系数 (\(W_p = I_p / R\))。
几何性质（实心轴）：\[I_p = \int_0^{\frac{d}{2}}2\pi \rho\cdot\rho^2d\rho=\frac{\pi d^4}{32}, \quad W_p = \frac{\pi d^3}{16}\]
- \(d\)：轴直径。
几何性质（空心轴）：\[I_p = \int_{d/2}^{D/2} 2\pi\rho\cdot\rho^2d\rho=\frac{\pi}{32}[(\frac{D}{2})^4-(\frac{d}{2})^4]=\frac{\pi D^4}{32}(1-\alpha^4), \quad W_p = \frac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4)\]
- \(D, d\)：外、内径；\(\alpha = d/D\)。
强度条件：\[\tau_{max} \le [\tau]\]
- \([\tau]\)：许用切应力。
3.3.1 圆轴扭转时的变形
知识点：
扭转角 (\(\theta\))：两个横截面绕轴线产生的相对转动角。
单位长度扭转角 (\(\theta'\))：度量扭转变形程度。
抗扭刚度 (\(G I_p=\frac{T}{d\theta/dx}\))：反映杆件抵抗扭转变形的能力。 意义是产生单位长度的扭转角需要多大的扭矩 同时也是材料(\(G\))与形状(\(I_p\))抵抗扭转变形能力的综合体现
核心公式：
圆轴扭转角计算：\[\theta = \frac{Tl}{G I_p}\]
- \(l\)：轴段长度。
刚度条件：\[\theta'_{max} = \frac{T_{max}}{G I_p} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \le [\theta'] \]
\([\theta']\)：许用单位长度扭转角 (通常为 \(^\circ/m\))。
一切都归功于切应力随半径变化的比例常数\(k=\frac{T}{I_\rho}=\frac{\tau_\rho}{\rho}=\frac{G\theta}{l}\)
3.3.2 圆柱螺旋弹簧的应力和变形
知识点：
受力分析：弹簧丝(一根强行卷成螺旋状的圆截面扭杆受到弹簧整体轴线的力\(F\)) 横截面上受扭矩 \(T = FD/2\) 和剪力 \(F_s = F\) 的共同作用。
应力修正：考虑弹簧丝曲率的影响，引入修正系数 \(k\)。
核心公式：
最大切应力(在外边缘)：\[\tau_{max} =k \frac{T}{W_p} = k \frac{8FD}{\pi d^3}\]
\(F\)：轴向载荷。
\(D\)：弹簧平均直径。
\(d\)：弹簧丝直径。
\(k=\frac{4C-1}{4C-4}+\frac{0.615}{C}\;,C\in[4,12]\)：曲度系数（查表或计算）。
弹簧变形（轴向位移）:
\[ \lambda = \int \frac{D}{2}\cdot d\phi = \frac{D}{2} \cdot \frac{16F D}{\pi G d^4} \int_0^l dl = \frac{8F D^2}{\pi G d^4} \cdot \pi D\cdot n = \frac{8F D^3 n}{G d^4} \]
- \(n\)：弹簧有效圈数。
3.3.3 非圆形截面杆件扭转的概念
\[ \vec \epsilon=\frac{1}{2}[\nabla \vec \mu+(\nabla\vec \mu)^T]=\vec B \vec u \]
- \(\vec \epsilon\)是应变
- \(\mu=[u,v,w]=[-\theta zy,\theta zx,\theta \phi(x,y)]\)是翘曲位移场,\(\theta\)是扭转角,\(\phi(x,y)\),是翘曲函数(圣维南扭转)
\[ \vec \tau=\vec k\times\nabla \phi,\tau = |\nabla \phi| \]
\[ \nabla^2\phi=-2G\theta \]
翘曲形状（轴向凹凸）是由截面的几何形状决定的，与旋转大小无关（\(\theta\) 只缩放翘曲幅值，不影响相对分布）。
知识点：
翘曲现象：非圆截面受扭后不再保持为平面。
矩形截面：最大切应力发生在长边中点，四个角点处切应力为零。
| 物理概念 | 微积分表达 | 意义 |
|---|---|---|
| 线应变 | \(\varepsilon = \frac{du}{dx}\) | 位移对坐标的变化率 |
| 切应变 | \(\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\) | 角度畸变 |
| 正应力 | \(\sigma = \frac{dN}{dA}\) | 内力面积密度 |
| 弯矩 | \(M = \int_A \sigma \, y \, dA\) | 应力乘力臂的积分 |
| 剪力 | \(Q = \int_A \tau \, dA\) | 切应力积分 |
| 载荷–剪力–弯矩 | \(\frac{dQ}{dx} = -q,\quad \frac{dM}{dx} = Q\) | 平衡微分方程 |
| 挠度曲率 | \(\frac{d^2 w}{dx^2} = \frac{M}{EI}\) | 挠度的二阶导由弯矩产生 |
| 应变能 | \(U = \iiint_V \frac{1}{2} \sigma \varepsilon \, dV\) | 能量对体积积分 |
核心公式：
最大切应力：\[\tau_{max} = \frac{T}{\alpha h b^2}\] \[ \alpha = \frac{1}{3} - \frac{64 b}{\pi^5 h} \sum_{m=0}^\infty \frac{\tanh\left( \frac{(2m+1)\pi h}{2b} \right)}{(2m+1)^5} \]
扭转角：\[\theta = \frac{Tl}{G \beta h b^3}\] \[ \beta = \frac{1}{3} \left[1 - \frac{192\,b}{\pi^5 h} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\tanh\!\left(\frac{(2m+1)\pi h}{2b}\right)}{(2m+1)^5}\right] \]
\(h, b\)：矩形的长边和短边。
\(\alpha, \beta\)：与 \(h/b\) 比值有关的系数。
3.3.4 薄壁杆件的自由扭转
知识点：
开口薄壁杆件：抗扭能力极差，切应力沿厚度呈线性分布。
闭口薄壁杆件：抗扭能力较强，剪力流 (\(f = \tau \delta\)) 沿中线为常数。
核心公式：
闭口截面切应力 (Bredt 公式)：\[\tau =\frac{q}{\delta} =\frac{T}{2\omega \delta}\]
\(\omega\)：沿壁厚中点的封闭曲线（中线）所围成的平面区域面积。
\(q\)：在\(\delta\)线上的应力积分
\(\delta\)：壁厚。
开口截面抗扭刚度：\[G I_t = \frac{T}{\theta}=G\sum \frac{1}{3} h_i \delta_i^3\]
4 弯曲内力
4.1 弯曲的概念和实例
概念：当杆件受到垂直于轴线的横向力或在包含轴线的纵向平面内的力偶作用时，杆轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲。
梁 (Beam)：以弯曲变形为主的杆件。
平面弯曲 (Plane Bending)：若梁具有纵向对称面，且所有外力（力、力偶）均作用在该对称面内，则变形后的轴线仍在该平面内，称为对称弯曲或平面弯曲。
4.2 受弯杆件的简化
为了进行力学计算，需对实际工程中的支座和载荷进行简化：
支座的简化形式：
固定铰支座：限制水平和竖直位移，允许转动。
可动铰支座（滚轴支座）：只限制垂直于支承面的位移，允许水平移动和转动。
固定端支座：限制所有方向的位移和转动。
载荷的简化：
集中力 (\(F\))：作用在极小面积上的力。
集中力偶 (\(M_c\))：作用在极小长度范围内的力偶。
分布载荷 (\(q\))：连续作用在轴线上的力。\(q\) 为载荷集度（单位长度上的力）。
静定梁的基本形式 ：
简支梁：一端为固定铰，另一端为可动铰。
外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座外。
悬臂梁：一端固定，另一端自由。
4.3 剪力和弯矩
通过截面法求得横截面上的两个内力分量 ：
剪力 (\(F_s\))：横截面上平行于截面的内力合力。
- 计算定义：等于截面左侧（或右侧）所有外力在垂直于杆轴线方向投影的代数和。
弯矩 (\(M\))：横截面上垂直于截面的内力合力偶矩。
- 计算定义：等于截面左侧（或右侧）所有外力对截面形心之矩的代数和。
内力符号规定 ：
剪力 (\(F_s\))：若截面上的剪力使所研究的梁段拟产生顺时针方向转动，则为正。
弯矩 (\(M\))：若截面上的弯矩使梁向下凸（产生“笑脸”变形，即下部纤维受拉），则为正。
4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
内力方程：将剪力和弯矩表示为截面位置坐标 \(x\) 的函数，即 \(F_s = F_s(x)\) 和 \(M = M(x)\)。
内力图：反映剪力或弯矩沿梁轴线变化情况的图形。在绘制时，习惯上将正的剪力画在 \(x\) 轴上方；而对于弯矩图，虽然不同教材规定略有差异，但本教材建议将正弯矩画在 \(x\) 轴上方，或约定画在受拉纤维一侧。
4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
微分关系： \(\dfrac{dF_s}{dx}=q(x)\)， \(\dfrac{dM}{dx}=F_s(x)\)， \(\dfrac{d^2M}{dx^2}=q(x)\) 也就是
\[ q \xrightarrow{\text{积分}} F_s \xrightarrow{\text{积分}} M \xrightarrow{\text{积分}} EI\theta \xrightarrow{\text{积分}} EI w。 \]
变量含义：
\(x\)：沿梁轴线的截面坐标。
\(q(x)\)：载荷集度（向上为正，向下为负）。
\(F_s(x)\)：横截面剪力。
\(M(x)\)：横截面弯矩。
| 载荷类型 | \(F_s\) 图 | \(M\) 图 |
|---|---|---|
| 无分布力 | 水平直线 | 斜直线 |
| 均布载荷 | 斜直线 | 二次抛物线 |
| 集中力处 | 突变 | 折角 |
| 集中力偶处 | 无变化 | 突变 |
这部分通过微元平衡导出了三者之间的微积分关系，是快速作图的关键 ：
图形特征总结 ：
若 \(q = 0\)（无分布载荷）：\(F_s\) 图为水平直线；\(M\) 图为斜直线。
若 \(q = \text{常数}\)（均布载荷）：\(F_s\) 图为斜直线；\(M\) 图为二次抛物线。
在集中力作用处：\(F_s\) 图发生突变，突变值等于该力的大小；\(M\) 图发生折角。
在集中力偶作用处：\(F_s\) 图无变化；\(M\) 图发生突变，突变值等于该力偶矩的大小。
4.6 平面刚架和曲杆的弯曲内力
平面刚架：由若干直杆在连接处通过刚节点（各杆在连接处不能相对转动）构成的结构。
计算方法：依然使用截面法，通常需要先求出支座反力，再逐杆分析其轴力 \(F_N\)、剪力 \(F_s\) 和弯矩 \(M\)。
曲杆：轴线为曲线的杆件。计算内力时，通常将外力投影到截面的切线和法线方向来确定内力分量。
5 弯曲应力
5.1 概述
纯弯曲 (Pure Bending)：梁的某一段内，若各横截面上的剪力为零，而弯矩为常数，则该段的变形称为纯弯曲。例如，火车轮轴在两个车轮之间的部分就属于纯弯曲。
横力弯曲 (Transverse Bending)：梁的横截面既有弯矩又有剪力的弯曲形式。
中性层 (Neutral Surface)：在梁弯曲时，凹进一侧的纤维缩短，凸出一侧的纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。
中性轴 (Neutral Axis)：中性层与横截面的交线。对于具有纵向对称面的梁，中性轴垂直于对称轴且通过截面形心。 \[N=\int_A\sigma dA=0\;,\int_A ydA=0\]
5.2 纯弯曲时的正应力
基本假设：
平截面假设：原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且垂直于变形后的轴线。
纵向纤维间无正应力：认为梁是由许多纵向纤维组成的，纤维之间互不挤压。但是纤维之间有滑移，有剪切力
弯曲正应力：\(\epsilon=\frac{y}{\rho}\;,\sigma = E\frac{y}{\rho}=\dfrac{My}{I_z}\)， \(M=\int_A\sigma ydA=\frac{E}{\rho}\int_A y^2dA=I_y\cdot\frac{E}{\rho}\)
\(\sigma_{max} = \dfrac{M_{max}}{W_y}\)，\(W_y = I_y/y_{max}\)；
曲率：\(1/\rho = M/(EI_y)\)
正应力公式： \[\sigma = \frac{My}{I_y}\]
\(\sigma\)：横截面上距中性轴为 \(y\) 处的正应力。
\(M\)：横截面上的弯矩。
\(y\)：研究点到中性轴的垂直距离，在中性层以下为正（受拉），以上为负（受压）。
\(I_y\)：横截面对中性轴的惯性矩（单位：\(\text{m}^4\) 或 \(\text{mm}^4\)）。
正应力分布特征：应力沿截面高度呈线性分布；中性轴上应力为零；离中性轴最远的上下边缘处应力最大。
曲率公式： \[\frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI_y}\]
- \(EI_y\)：梁的抗弯刚度（Bending Rigidity），反映梁抵抗弯曲变形的能力。
5.3 横力弯曲时的正应力
核心结论：虽然横力弯曲时存在剪力，导致平截面假设不再严格成立，但对于工程中常见的跨度远大于截面高度的梁，使用纯弯曲的正应力公式计算所得结果具有足够的精度。
最大正应力公式： \[\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_y}\]
抗弯截面系数(\(W_y\))：
定义：\(W_y = I_y / y_{max}\)。
矩形截面：\(W_y = \frac{bh^2}{6}\)。
圆形截面：\(W_y = \frac{\pi d^3}{32}\)。
\(W_y=\frac{W_p}{2}\)
强度条件： \[\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_y} \le [\sigma]\]
- \([\sigma]\)：材料的许用弯曲正应力。
\[ \frac{M}{I_y} = \frac{\sigma}{y} = \frac{E}{\rho} \]
5.4 弯曲切应力
矩形截面梁切应力公式： \[\tau = \frac{dT}{b\,dx} = \frac{1}{b\,dx}\left( \frac{dM}{I_y} S_y^* \right) = \frac{dM}{dx}\frac{S_y^*}{I_y b} = F_s \frac{S_y^*}{I_y b}\]
\(\tau\)：距中性轴为 \(y\) 的横线上各点处的切应力。
\(F_s\)：横截面上的剪力。
\(S_y^*\)：距中性轴为 \(y\) 的横线以外的部分面积对中性轴的静矩。
\(b\)：截面在该高度处的宽度。
典型截面的最大切应力（通常发生在中性轴处）：
矩形截面：\(\tau_{max} = \frac{3 F_s}{2 A} = 1.5 \tau_{avg}\)。
实心圆截面：\(\tau_{max} = \frac{4 F_s}{3 A} \approx 1.33 \tau_{avg}\)。
工字形截面：切应力主要由腹板承担，且在腹板上分布较均匀。
切应力强度条件： \[\tau_{max} \le [\tau]\]
- \([\tau]\)：材料的许用切应力。
5.5 关于弯曲理论的基本假设
本节详细讨论了横力弯曲时由于剪力引起的横截面翘曲现象。
结论：在细长梁中，翘曲对正应力分布的影响非常微小，通常可以忽略，这证明了平截面假设在工程应用中的广泛适用性。
5.6 提高弯曲强度的措施
为了使梁的设计更加经济安全，可以从以下三方面优化： 1. 合理安排受力情况：改变支座位置或分布载荷，以降低最大弯矩 \(M_{max}\)。
选择合理的截面形状：在截面积相同的情况下，尽量使材料分布在远离中性轴的地方（即增大 \(W_z\)），如使用工字钢、箱形截面等。
- 效率指标：可用 \(W_z/A\) 来衡量截面的经济性。
采用等强度梁 (Beam of Constant Strength)：改变截面尺寸使梁各横截面上的最大正应力都达到许用应力，以充分利用材料。
6 弯曲变形
6.1 工程中的弯曲变形问题
刚度要求：构件在载荷作用下产生的弹性位移不得超过允许的限度。例如，机床主轴变形过大会影响零件加工精度；起重机大梁变形过大会导致小车行驶困难。
功能性应用：有时需要利用较大的弯曲变形来实现特定功能，如车辆上的钢板弹簧用以缓冲震动。
计算目的：通过计算挠度和转角，进行刚度校核、解超静定问题以及分析动力荷载。
6.2 挠曲线的微分方程
挠度 (Deflection, \(w\))：梁变形后，横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。方程为 \(w = f(x)\)。
转角 (Slope/Rotation, \(\theta\))：变形后横截面绕中性轴转过的角度，也等于挠曲线在对应点处的斜率。
挠曲线近似微分方程：在小变形和线弹性条件下，挠度与弯矩的关系为：
大一时我们学过\[\rho=\frac{1}{R}=\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{[1+(\frac{dy}{dx})^2]^{3/2}}=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M}{EI}\]
也就是\[\frac{d^2w}{dx^2} \approx \frac{M(x)}{EI_y}\]
变量含义：
\(w\)：挠度。在规定的坐标系中，向上为正。
\(x\)：沿梁轴线的坐标。
\(M(x)\)：截面处的弯矩。
\(E\)：材料的弹性模量。
\(I_y\)：截面对中性轴的惯性矩。
\(EI_y\)：梁的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力。
符号规定：在图 6.4 所示坐标系中，向上的挠度和逆时针转动的转角为正。
6.3 用积分法求弯曲变形
计算过程：对挠曲线微分方程进行两次积分，得到转角方程和挠度方程。
一阶积分（转角方程）：\[\theta(x) = \frac{dw}{dx} = \int \frac{M(x)}{EI_z} dx + C\]
二阶积分（挠度方程）：\[w(x) = \iint \frac{M(x)}{EI_z} dx dx + Cx + D\]
积分常数的确定：
边界条件 (Boundary Conditions)：根据支座处的位移约束确定。
固定端：\(w = 0, \frac{dy}{dx}=\theta = 0\)。
简支座/铰支座：\(w = 0\)。
连续条件 (Continuity Conditions)：在弯矩方程分段处，左、右两段在连接点处的挠度和转角必须相等（即 \(w_{左}=w_{右}, \theta_{左}=\theta_{right}\)），确保挠曲线是连续光滑的曲线。
面积矩定理:
\[\theta_1-\theta_2=\frac{A}{EI_y}\] \[t_{2/1}=\frac{Ax}{EI}\]
- \(t_{2/1}\): 在挠曲线上的点1的切线与点2的垂直距离
- \(x\): 弯矩图上面的形心到点2的水平距离
6.4 用叠加法求弯曲变形
基本原理：对于线弹性小变形梁，由几种载荷共同作用产生的变形（挠度或转角），等于每种载荷单独作用下产生的变形的代数和。
应用：通过查标准载荷下的变形表，结合比例变换和位置平移，快速求解复杂载荷下的变形，避免繁琐的积分运算。
6.5 简单超静定梁
特征：支座反力数量多于独立的静力平衡方程数，仅靠平衡方程无法求出所有未知力。
求解核心：利用变形协调条件（即支座处的位移边界条件）建立补充方程。例如，对于一端固定、另一端铰支的梁，利用铰支端挠度 \(w=0\) 的条件来解除多余约束。
6.6 提高弯曲刚度的一些措施
选择合理的截面形状：增大 \(I_z\)（如使用工字钢、槽钢等高度较大的截面）。
改善受力情况：合理布置载荷和支座位置（如缩短跨度、增加支座或将简支梁改为超静定梁）。
选用高模量材料：在极少数受刚度限制的情况下考虑选用 \(E\) 值较大的材料，但在工程中，改变截面尺寸往往比更换材料更有效。
6.7 弯曲变形的应变能
概念：梁在弯曲变形过程中，外力做功转化为储存在梁内部的能量。
计算公式：\[V_\epsilon = \int_0^l \frac{M^2(x)}{2EI_y} dx\]
此公式常用于后续章节中的能量法（如卡氏定理）来求解复杂结构的位移。
卡氏定理: \(\delta_i=\frac{\partial V_\epsilon}{\partial P_i}=\frac{1}{EI}\int M\frac{\partial M}{\partial P_i}dx\)
- \(\delta_i=\theta,\partial P_i=\partial M\),\(\delta_i=y,\partial P_i=\partial F\)
7 应力与应变分析 强度理论
7.1 应力状态概述
一点处的应力状态：指通过受力构件内某一点的所有不同方向截面上应力的集合。
单元体 (Element)：包围该点的、各面均相互垂直的微小正六面体，用于表示该点的应力状态。
主平面与主应力：
主平面：切应力等于零的平面。
主应力 (\(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\))：主平面上的正应力。按代数值大小排列：\(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3\)。
应力状态分类：单向（线）、二向（平面）和三向（空间）应力状态。
7.2 二向应力状态分析——解析法
研究平面内任意斜截面上的应力分布规律。
斜截面应力公式（设 \(x\) 轴与斜截面外法线夹角为 \(\alpha\)）：
正应力：\(\sigma_\alpha = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos 2\alpha - \tau_{xy}\sin 2\alpha\)
切应力：\(\tau_\alpha = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \tau_{xy}\cos 2\alpha\)
变量含义：\(\sigma_x, \sigma_y\) 为已知 \(x, y\) 面上的正应力；\(\tau_{xy}\) 为 \(x\) 面上指向 \(y\) 轴正向的切应力。
主应力：\(\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}\)；最大切应力：\(\tau_{max}=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\)
- 主应力计算公式： \[\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}\] 其中 \(\sigma_1\) 取“+”，\(\sigma_2\) 取“−”。
- 主方向（主平面方位）： \[\tan 2\alpha_0 = \frac{-2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}\]
- 最大切应力： \[\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\]
7.3 二向应力状态分析——应力圆
应力圆（莫尔圆）：在 \(\sigma-\tau\) 坐标系中，一点处各截面上应力的轨迹是一个圆。
几何要素：
圆心坐标：\((\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0)\)。
半径：\(R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}\)。
应用：圆上点的坐标对应单元体某截面上的 \(\sigma\) 和 \(\tau\)，圆半径与横轴夹角为 \(2\alpha\)。
7.4 广义胡克定律
描述各向同性材料在复杂应力状态下应力与应变的关系。 * 主轴方向应变公式： \[\epsilon_1 = \frac{1}{E}[\sigma_1 - \mu(\sigma_2 + \sigma_3)]\] \[\epsilon_2 = \frac{1}{E}[\sigma_2 - \mu(\sigma_1 + \sigma_3)]\] \[\epsilon_3 = \frac{1}{E}[\sigma_3 - \mu(\sigma_1 + \sigma_2)]\] * 变量含义：\(\epsilon_i\) 为主应变；\(E\) 为弹性模量；\(\mu\) 为泊松比。
- 体积应变 (\(\theta\))：单位体积的改变。 \[\theta = \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 = \frac{1-2\mu}{E}(\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3)\]
7.5 复杂应力状态的应变能密度
- 总应变能密度 (\(u\))： \[u = \frac{1}{2E}[\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - 2\mu(\sigma_1\sigma_2 + \sigma_2\sigma_3 + \sigma_3\sigma_1)]\]
- 畸变能密度 (\(u_d\))：引起形状改变的能量。 \[u_d = \frac{1+\mu}{6E}[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2]\]
7.6 四种常用强度理论
| 理论 | 相当应力 \(\sigma_r\) | 适用 |
|---|---|---|
| 第一（最大拉应力） | \(\sigma_1\) | 脆性断裂 |
| 第二（最大拉应变） | \(\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)\) | 少数脆性 |
| 第三（Tresca） | \(\sigma_1-\sigma_3\) | 塑性，偏保守 |
| 第四（von Mises） | \(\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]}\) | 塑性，最准 |
用于判断材料是否失效（屈服或断裂）。
第一强度理论（最大拉应力理论）：
准则：\(\sigma_1 \le [\sigma]\)。
适用：石料、铸铁等脆性材料的断裂失效。
第二强度理论（最大拉应变理论）：
准则：\(\sigma_{r2} = \sigma_1 - \mu(\sigma_2 + \sigma_3) \le [\sigma]\)。
适用：少数特定脆性材料。
第三强度理论（最大切应力理论 / Tresca准则）：
准则：\(\sigma_{r3} = \sigma_1 - \sigma_3 \le [\sigma]\)。
适用：低碳钢等塑性材料的屈服失效。结果偏保守。
第四强度理论（畸变能密度理论 / von Mises准则）：
准则：\(\sigma_{r4} = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]} \le [\sigma]\)。
适用：钢等塑性材料，实验符合度最高。
7.7 莫尔强度理论
概念：考虑到材料抗压能力通常大于抗拉能力（如铸铁），将材料的极限状态视为一系列应力圆的包络线。
公式：\(\sigma_{r} = \sigma_1 - \frac{[\sigma_t]}{[\sigma_c]}\sigma_3 \le [\sigma_t]\)。
- \([\sigma_t], [\sigma_c]\) 分别为许用拉应力和许用压应力。
7.8 构件含裂纹时的断裂准则
应力强度因子 (\(K_I\))：描述裂纹尖端应力场强度的物理量。
断裂判据：\(K_I \le K_{IC}\)。
- \(K_{IC}\) 为材料的断裂韧性，是材料固有的力学性能指标。
8 组合变形
8.1 ## 组合变形和叠加原理
组合变形：构件在外部载荷作用下，同时发生两种或两种以上基本变形（轴向拉压、扭转、平面弯曲）的情况。
叠加原理：在材料处于线弹性范围内且满足小变形假设的前提下，多种载荷共同作用产生的应力、应变或位移，等于各载荷单独作用时产生结果的代数和。
载荷分解：将外力简化并分解为对应基本变形的各分量。
内力分析：分别计算各基本变形下的内力分量（\(F_N, T, M\) 等）。
应力计算与叠加：计算各基本变形在截面上产生的应力，按代数和或应力状态分析法进行叠加。
8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
杆件同时受轴向力（拉/压）和横向力（弯曲）的情况。
1. 斜弯曲 (Oblique Bending)：
概念：梁受到的外力矩不作用在截面的主惯性平面内，而是分解在两个主轴平面内引起弯曲。
公式： \[\sigma = \pm \frac{M_z y}{I_z} \pm \frac{M_y z}{I_y}\]
变量含义：
\(M_z, M_y\)：截面绕 \(z\) 轴和 \(y\) 轴的弯矩分量。
\(I_z, I_y\)：截面对两个主形心轴的惯性矩。
\(y, z\)：计算点到对应轴的坐标距离。
2. 拉压与弯曲组合的法向应力：
\[\sigma = \frac{F_N}{A} \pm \frac{M_z y}{I_z} \pm \frac{M_y z}{I_y}\]
变量含义：
\(F_N\)：横截面上的轴力（拉为正，压为负）。
\(A\)：横截面面积。
强度条件：截面上绝对值最大的应力应满足 $_{max} $。
8.3 偏心压缩和截面核心
知识点与概念：
偏心压缩：压力 \(F\) 作用线与杆轴线平行，但不重合，作用点（偏心点）距形心有一定距离 \(e_y, e_z\)。
中性轴：偏心压缩时，截面上正应力为零的直线。它通常不通过截面形心。
正应力公式： \[\sigma = \frac{F}{A} \left( 1 + \frac{e_y y}{i_z^2} + \frac{e_z z}{i_y^2} \right)\]
变量含义：
\(e_y, e_z\)：压力作用点（偏心点）在坐标轴上的偏心距。
\(i_z, i_y\)：截面的回转半径（截面二次轴距），其中 \(i^2 = I/A\)。
截面核心 (Section Core)：
概念：在截面形心周围存在一个封闭区域，只要压力 \(F\) 作用在该区域内，截面上各点产生的应力符号就完全相同（即全压或全拉，不产生反向应力）。
工程意义：对于不能受拉的材料（如砖石、混凝土、铸铁），设计时必须保证压力作用在截面核心内，以防构件开裂。
8.4 扭转与弯曲的组合
这是工程中最常见的组合变形形式，如传动轴的设计。
知识点与概念：
应力状态：表面危险点通常处于二向应力状态，既有弯曲产生的正应力 \(\sigma\)，又有扭转产生的切应力 \(\tau\)。
弯矩和扭矩的合成：需要应用强度理论（通常是第三或第四强度理论）进行校核。
核心公式（圆轴专用）：
相当弯矩 (\(M_e\))：
第三强度理论 (Tresca)：\(M_{e3} = \sqrt{M^2 + T^2}\)
第四强度理论 (von Mises)：\(M_{e4} = \sqrt{M^2 + 0.75T^2}\)
强度校核公式： \[\sigma_r = \frac{M_e}{W} \le [\sigma]\]
变量含义：
\(M\)：合成弯矩，若有双向弯曲则 \(M = \sqrt{M_y^2 + M_z^2}\)。
\(T\)：截面扭矩。
\(W\)：抗弯截面系数（对圆轴 \(W = \pi d^3 / 32\)）。
\(\sigma_r\)：相当应力。
8.5 组合变形的普遍情况
知识点：
处理同时存在 \(F_N, F_{sy}, F_{sz}, T, M_y, M_z\) 六个内力分量的情况。
危险截面与危险点：首先通过内力图确定内力最大的“危险截面”，再分析该截面上应力叠加最严重的“危险点”。
校核逻辑：对于塑性材料，通常采用第三或第四强度理论计算相当应力；对于脆性材料，则侧重于最大拉应力（第一强度理论）。
9 压杆稳定
9.1 压杆稳定的概念
压杆 (Compression Member)：工程中受轴向压力的直杆。
失稳 (Instability/Buckling)：细长压杆在压力作用下，不能维持原有直线平衡状态而突然发生显著侧向弯曲导致破坏的现象。
平衡状态分类：
稳定平衡状态：压力较小时，撤去微小干扰力后，杆件能恢复原有直线平衡。
不稳定平衡状态：压力超过某一限度后，微小干扰会导致变形无限增加甚至破坏。
临界力 (\(F_{cr}\))：压杆由稳定平衡向不稳定平衡过渡的临界荷载值。
9.2 细长压杆的临界力——欧拉公式
研究在弹性范围内（线弹性稳定）压杆发生微弯平衡所需的最小压力。
欧拉公式 (Euler’s Formula)：
\[F_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{l_0^2}\]
变量含义：
\(F_{cr}\)：临界荷载（单位：N）。
\(E\)：材料的弹性模量。
\(I\)：截面的最小形心主惯性矩（压杆总是在刚度最小的平面内失稳）。
\(l_0\)：压杆的计算长度（有效长度）。
9.3 支座条件对临界力的影响
压杆两端的约束情况不同，其抵抗失稳的能力也不同，通过长度系数 (\(\mu\)) 来修正。
计算长度公式： \[l_0 = \mu l\]
常见约束下的 \(\mu\) 值：
两端铰支：\(\mu = 1\)。
一端固定，一端自由：\(\mu = 2\)。
两端固定：\(\mu = 0.5\)。
一端固定，一端铰支：\(\mu = 0.7\)。
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
并不是所有压杆都适用欧拉公式，其前提是材料处于线弹性阶段。
压杆的柔度 (Slenderness Ratio, \(\lambda\))：反映压杆几何特征的综合参数。 \[\lambda = \frac{l_0}{i} = \frac{\mu l}{i}\]
- \(i\)：惯性半径，公式为 \(i = \sqrt{I/A}\)。
临界应力 (\(\sigma_{cr}\))：临界力在横截面上的平均应力。 \[\sigma_{cr} = \frac{F_{cr}}{A} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}\]
压杆的三种分类及判别标准：
大柔度杆 (细长杆)：当 \(\lambda \ge \lambda_p\) 时，适用欧拉公式。
- \(\lambda_p = \pi \sqrt{E/\sigma_p}\)（\(\sigma_p\) 为比例极限）。
中柔度杆 (中长杆)：当 \(\lambda_s < \lambda < \lambda_p\) 时，适用经验公式。
- 直线型经验公式：\(\sigma_{cr} = a - b\lambda\)（\(a, b\) 为材料常数）。
小柔度杆 (短粗杆)：当 \(\lambda \le \lambda_s\) 时，压杆发生强度失效而非失稳。
- \(\sigma_{cr} = \sigma_s\)（\(\sigma_s\) 为屈服极限）。
9.5 压杆的稳定性校核
为了保证安全，工作压力 \(F\) 必须小于临界力。
稳定条件 (安全系数法)： \[n_w = \frac{F_{cr}}{F} \ge [n_w]\]
\(n_w\)：压杆实际的稳定安全系数。
\([n_w]\)：规定的稳定安全系数，通常大于强度安全系数。
稳定条件 (折减系数法/\(\phi\)法)：工程中常用。 \[\sigma = \frac{F}{A} \le \phi [\sigma]\]
\(\phi\)：折减系数，由 \(\lambda\) 和材料查表确定（\(0 < \phi < 1\)）。
\([\sigma]\)：材料的许用应力。
9.6 提高压杆稳定性的措施
根据临界力公式 \(F_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2}\)，可从以下方面优化设计：
减小计算长度 (\(l_0\))：增加中间支撑或强化端部约束（减小 \(\mu\)）。
选择合理截面：在截面积 \(A\) 相同的情况下，增大惯性矩 \(I\)，尽量使材料分布在远离形心的地方，如采用空心圆管、工字钢、槽钢。
改善受力平面：使压杆在各个方向上的柔度 \(\lambda\) 趋于相等。
材料选择：对于细长杆，由于 \(F_{cr}\) 仅与 \(E\) 有关，改用高强度合金钢并不能显著提高稳定性；但对于中、小柔度杆，选用高强度材料是有效的。