1 电路的基本概念与两类约束

1.1 电路的基本概念

1.1.1 电路的定义与功能

电路 (Circuit)：是由各种实际电器件用实际导线按一定方式连接而成的、具有特定功能的电流通路。
电路的组成：通常由电源（提供能量或信号）、负载（吸收能量或接收信号）和中间环节（传输、分配或处理能量/信号，如导线、变压器）三部分组成。
电路的功能：
1. 进行电能量的传输、分配与转换（如电力系统）。
2. 进行电信号的传递与处理（如通信系统）。

1.1.2 电路模型与建模

实际电路与模型电路：实际电路中的器件特性复杂，为了分析方便，需要将其模型化，抽象为具有单一电磁性质的理想电路元件（如电阻、电感、电容、理想电源等）。
电路模型 (Circuit Model)：是由理想电路元件遵循基尔霍夫定律连接而成的虚拟电路，用以反映实际电路的主要特性。
例子：一只手电筒的实际电路可以模型化为：一个理想电压源 $U_S$（干电池）、一个理想电阻 $R_L$（小灯泡）、一个理想开关和一个理想导线组成的回路。

1.1.3 电路的基本物理量与变量

理想电路中的变量与实际电路中的物理量一一对应，符号和单位相同。

1.1.3.1 电流 (Current)

概念：电荷的有规则定向移动。
公式： \[i = \frac{dq}{dt}\]
- $i$：电流的瞬时值（单位：安培 A）。
- $dq$：在 $dt$ 时间内通过导体横截面的电荷量（单位：库仑 C）。
- $dt$：极短的时间间隔（单位：秒 s）。
直流电流 (DC)：大小和方向都不随时间变化的电流，用大写字母 $I$ 表示。

1.1.3.2 电压 (Voltage)

概念：电场力推动单位正电荷从 $a$ 点移至 $b$ 点所做的功。
公式： \[u = \frac{dw}{dq}\]
- $u$：电压的瞬时值（单位：伏特 V）。
- $dw$：电场力移动电荷 $dq$ 所做的功（单位：焦耳 J）。
实际方向：规定由高电位点指向低电位点。

1.1.3.3 电位 (Potential)

概念：电路中某点相对于参考点（电位规定为零）的电压。
电位与电压的关系：两点间的电压等于这两点的电位之差。
等式： \[U_{ab} = V_a - V_b\]
- $V_a$、$V_b$：分别为 $a$ 点和 $b$ 点的电位。

1.1.3.4 电动势 (Electromotive Force)

概念：衡量电源内部非静电力对电荷做功本领的物理量。
实际方向：在电源内部由低电位（负极）指向高电位（正极）。

核心概念：参考方向

若计算结果为正，实际方向与参考方向相同。
若计算结果为负，实际方向与参考方向相反。
关联参考方向：电压”+“端 = 电流流入端。

1.1.4 参考方向 (Reference Directions)

由于电路中电压和电流的实际方向往往随时间变化或难以预先判定，必须预先假设方向。

表示方法：电流常用箭头或双下标表示；电压常用“+”、“-”极性、箭头或双下标表示。
数值含义：若计算结果为正，说明实际方向与参考方向相同；若为负，说明实际方向与参考方向相反。
关联参考方向 (Associated Reference Direction)：对某一元件设定的电压参考极性的“+”端是电流参考方向流入的一端。

1.1.5 电磁能量与功率

1.1.5.1 电功率 (Power)

概念：单位时间内电路吸收或产生的电能，即能量对时间的变化率。
关联方向下的推导：已知 $dw = u \cdot dq$ 且 $dq = i \cdot dt$： \[p = \frac{dw}{dt} = \frac{u \cdot dq}{dt} = u \cdot \frac{dq}{dt} = ui\]
- $p$：功率的瞬时值（单位：瓦特 W）。
功率平衡判定：

功率正负的判定规则

参考方向	公式	$P>0$	$P<0$
关联	$P = UI$	吸收能量（负载）	发出能量（电源）
非关联	$P = -UI$	发出能量	吸收能量

1.1.5.2 电能 (Energy)

公式： \[W = \int_{t_0}^{t} p \, d\xi = \int_{t_0}^{t} ui \, d\xi\]
- $W$：在 $t_0$ 到 $t$ 时间内吸收或消耗的能量（单位：焦耳 J 或 1 kW·h = 1 度）。

1.2 电路元件

1.2.1 电阻元件 (Resistor Element)

电阻元件是反映电路中电能转化为非电能（如热能）这一物理现象的理想模型。

线性电阻概念：其端电压与电流的关系服从欧姆定律，在 $u-i$ 平面上是一条通过原点的直线。
伏安关系 (VCR) 与欧姆定律：
- 公式：在关联参考方向下，$u = Ri$；非关联方向下，$u = -Ri$。
- 变量含义：$u$ 为端电压（V），$i$ 为流经电流（A），$R$ 为电阻，单位为欧姆（$\Omega$）。
电导 (Conductance, $G$)：电阻的倒数，衡量元件的导电能力。
- 推导与等式：$i = \frac{u}{R} = (\frac{1}{R}) \cdot u = Gu$。
- 单位：西门子（S）。
电阻的功率：
- 公式推导：根据功率定义 $p = ui$，代入欧姆定律得： \[p = ui = (Ri) \cdot i = i^2R = u \cdot (Gu) = \frac{u^2}{R}\]。
- 物理意义：由于 $R \ge 0$，功率 $p$ 恒大于或等于零，说明电阻总是吸收（消耗）能量。
理想状态：$R \to \infty$ 称为开路（电流恒为零）；$R = 0$ 称为短路（电压恒为零）。

1.2.2 独立电源 (Independent Sources)

独立电源是电路的激励源，其输出电压或电流由电源本身决定。

1.2.2.1 理想电压源 (Ideal Voltage Source)

定义：其端电压 $u_S(t)$ 是确定的，与其流过的电流 $i$ 无关。
实际模型：实际电压源可用理想电压源 $U_S$ 与内阻 $R_S$ 串联表示。
- 外特性公式：$U = U_S - R_S I$。当 $R_S$ 很小时，更接近理想电压源。

1.2.2.2 理想电流源 (Ideal Current Source)

定义：其输出电流 $i_S(t)$ 是确定的，与其两端的电压 $u$ 无关。
实际模型：实际电流源可用理想电流源 $I_S$ 与内阻 $R_S$ 并联表示。
- 外特性公式：$I = I_S - \frac{U}{R_S}$。

1.2.3 电容元件 (Capacitor Element) —— 储能元件

电容是描述电路中存储电场能量物理现象的理想模型。

库伏特性：电荷量 $q$ 与电压 $u$ 成正比。
- 公式：$q = Cu$。
- 变量含义：$C$ 为电容量，单位为法拉（F）。
伏安关系 (VCR) 推导：由于电流 $i$ 是电荷随时间的变化率： \[i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(Cu)}{dt} = C\frac{du}{dt}\]。
储能公式： \[W_C = \frac{1}{2}Cu^2\]。
重要特性：
1. 记忆性质：时刻 $t$ 的电压取决于该时刻之前的电流历史积分。
2. 隔直作用：在直流电路稳态时，$\frac{du}{dt}=0$，故 $i=0$，电容相当于开路。
3. 电压不能跃变：当电流为有限值时，电压 $u$ 必须是连续的。

1.2.4 电感元件 (Inductor Element) —— 储能元件

电感是描述电路中存储磁场能量物理现象的理想模型。

韦安特性：磁通链 $\psi$ 与电流 $i$ 成正比。
- 公式：$\psi = Li$。
- 变量含义：$L$ 为电感量，单位为亨利（H）。
伏安关系 (VCR) 推导：根据电磁感应定律，端电压等于磁链的变化率： \[u = \frac{d\psi}{dt} = \frac{d(Li)}{dt} = L\frac{di}{dt}\]。
储能公式： \[W_L = \frac{1}{2}Li^2\]。
重要特性：
1. 通直阻交：在直流电路稳态时，$\frac{di}{dt}=0$，故 $u=0$，电感相当于短路。
2. 电流不能跃变：当电压为有限值时，电流 $i$ 必须是连续的。

1.2.5 受控源 (Controlled Sources) —— 邱关源重点补充

受控源的电压或电流受电路中另一支路的电压或电流控制，反映了电路内部支路间的耦合。

四种基本类型：

受控源四种类型

类型	名称	控制量	特性方程
VCVS	电压控制电压源	电压 $u_1$	$u_2 = \mu u_1$
VCCS	电压控制电流源	电压 $u_1$	$i_2 = g u_1$
CCVS	电流控制电压源	电流 $i_1$	$u_2 = r i_1$
CCCS	电流控制电流源	电流 $i_1$	$i_2 = \beta i_1$

概念辨析：受控源不同于独立源，它不是电路的“激励”，而是一个多端元件，常用于晶体管等电子器件的建模。
例子：三极管在放大区工作时，集电极电流 $i_C$ 受基极电流 $i_B$ 控制（$i_C = \beta i_B$），可等效为一个 CCCS。

1.3 基尔霍夫定律

1.3.1 电路拓扑的相关概念

在应用基尔霍夫定律前，必须明确电路结构的几个基本术语：

支路 (Branch)：通过相同电流的一段电路。
节点 (Node)：三条或三条以上支路的连接点。
回路 (Loop)：由支路构成的任何闭合路径。
网孔 (Mesh)：在平面电路中，内部不含有支路的回路。
例子：在一个具有两个节点和三条并联支路的电路中，每一条并联路径即为支路，两个汇集点即为节点，而任意两条支路组成的闭合路径即为回路。

基尔霍夫电流定律 (KCL)

在任一时刻，流过电路中任一节点的电流代数和恒等于零： \[\sum i = 0\] 物理实质：电荷守恒——节点处不能堆积电荷。

1.3.2 基尔霍夫电流定律 (KCL)

定义：在任一时刻，流过电路中任一节点的电流代数和恒等于零。
物理实质：电荷守恒定律的体现，即节点处不能堆积电荷，电荷流动的连续性。
数学表达式： \[\sum i = 0\] 习惯规则：通常规定流出节点的电流取“+”，流入节点的电流取“-”（反之亦可，但需保持一致）。
公式推导（电流相等形式）：根据 $\sum i_{流出} - \sum i_{流入} = 0$，可以推导出： \[\sum i_{流入} = \sum i_{流出}\] 含义：在任一节点，任一瞬间流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。
广义节点（封闭面）：KCL 不仅适用于单个节点，也适用于电路中任何一个闭合面（即广义节点）。
例子：若节点 $a$ 连接三条支路，电流分别为 $I_1$（流入）、$I_2$（流入）、$I_3$（流出），则有 $-I_1 - I_2 + I_3 = 0$，即 $I_1 + I_2 = I_3$。

基尔霍夫电压定律 (KVL)

在任一时刻，沿任一闭合回路绕行一周，各段电压降的代数和恒等于零： \[\sum u = 0\] 物理实质：能量守恒——电场力绕行一周做功为零。

1.3.3 基尔霍夫电压定律 (KVL)

定义：在任一时刻，沿电路中任一闭合回路绕行一周，回路中各段电压降的代数和恒等于零。
物理实质：能量守恒定律的体现，即电位具有一值性，电场力移动单位正电荷绕行一周做功为零。
数学表达式： \[\sum u = 0\] 习惯规则：需先确定回路绕行方向（顺时针或逆时针）。若支路电压参考方向与绕行方向一致取“+”，相反取“-”。
公式推导（电阻降与电源电动势形式）：对于由电阻 $R$ 和电源 $E$ 组成的回路，利用欧姆定律 $u_R = Ri$，KVL 可推导为： \[\sum RI = \sum E\] 含义：任一回路内，电阻上电压降的代数和等于回路中所有电源电动势的代数和。
- 变量含义：$R$ 为支路电阻（$\Omega$），$I$ 为支路电流（A），$E$ 为电源电动势（V）。
广义回路：KVL 同样适用于假想的、不闭合的路径。此时，路径两点间的电压即为该路径上各段电压的代数和。
例子：在含有一个电压源 $U_{s1}$ 和两个串联电阻 $R_1, R_2$ 的回路中，按顺时针绕行，若电流方向也为顺时针，则：$R_1I + R_2I - U_{s1} = 0$，即 $R_1I + R_2I = U_{s1}$。

1.3.4 独立方程数与定律应用 (核心约束)

两类约束：邱关源教授强调，电路方程受元件约束（VCR，伏安特性）和拓扑约束（KCL/KVL）的双重制约。
独立方程数：
1. 独立KCL方程数：若电路有 $n$ 个节点，则只有 $(n-1)$ 个节点方程是相互独立的。
2. 独立KVL方程数：若电路有 $b$ 条支路，$n$ 个节点，则独立回路数为 $b-(n-1)$。
公理性与前提：吉培荣主编指出，对理想电路模型而言，基尔霍夫定律是公理；对实际电路，则要求电路尺寸远小于电磁波波长（准静态电磁场条件，$l < 0.1\lambda$）。

2 电路的分析方法

2.1 电路的等效变换

2.1.1 等效变换的概念 (Concept of Equivalent Transformation)

端口 (Port)：若一个电路引出两个端子，且从一个端子流入的电流始终等于从另一个端子流出的电流，则这对端子称为端口。
等效电路 (Equivalent Circuit)：对于两个结构不同的二端（一端口）电路，若它们在端口处的电压电流关系（VCR）完全相同，则两者互为等效电路。
等效变换的本质：等效是对外部电路而言的，变换后不影响外部支路的电流和电压；但等效电路内部的状态（如消耗的功率、电流分布）通常会发生改变。

2.1.2 电阻的串联、并联与混联

这是电路化简最基础的形式。

2.1.2.1 电阻的串联 (Resistors in Series)

特征：各电阻流过同一电流。
等效电阻 ($R_{eq}$)：各电阻阻值的代数和。 \[R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n = \sum_{k=1}^n R_k\]
分压公式 (Voltage Divider Rule)：串联电路中各电阻上的电压与其阻值成正比。 \[U_k = \frac{R_k}{R_{eq}} U = \frac{R_k}{R_1 + R_2 + \dots + R_n} U\]
- 变量含义：$U_k$ 为第 $k$ 个电阻两端的电压，$U$ 为总电压。

2.1.2.2 电阻的并联 (Resistors in Parallel)

特征：各电阻两端承受同一电压。
等效电导 ($G_{eq}$)：各支路电导的代数和。 \[G_{eq} = G_1 + G_2 + \dots + G_n \implies \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}\]
分流公式 (Current Divider Rule)：并联支路中的电流与其电导成正比（或与电阻成反比）。 \[I_k = \frac{G_k}{G_{eq}} I = \frac{1/R_k}{\sum (1/R_k)} I\]
- 两个电阻并联的特例：$I_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2} I$。

2.1.2.3 电阻的混联 (Series-Parallel Circuit)

概念：电路中既有串联又有并联的连接方式。
解题步骤：先化简局部串、并联支路，逐步向端口推进，直到归结为一个等效电阻。

2.1.3 电阻的星形（Y）与三角形（$\Delta$）连接的等效变换

当电路无法通过简单的串并联化简（如桥式电路）时，需使用此变换。

$\Delta \to Y$ 变换公式（由大变小）： \[R_Y = \frac{\Delta \text{形相邻电阻的乘积}}{\Delta \text{形电阻之和}}\] 例如：$R_1 = \frac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$。
$Y \to \Delta$ 变换公式（由小变大）： \[R_{\Delta} = \frac{Y \text{形电阻两两乘积之和}}{Y \text{形对应不相邻电阻}}\] 例如：$R_{12} = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3} = R_1 + R_2 + \frac{R_1R_2}{R_3}$。
对称情况：若 $R_Y = R_1 = R_2 = R_3$，则 $R_{\Delta} = 3R_Y$。

2.1.4 实际电源的两种模型及其等效变换

实际电源（如电池）不能简单视为理想源，必须考虑其内阻。

电压源模型：由理想电压源 $U_S$ 与内阻 $R_S$ 串联组成。
电流源模型：由理想电流源 $I_S$ 与内阻 $R_S$ 并联组成。
等效变换条件（连等推导）：若要两者对外部电路等效，则它们的端口特性方程必须一致： \[U = U_S - R_S I \iff I = \frac{U_S}{R_S} - \frac{U}{R_S}\] 对照电流源方程 $I = I_S - \frac{U}{R_S}$，可得变换公式： \[U_S = I_S R_S\] 且 \[R_S \text{（电压源内阻）} = R_S \text{（电流源内阻）}\]。
注意事项：
1. 方向一致性：理想电流源 $I_S$ 的方向应从理想电压源 $U_S$ 的负极指向正极。
2. 理想源不可变：理想电压源（内阻为0）和理想电流源（内阻无穷大）之间不能相互变换。
3. 不改变电路结构：变换后，原电源所在支路之外的电路结构保持不变。

2.1.5 举例与应用

例（源变换简化）：若有一个 $10\text{V}$ 电压源串联 $2\Omega$ 电阻，求其等效电流源模型。
- 解：$I_S = U_S / R_S = 10\text{V} / 2\Omega = 5\text{A}$，并联内阻仍为 $2\Omega$。
例（桥式电路）：对于复杂的电桥电路，通过将其中一个 $\Delta$ 联结等效变换为 $Y$ 联结，可以使原本复杂的混联结构变成简单的串并联电路，从而轻松求得总等效电阻。

2.2 电路的一般分析方法

2.2.1 电路方程的独立性 (Independence of Equations)

在列写电路方程前，必须确定有多少个独立的方程。 * 支路 (b) 与节点 (n)：电路中通过相同电流的分支称为支路；三条或更多支路的连接点称为节点。

独立KCL方程数：对于具有 $n$ 个节点的电路，只能列出 $n-1$ 个独立的KCL方程。
独立KVL方程数：对于具有 $b$ 条支路、$n$ 个节点的电路，独立回路数为 $l = b - (n - 1)$。
网孔 (Mesh)：平面电路中内部不含支路的回路。网孔数等于独立回路数 $l$。

2.2.2 2b 法 (2b Method)

概念：以电路中 $b$ 条支路的所有电流和电压（共 $2b$ 个变量）作为未知量进行求解的方法。
方程组成（共 $2b$ 个）：
1. $n-1$ 个独立KCL方程。
2. $b-(n-1)$ 个独立KVL方程。
3. $b$ 个支路特性方程（VCR，如 $u=Ri$）。
应用：主要用于计算机辅助分析（如SPICE软件），因方程数多，手工计算较少使用。

2.2.3 支路电流法 (Branch Current Method)

概念：以各支路电流为未知量，直接应用KCL和KVL列出方程组求解的方法。
独立方程总数：$b$ 个。
解题步骤 ：
1. 标定各支路电流参考方向和回路绕行方向。
2. 列写 $(n-1)$ 个节点KCL方程。
3. 列写 $b-(n-1)$ 个回路KVL方程。
公式形式： \[\sum R_k I_k = \sum E_k\]
- $R_k$：支路电阻；$I_k$：支路电流；$E_k$：支路电动势。
例子：若电路有2个节点、3条支路，需列 1 个KCL方程和 2 个回路电压方程。

2.2.4 网孔电流法 (Mesh Current Method)

概念：以假想的、沿着网孔循环流动的网孔电流作为未知量。此方法自动满足KCL，只需列写KVL方程。
适用范围：仅适用于平面电路。方程数量为网孔数 $l=b-(n-1)$。
一般形式方程（以两网孔为例）： \[\begin{cases} R_{11} I_{m1} + R_{12} I_{m2} = U_{S11} \\ R_{21} I_{m1} + R_{22} I_{m2} = U_{S22} \end{cases}\]
变量含义与推导：
- 自电阻 ($R_{ii}$)：网孔 $i$ 中所有电阻之和，恒取正号。
- 互电阻 ($R_{ij}$)：网孔 $i$ 与网孔 $j$ 共有的电阻。若两网孔电流流经此电阻方向相反，取负号；若方向相同，取正号（手工计算通常统一设为顺时针，故互阻常为负）。
- 右边项 ($U_{Sii}$)：网孔 $i$ 中所有电压源电压的代数和。若电压源方向与网孔绕行方向一致取负，相反取正（对应电位升高的方向）。

2.2.5 节点电压法 (Node Voltage Method)

概念：以各独立节点对参考节点的电压（节点电位）作为未知量。此方法自动满足KVL。
适用范围：支路多、节点少的电路。方程数量为 $n-1$。
一般形式方程（以两节点为例）： \[\begin{cases} G_{11} U_{n1} + G_{12} U_{n2} = I_{S11} \\ G_{21} U_{n1} + G_{22} U_{n2} = I_{S22} \end{cases}\]
变量含义与推导：
- 自电导 ($G_{ii}$)：与节点 $i$ 相连的所有支路电导之和，恒取正号。
- 互电导 ($G_{ij}$)：连接节点 $i$ 与节点 $j$ 的支路电导之和的负值（恒取负号）。
- 右边项 ($I_{Sii}$)：流入节点 $i$ 的所有电流源电流的代数和。流入取正，流出取负。
计算支路电流： \[I_{ab} = (V_a - V_b) / R_{ab} = G_{ab}(V_a - V_b)\]
- $V_a, V_b$ 为节点电位，$G_{ab}$ 为支路电导。

2.2.6 含受控源电路的分析 (Controlled Sources) —— 邱关源重点补充

处理方法：
1. 先将受控源看作独立电源列写方程。
2. 补充一个控制量方程，将受控源的控制量用待求变量（如支路电流或节点电位）表示。
3. 代入原方程组消去控制量后求解。

2.3 电路定理

叠加定理 (Superposition Theorem)

在线性电路中，任一支路的响应 = 各独立电源单独作用时响应的代数和。

⚠️ 叠加定理不适用于功率计算（功率是电流/电压的平方，非线性）。

2.3.1 叠加定理 (Superposition Theorem)

概念：在线性电路中，任一支路的电流或电压都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流或电压的代数和。
分量计算规则（置零）：
- 电压源置零：令 $U_S = 0$，其位置用短路替代。
- 电流源置零：令 $I_S = 0$，其位置用开路替代。
注意事项：
1. 叠加定理不适用于计算功率，因为功率与电流或电压是平方关系（非线性）。
2. 受控源不能单独作用，在独立源单独作用时，受控源必须保留在电路中。
公式形式：响应的相量或瞬时值：$Y = \sum a_k X_k$（$a_k$ 为比例常数，$X_k$ 为激励源）。 功率不满足叠加推导： $P_R = (I' + I'')^2 R = (I')^2 R + (I'')^2 R + 2I'I''R \neq P' + P''$。

2.3.2 齐性定理 (Homogeneity Theorem)

概念：在线性电路中，当所有独立源同时增大或缩小 $K$ 倍时，支路响应（电流或电压）也将同样增大或缩小 $K$ 倍。
线性性质：若电路中只有一个独立源，响应与激励成正比。

戴维南定理 (Thevenin’s Theorem)

任何含独立源的线性二端网络，对外电路均等效为： 理想电压源 $u_{oc}$（开路电压）串联等效电阻 $R_{eq}$。

2.3.3 戴维南定理 (Thevenin’s Theorem)

概念：任何一个含独立源的线性二端（一端口）电阻性网络，对外电路而言，可以用一个理想电压源和电阻的串联组合来等效替代。
等效参数：
- 开路电压 $u_{oc}$：原二端网络输出端开路时的电压。
- 等效电阻 $R_{eq}$：将网络内所有独立源置零（电压源短路，电流源开路）后，从端口看进去的输入电阻。
求解 $R_{eq}$ 的常用方法：
1. 电阻串并联化简法（适用于无受控源电路）。
2. 开路电压短路电流法：$R_{eq} = \frac{u_{oc}}{i_{sc}}$（$i_{sc}$ 为端口短路电流）。
3. 加压求流法（外部加受控电源 $u$ 求流入电流 $i$）：$R_{eq} = u/i$。

诺顿定理 (Norton’s Theorem)

任何含独立源的线性二端网络，对外电路均等效为： 理想电流源 $i_{sc}$（短路电流）并联等效电阻 $R_{eq}$。 \[u_{oc} = i_{sc} \cdot R_{eq}\]

2.3.4 诺顿定理 (Norton’s Theorem)

概念：任何一个含独立源的线性二端电阻网络，对外电路而言，可以用一个理想电流源和电导（或电阻）的并联组合来等效替代。
等效参数：
- 短路电流 $i_{sc}$：原二端网络端口短路时的电流。
- 等效电导 $G_{eq}$：数值上等于 $1/R_{eq}$。
戴维南与诺顿的转换 (连等推导)：根据实际电源模型的等效变换： $u_{oc} = i_{sc} \cdot R_{eq} = \frac{i_{sc}}{G_{eq}}$。

最大功率传输定理

当 $R_L = R_{eq}$ 时，负载获得最大功率： \[P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}\]

2.3.5 最大功率传输定理 (Maximum Power Transfer Theorem)

概念：对于一个给定的有源二端网络，当负载电阻 $R_L$ 等于网络的戴维南等效电阻 $R_{eq}$ 时，负载可以获得最大功率。
推导过程：负载功率 $P_L = I^2 R_L = \left( \frac{U_S}{R_{eq} + R_L} \right)^2 R_L$。为了求 $P_L$ 最大值，令 $\frac{dP_L}{dR_L} = 0$： $ 。
最大功率公式： $P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$。
例子：若电源开路电压为 $12V$，内阻为 $2\Omega$，当接 $2\Omega$ 负载时功率最大，$P = 12^2 / (4 \times 2) = 18W$。

2.3.6 置换定理 (Substitution Theorem) —— 邱关源补充

概念：如果已知电路中某一支路的电压为 $u_k$、电流为 $i_k$，则该支路可以用电压为 $u_k$ 的独立电压源或电流为 $i_k$ 的独立电流源来替换，而电路其他部分的响应保持不变。

2.3.7 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) —— 邱关源补充

概念：对于任何一个具有 $b$ 条支路的电路，在任一时刻 $t$，所有支路电压与电流乘积的代数和恒等于零。
公式：$\sum_{k=1}^{b} u_k i_k = 0$。
物理意义：体现了能量守恒定律，即电路中所有元件吸收的功率之和等于发出的功率之和。

2.3.8 互易定理 (Reciprocity Theorem) —— 邱关源补充

概念：在一个仅含线性电阻（无受控源）的二端网络中，如果在端口 1 施加电压源 $U_S$，在端口 2 产生的电流为 $I_2$；那么将同一个电压源 $U_S$ 改在端口 2 施加，在端口 1 产生的电流 $I_1$ 必等于 $I_2$。

2.4 电路的对偶性

2.4.1 对偶原理的概念 (Concept of Duality Principle)

定义：电路中若存在某一内容（包括结构、定律、定理、元件、变量等），则必然有其对应的对偶内容存在。
核心思想：如果两个电路的方程在数学形式上完全相同，只需将对应的变量和参数进行代换，其中一个电路的结论就可以直接应用于另一个电路。

2.4.2 常见对偶元素对比表

根据教材总结，电路中的对偶内容如下表所示：

范畴	元素 A	对应对偶元素 B
变量	电压 $u$	电流 $i$
变量	电荷 $q$	磁通链 $\psi$
元件参数	电阻 $R$	电导 $G$
元件参数	电感 $L$	电容 $C$
理想电源	电压源 $u_S$	电流源 $i_S$
拓扑结构	节点 (Node)	网孔 (Mesh)
连接方式	串联 (Series)	并联 (Parallel)
基本定律	基尔霍夫电流定律 (KCL)	基尔霍夫电压定律 (KVL)
电路定理	戴维南定理 (Thevenin)	诺顿定理 (Norton)
电路结构	星形连接 (Y)	三角形连接 ($\Delta$)

2.4.3 元件 VCR 的对偶性 (VCR Duality)

电路元件的伏安特性（VCR）表现出完美的数学对偶。

2.4.3.1 电阻与电导

电阻公式：$u = R \cdot i$
对偶推导：将 $u \to i$，$R \to G$，$i \to u$，得： \[i = G \cdot u\]

2.4.3.2 电感与电容（动态元件）

电容电流公式：$i = C \frac{du}{dt}$
对偶推导：将 $i \to u$，$C \to L$，$u \to i$，得： \[u = L \frac{di}{dt}\]
- 变量含义：$L$ 为电感量（H），$C$ 为电流量（F），$du/dt$ 和 $di/dt$ 分别为电压和电流随时间的变化率。

2.4.4 电路连接与公式的对偶推导

串联电路和并联电路是典型的对偶结构。

2.4.4.1 阻值与导纳的对偶 (连等推导)

电阻串联 (图 2-26a)：各电阻流过同一电流 $i$，根据 KVL 有： $u = u_1 + u_2 + \dots + u_n = R_1 i + R_2 i + \dots + R_n i$ \[R_{eq} = \sum_{k=1}^{n} R_k\]
电导并联 (图 2-26b)：各支路承受同一电压 $u$，根据 KCL 有： $i = i_1 + i_2 + \dots + i_n = G_1 u + G_2 u + \dots + G_n u$ \[G_{eq} = \sum_{k=1}^{n} G_k\]

2.4.4.2 分压公式与分流公式的对偶

分压 (Voltage Divider)： \[u_k = \frac{R_k}{\sum R} u_S\]
- 含义：串联电路中，某电阻分得的电压与其阻值成正比。
分流 (Current Divider)： \[i_k = \frac{G_k}{\sum G} i_S\]
- 含义：并联电路中，某支路分得的电流与其电导成正比（或与电阻成反比）。

2.4.5 对偶性应用举例

例子：如果你已经推导出一阶 $RC$ 电路在直流激励下的零状态响应电压公式为 $u_C(t) = U_S(1 - e^{-t/RC})$。
应用对偶原理：无需再次解微分方程，可以直接写出一阶 $RL$ 电路的零状态响应电流公式。
- 代换：$u_C \to i_L$，$U_S \to I_S$，$R \to G$，$C \to L$。
- 得：$i_L(t) = I_S(1 - e^{-t/GL}) = I_S(1 - e^{-Rt/L})$。

2.4.6 学习意义

吉培荣主编指出，掌握对偶原理具有“举一反三”的能力： 1. 简化记忆：只需记住一套公式，另一套自动生成。 2. 开阔思路：为复杂电路分析提供新的切入点（如网孔法与节点法的对偶）。 3. 验证结果：通过对偶关系检查计算逻辑是否自洽。

2.5 受控源及含受控源电路的分析

2.5.1 受控源的基本概念

定义：受控源又称非独立源，其输出电压或电流不由自身决定，而是受电路中其他支路的电压或电流控制。
结构：受控源是一个四端元件，具有一对输入端（控制端）和一对输出端（受控端）。
图形符号：为了与独立源区别，受控源通常用菱形符号表示。
物理意义：它是反映电路内部各支路间相互耦合关系的模型。独立源是电路的“激励”，而受控源只是反映能量的控制与转移，不能独立作为电路的激励源。

2.5.2 四种基本类型的数学模型

受控源根据控制量（电压 $u$ 或电流 $i$）和受控量（电压或电流）的不同，分为四类：

类型	名称	特性方程（公式）	参数含义
VCVS	电压控制电压源	$u_2 = \mu u_1$	$\mu$：电压增益（无量纲）
CCVS	电流控制电压源	$u_2 = r_m i_1$	$r_m$：转移电阻（单位：$\Omega$）
VCCS	电压控制电流源	$i_2 = g_m u_1$	$g_m$：转移电导（单位：$S$）
CCCS	电流控制电流源	$i_2 = \beta i_1$	$\beta$：电流增益（无量纲）

例子：三极管工作在放大区时，其集电极电流 $i_C$ 受基极电流 $i_B$ 控制，即 $i_C = \beta i_B$，这可以抽象为一个 CCCS 模型。

2.5.3 含受控源电路的一般分析方法

分析含受控源电路的要点是：先将其看作独立电源，再补充控制量方程。

解题步骤：
1. 视作独立源：在列写支路电流法、网孔法或节点法方程时，先将受控源看作理想的独立电压源或独立电流源。
2. 列写约束方程：根据受控源所在的控制支路，列出一个辅助方程（限制方程），将控制量用待求变量（如网孔电流或节点电位）表示出来。
3. 代入并整理：将辅助方程代入原电路方程组，消去控制量，联立求解。
公式推导示例（网孔法）：若网孔 2 中含有一个受控电压源 $u = r_m i_x$，且控制电流 $i_x = i_{m1} - i_{m2}$。网孔 2 的 KVL 方程原为：$R_{21}i_{m1} + R_{22}i_{m2} = -u$。代入受控关系后得连等推导： $R_{21}i_{m1} + R_{22}i_{m2} = -r_m(i_{m1} - i_{m2}) = -r_m i_{m1} + r_m i_{m2}$ 整理得：$(R_{21} + r_m)i_{m1} + (R_{22} - r_m)i_{m2} = 0$。

2.5.4 受控源电路的等效变换与定理应用

等效变换：受控源可以像独立源一样进行电压源与电流源的互换，但变换过程中必须保留控制量所在的支路，且控制量关系不能丢失。
叠加定理：使用叠加定理时，受控源不能单独作用，也不能像独立源那样“置零”。在每一个独立源单独作用的子电路中，受控源必须完整保留。
戴维南/诺顿定理：
- 求解等效电阻 $R_{eq}$ 时，若电路含受控源，通常不能直接用电阻串并联化简。
- 推荐方法：外加电源法（加压求流法）。在端口施加电压 $u$，求流入电流 $i$，则 $R_{eq} = u/i$。

2.5.5 受控源对电路特性的影响

电阻特性：受控源的存在可能使电路的输入电阻或输出电阻出现零、甚至负值的情况。
能量性质：当等效电阻 $R_i < 0$ 时，说明该含受控源的二端网络不仅不消耗能量，反而向外电路提供能量，这一能量来源于受控源。
放大作用：受控源是实现电压放大或电流放大的理论基础。

2.6 非线性电阻电路分析

2.6.1 非线性电路的基本概念

定义：电路中只要含有一个或多个非线性元件，该电路就称为非线性电路。
本质区别：线性电路满足叠加原理，而非线性电路不满足叠加原理。
建模思想：若元件在工作范围内非线性程度较轻，可忽略不计而进行线性建模；若非线性特征明显（如二极管），则必须使用本节的方法分析。

2.6.2 非线性电阻元件的分类

根据元件伏安特性曲线的形态，通常分为以下三类：

类型	描述	特性方程	典型例子
电流控制型	电压是电流的单值函数，同一电压可能对应多个电流
电压控制型	电流是电压的单值函数，同一电流可能对应多个电压
单调型	伏安特性严格单调增加或减少，既是压控也是流控

双向性与单向性：一般的线性电阻是双向性的（与电压极性无关）；而许多非线性电阻（如 p-n 结二极管）具有单向导电性，其特性曲线对原点不对称。

2.6.3 静态电阻与动态电阻 (核心公式)

非线性电阻的阻值随工作点变化，需区分两个基本参数：

2.6.3.1 静态电阻 (Static Resistance, $R$)

概念：在伏安特性曲线上某一点 $P(U, I)$，其端电压与电流的比值。
公式推导： \[R = \frac{u}{i} \propto \tan\alpha\]
- 变量含义：$u, i$ 为工作点处的瞬时电压和电流值；$\alpha$ 为工作点与原点连线与 $i$ 轴的夹角。
物理意义：反映了在该点处元件吸收电能的直流阻力。

2.6.3.2 动态电阻 (Dynamic Resistance, $r_d$) —— 邱关源重点

概念：在工作点附近，电压微变量与电流微变量的比值，即特性曲线在该点切线的斜率。
公式推导： \[r_d = \frac{du}{di} \propto \tan\beta\]
- 变量含义：$du/di$ 是电压对电流的导数；$\beta$ 为工作点处切线与 $i$ 轴的夹角。
注意：静态电阻 $R$ 恒为正，但动态电阻 $r_d$ 在曲线下滑段可能为负值（表现为负电阻性质）。

2.6.4 非线性电阻电路的分析方法

由于无法直接使用线性叠加，通常采用以下几种方法：

2.6.4.1 解析法 (Analytical Method)

原理：根据拓扑约束（KCL、KVL）和元件约束（非线性函数方程）列写方程组求解。
例子（例 2-16）：已知非线性电阻 $u = 2i^3 + 1$，代入含有线性电阻和电源的回路方程： $U_S = RI + u = RI + (2I^3 + 1)$。
特点：解可能不唯一。计算结果可能出现多个解（对应不同的物理状态）。

2.6.4.2 图解法 (Graphical Method) —— 最常用

原理：利用“曲线相交法”寻找静态工作点 (Q)。
步骤：
1. 将非线性电阻以外的部分简化为戴维南等效电路（$U_{oc}$ 和 $R_{eq}$）。
2. 在 $u-i$ 平面上画出非线性电阻的伏安特性曲线 $u=f(i)$。
3. 在同一坐标系画出外部电路的负载线：\[u = U_{oc} - R_{eq} i\]。
4. 两条线的交点 Q 的坐标即为电路的解。

2.6.4.3 分段线性化法与小信号分析法 (补充)

分段线性化：将复杂的曲线用多段折线代替，在每一段内按线性电路处理。
小信号分析法：在静态工作点 Q 附近，用动态电阻 $r_d$ 代替非线性电阻，从而将非线性问题转化为线性微量问题。

2.6.5 典型应用示例：倍频作用

概念：当给非线性电阻施加单一频率的正弦电流时，由于 $u$ 与 $i$ 是高次幂关系（如 $u \propto i^3$），输出电压中会出现高次谐波成分。
公式演示：若 $i = I_m \sin\omega t$，根据三角恒等式 $\sin^3\theta = \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin3\theta$，输出电压中会产生 $3\omega$ 的频率成分，这种现象称为“倍频”。

3 电路的暂态分析

3.1 电容元件与电感元件

3.1.1 电容元件 (Capacitor Element)

概念定义：电容元件是描述实际电路中电场效应（储存电场能量）的理想模型。

核心知识点：

库伏特性 (Constitutive Relation)：线性电容存储的电荷量 $q$ 与其两端的电压 $u$ 成正比。
- 公式：\[q = C u\]
- 变量含义：$q$ 为电荷量（库仑 C）；$u$ 为端电压（伏特 V）；$C$ 为电容量（法拉 F）。
电压电流关系 (VCR) 的微分形式：

在关联参考方向下，电流是电荷随时间的变化率：
- 推导：\[i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(Cu)}{dt} = C\frac{du}{dt}\]
- 物理意义：电流的大小取决于电压的变化率。若电压恒定（DC），则电流为零，因此电容具有隔直（隔直流）作用。
电压电流关系 (VCR) 的积分形式：电压取决于电流的历史积分，体现了电容的记忆性质。
- 推导：\[u(t) = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\xi)d\xi = u(t_0) + \frac{1}{C}\int_{t_0}^{t} i(\xi)d\xi\]
- 变量含义：$u(t_0)$ 是时刻 $t_0$ 的初始电压，反映了电容过去的能量状态。
储能公式：电容以电场能量的形式储存能量。
- 连等推导：\[p = ui = u(C\frac{du}{dt}) \implies W_C = \int_{-\infty}^{t} p \, d\xi = \int_{0}^{u} C \nu \, d\nu = \frac{1}{2}Cu^2\]
- 变量含义：$W_C$ 为电场能量（焦耳 J）。

重要特性总结：

电压不能跃变：若电流 $i$ 为有限值，由 $i = C(du/dt)$ 可知电压 $u$ 必须是连续的。
无源与储能：电容只充放电而不消耗能量（理想状态下），是无源元件。
例子：在直流稳态电路中，电容两端电压不再变化，$\frac{du}{dt}=0$，此时电容相当于开路。

3.1.2 电感元件 (Inductor Element)

概念定义：电感元件是描述实际电路中磁场效应（储存磁场能量）的理想模型。

核心知识点：

韦安特性 (Constitutive Relation)：线性电感的磁通链 $\psi$ 与流过的电流 $i$ 成正比。
- 公式：\[\psi = L i\]
- 变量含义：$\psi$ 为磁通链（韦伯 Wb）；$i$ 为电流（安培 A）；$L$ 为电感量（亨利 H）。
电压电流关系 (VCR) 的微分形式：根据法拉第电磁感应定律，端电压等于磁通链的变化率。
- 推导：\[u = \frac{d\psi}{dt} = \frac{d(Li)}{dt} = L\frac{di}{dt}\]
- 物理意义：电压的大小取决于电流的变化率。若电流恒定（DC），则电压为零，电感相当于短路。
电压电流关系 (VCR) 的积分形式：电流取决于电压的历史积分，同样具有记忆性质。
- 公式：\[i(t) = \frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t} u(\xi)d\xi = i(t_0) + \frac{1}{L}\int_{t_0}^{t} u(\xi)d\xi\]
- 变量含义：$i(t_0)$ 为时刻 $t_0$ 的初始电流。
储能公式：电感以磁场能量的形式储存能量。
- 连等推导：\[p = ui = (L\frac{di}{dt})i \implies W_L = \int_{-\infty}^{t} p \, d\xi = \int_{0}^{i} L \iota \, d\iota = \frac{1}{2}Li^2\]
- 变量含义：$W_L$ 为磁场能量（焦耳 J）。

重要特性总结：

电流不能跃变：若电压 $u$ 为有限值，电流 $i$ 必须是连续的。
通直阻交：在直流电路稳态时，$\frac{di}{dt}=0$，故 $u=0$，电感相当于短路（一根导线）。
例子：当开关断开含大电感的电路时，由于 $i$ 试图在瞬间变为零（$\frac{di}{dt} \to \infty$），会在电感两端产生极高电压（火花），这就是感应电动势的表现。

3.1.3 电容与电感特性的对偶性总结

特性	电容元件 (C)	电感元件 (L)
定义变量	电荷 $q = Cu$	磁链 $\psi = Li$
VCR (微分)	$i = C \frac{du}{dt}$	$u = L \frac{di}{dt}$
DC 稳态	相当于开路 (断路)	相当于短路 (导线)
不能跃变量	电压 $u$	电流 $i$
储能形式	电场能 $W_C = \frac{1}{2}Cu^2$	磁场能 $W_L = \frac{1}{2}Li^2$

这些概念是后续学习换路定理以及暂态分析（一阶电路和二阶电路）的理论基石。

3.2 换路定理及电路的初始值

3.2.1 暂态过程与换路的概念

暂态过程 (Transient Process)：电路从一个稳定状态转变到另一个稳定状态所经历的中间过程，也称为过渡过程。
换路 (Switching)：电路状态的改变，包括支路的接入、断开、短路以及电路参数或电源的突然变化。
时间参考点：通常规定换路发生在 $t = 0$ 时刻。
- $0_-$ 时刻：换路前的一瞬间（换路还未进行）。
- $0_+$ 时刻：换路后的一瞬间（换路已经结束）。

换路定理 (Switching Theorem)

能量不能跃变，因此：

元件	不能跃变的量	公式
电容	电压 $u_C$	$u_C(0_+) = u_C(0_-)$
电感	电流 $i_L$	$i_L(0_+) = i_L(0_-)$

3.2.2 换路定理 (Switching Theorem)

换路定理是确定动态电路初始值的理论依据，其本质是能量不能跃变。

3.2.2.1 电容元件的换路定理

内容：若换路时电容电流 $i_C$ 为有限值，则换路前后电容电压保持不变。
公式推导：根据电容的伏安关系积分形式 $u_C(t) = u_C(t_0) + \frac{1}{C}\int_{t_0}^{t} i_C(\xi)d\xi$ ： \[u_C(0_+) = u_C(0_-) + \frac{1}{C}\int_{0_-}^{0_+} i_C(\xi)d\xi = u_C(0_-) + 0 = u_C(0_-)\]
- 变量含义：$u_C(0_+)$ 为换路后瞬间电压（V），$u_C(0_-)$ 为换路前瞬间电压（V），$i_C$ 为电容电流（A）。
物理意义：电容储存的是电场能量 $W_C = \frac{1}{2}Cu^2$，能量不能在零时间内突变，故电压必须连续。

3.2.2.2 电感元件的换路定理

内容：若换路时电感电压 $u_L$ 为有限值，则换路前后电感电流保持不变。
公式推导：根据电感电流的积分形式 $i_L(t) = i_L(t_0) + \frac{1}{L}\int_{t_0}^{t} u_L(\xi)d\xi$ ： \[i_L(0_+) = i_L(0_-) + \frac{1}{L}\int_{0_-}^{0_+} u_L(\xi)d\xi = i_L(0_-) + 0 = i_L(0_-)\]
- 变量含义：$i_L(0_+)$ 为换路后瞬间电流（A），$i_L(0_-)$ 为换路前瞬间电流（A），$u_L$ 为电感电压（V）。
物理意义：电感储存的是磁场能量 $W_L = \frac{1}{2}Li^2$，能量不能突变，故电流必须连续。

3.2.3 电路初始值的确定步骤 (Determination of Initial Values)

初始值是指电路中变量在 $t = 0_+$ 时刻的数值。

确定 $0_-$ 状态：画出 $t = 0_-$ 时刻的等效电路（此时电路处于换路前的稳态）。
- 电容元件相当于开路，电感元件相当于短路。
- 计算出 $u_C(0_-)$ 和 $i_L(0_-)$。
应用换路定理：直接得出 $u_C(0_+) = u_C(0_-)$ 和 $i_L(0_+) = i_L(0_-)$。
确定 $0_+$ 状态：画出 $t = 0_+$ 时刻的等效电路。
- 电容用值为 $u_C(0_+)$ 的理想电压源代替。
- 电感用值为 $i_L(0_+)$ 的理想电流源代替。
- 电源取换路后的瞬时值。
求解非独立变量：在 $0_+$ 等效电路中应用 KCL、KVL 或欧姆定律，解出其他支路电流或电压的初始值（如 $i_C(0_+), u_L(0_+)$ 等）。

3.2.4 关键点补充 (邱关源/秦曾煌重点)

突变性：换路定理仅限定了电容电压 $u_C$ 和电感电流 $i_L$ 的连续性。
特殊情况：如果换路引起电容电压或电感电流的强迫性跃变（如理想电压源与电容并联切换），换路定理将不再适用（此时涉及冲激函数，邱关源教材中有详细讨论）。

3.2.5 举例说明（参考例 3-1）

已知条件：电路如图 3-6(a) 所示，含有 $12\text{V}$ 直流源、$4\Omega$ 电阻 $R_1$、电容 $C$ 和开关 K。换路前开关 K 处于断开状态且电路已达稳态。在 $t = 0$ 时闭合开关 K，求电容电压和支路电流的初始值。

解题过程： 1. 求 $0_-$ 状态：开关断开且稳态，电容相当于开路。得：$u_C(0_-) = 12\text{V}$。 2. 应用换路定理：得：$u_C(0_+) = u_C(0_-) = 12\text{V}$。 3. 求 $0_+$ 状态：闭合开关，电容用 $12\text{V}$ 电压源替代（极性与 $u_C$ 一致）。此时 $R_1$ 两端电压为 $U_S - u_C(0_+) = 12 - 12 = 0\text{V}$。计算支路 $R_1$ 的初始电流：$i_1(0_+) = 0/4 = 0\text{A}$。计算流过 $R_L(2\Omega)$ 的初始电流：$i_R(0_+) = u_C(0_+) / R_L = 12 / 2 = 6\text{A}$。根据 KCL，电容电流初始值：$i_C(0_+) = i_1(0_+) - i_R(0_+) = 0 - 6 = -6\text{A}$。

结论：可以看到，$i_C$ 从换路前的 $0\text{A}$ 突变为 $-6\text{A}$，发生了跃变。

3.3 RC电路的暂态响应

3.3.1 暂态响应的基本概念

暂态过程：电路从一个稳态转变到另一个稳态所经历的中间过程。
激励与响应：电源或信号源的输入称为激励，由此在电路中产生的电压和电流称为响应。
响应的分类：
1. 零输入响应 (ZIR)：无外加激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应。
2. 零状态响应 (ZSR)：初始储能为零，仅由外加激励引起的响应。
3. 全响应：初始储能不为零，且有外加激励时产生的响应。

3.3.2 RC电路的时间常数 ($\tau$) —— 核心参数

定义：反映暂态过程进行快慢的物理量。
公式： \[\tau = RC\]
- 变量含义：$R$ 为电阻（$\Omega$），$C$ 为电容（$F$），$\tau$ 的单位为秒（$s$）。
物理意义：$\tau$ 越大，过渡过程越长；$\tau$ 越小，过渡过程越快。

3.3.3 RC电路的零输入响应 (放电过程)

概念：电容 $C$ 原已充电至电压 $U_0$，在 $t=0$ 时通过电阻 $R$ 放电。

微分方程推导：根据 KVL 有 $u_R + u_C = 0$。代入元件约束 $u_R = Ri$ 和 $i = C\frac{du_C}{dt}$（此处 $i$ 沿 $u_C$ 降低方向）： \[Ri + u_C = R(C\frac{du_C}{dt}) + u_C = 0 \implies RC\frac{du_C}{dt} + u_C = 0\]。
电压公式： \[u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau} \quad (t \ge 0)\]。
电流公式： \[i(t) = -C\frac{du_C}{dt} = \frac{U_0}{R} e^{-t/\tau} \quad (t \ge 0)\]。
能量转化：电容储存的能量最终全部被电阻消耗并转化为热能：$W_R = \frac{1}{2}CU_0^2$。

3.3.4 RC电路的零状态响应 (充电过程)

概念：未储能的电容（$u_C(0_-)=0$）接通直流电源 $U_S$ 进行充电。

微分方程推导：根据 KVL 有 $u_R + u_C = U_S$。 \[RC\frac{du_C}{dt} + u_C = U_S\]。
电压公式： \[u_C(t) = U_S(1 - e^{-t/\tau}) \quad (t \ge 0)\]。
- 分量分析：$U_S$ 为稳态分量（强制分量），$-U_S e^{-t/\tau}$ 为暂态分量（自由分量）。
电流公式： \[i(t) = \frac{U_S}{R} e^{-t/\tau} \quad (t \ge 0)\]。
物理特性：充电开始瞬间（$t=0_+$），电容相当于短路（$u_C=0$）；稳态时（$t \to \infty$），电容相当于开路（$i=0$）。

3.3.5 RC电路的全响应与三要素法

概念：全响应可视为零输入响应与零状态响应的叠加。

通用公式（三要素法）：对于一阶电路，任一变量（电流或电压）$f(t)$ 的响应均可直接写为： **$$f(t) = f() +。
三要素含义：
1. 初始值 $f(0_+)$：由换路定理及 $0_+$ 等效电路求得。
2. 稳态值 $f(\infty)$：换路后电路达到新稳态时的值。
3. 时间常数 $\tau$：$\tau = R_{eq}C$，其中 $R_{eq}$ 是电容两端的戴维南等效电阻。

3.3.6 应用实例：微分电路与积分电路

在脉冲技术中，利用 $RC$ 电路实现波形变换。

RC微分电路：
- 条件：从电阻 $R$ 输出，且 $\tau \ll t_p$（脉宽）。
- 原理：输出电压 $u_o \approx RC\frac{du_i}{dt}$，即将矩形波变为尖脉冲。
RC积分电路：
- 条件：从电容 $C$ 输出，且 $\tau \gg t_p$。
- 原理：输出电压 $u_o \approx \frac{1}{RC}\int u_i dt$，即将矩形波变为锯齿波。

3.3.7 举例说明（参考例 3-4）

已知条件：$U=10V$，$R=1k\Omega$，$C_1=100pF$，$C_2=400pF$ 串联。换路前电压为零。求合闸后 $C_2$ 的电压 $u_{C2}$。 解题思路： 1. 求 $\tau$：等效电容 $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 80pF$。$\tau = R C_{eq} = 10^3 \times 80 \times 10^{-12} = 0.08\mu s$。 2. 求初始值：$u_{C2}(0_+) = 0V$。 3. 求稳态值：稳态时 $u_{C2}(\infty) = \frac{C_1}{C_1 + C_2} U = \frac{100}{500} \times 10 = 2V$（电容分压规律）。 4. 代入三要素公式：$u_{C2}(t) = 2 + (0 - 2)e^{-t/0.08\mu s} = 2(1 - e^{-12.5 \times 10^6 t}) V$。

3.4 一阶电路求解的三要素法

3.4.1 一阶电路的基本概念

定义：电路中只含有一个储能元件（电容或电感），或者可以等效为一个储能元件的线性电路。
数学特征：描述该类电路的方程是一阶线性常系数微分方程。
适用范围：三要素法适用于在直流激励（恒定电压源或电流源）作用下一阶线性电路的零输入响应、零状态响应和全响应的求解。

三要素法（一阶电路通解）

\[f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)]\, e^{-t/\tau}, \quad t \geq 0\] 三要素：初始值 $f(0_+)$、稳态值 $f(\infty)$、时间常数 $\tau$。

3.4.2 三要素法的核心公式

任何变量 $f(t)$（包括电压或电流）随时间变化的通用公式为： **$$f(t) = f() +

变量含义：
- $f(t)$：待求的响应随时间变化的函数。
- $f(0_+)$：响应的初始值，即换路后 $t=0_+$ 瞬间的数值。
- $f(\infty)$：响应的稳态值，即换路后电路达到新稳态时的数值。
- $\tau$：电路的时间常数，反映暂态过程进行的快慢。

3.4.3 公式推导（连等式简单推导）

一阶线性微分方程的通解由稳态分量（特解）和暂态分量（齐次方程通解）两部分组成： 1. 设响应通式为：$f(t) = f_{\text{稳态}} + f_{\text{暂态}} = f(\infty) + Ae^{-t/\tau}$。 2. 在 $t=0_+$ 时，代入初始条件： \[f(0_+) = f(\infty) + A e^0 = f(\infty) + A\]。 3. 由此求得积分常数：\[A = f(0_+) - f(\infty)\]。 4. 将 $A$ 代回通式，得：**$$f(t) = f() +。

3.4.4 确定“三要素”的具体步骤

根据资料，确定三要素的方法归纳如下：

（1）初始值 $f(0_+)$ 的确定：
- 利用换路定理：$u_C(0_+) = u_C(0_-)$ 或 $i_L(0_+) = i_L(0_-)$。
- 画出 $0_+$ 等效电路：将电容看作值为 $u_C(0_+)$ 的电压源，电感看作值为 $i_L(0_+)$ 的电流源，其余电阻和源保持不变。
- 在 $0_+$ 等效电路中解出所需的待求量 $f(0_+)$。
（2）稳态值 $f(\infty)$ 的确定：
- 画出 $t \to \infty$ 时的等效电路：在直流激励下，电路进入稳态，电容相当于开路，电感相当于短路。
- 在这个纯电阻电路中求出 $f(\infty)$。
（3）时间常数 $\tau$ 的确定：
- $RC$ 电路：$\tau = R_{eq}C$；$RL$ 电路：$\tau = L / R_{eq}$。
- $R_{eq}$ 的含义：将储能元件断开，从断开处看进去的戴维南等效电阻（此时电路中所有独立源应置零，即电压源短路、电流源开路）。

3.4.5 具体举例（参考例 3-4）

已知条件：如图 3-13(a)，$U=10V$，$R=1k\Omega$，$C_1=100pF$ 和 $C_2=400pF$ 串联。

求解过程： 1. 求 $\tau$：等效电容 $C = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2} = 80pF$。$\tau = RC = 10^3 \times 80 \times 10^{-12} = 0.08\mu s$。 2. 求初始值 $u_{C2}(0_+)$：根据换路定理，电容电压不能跃变，$u_{C2}(0_+) = u_{C2}(0_-) = 0V$。 3. 求稳态值 $u_{C2}(\infty)$：稳态时，电容串联分压，根据分压公式 $u_{C2}(\infty) = \frac{C_1}{C_1+C_2} U = \frac{100}{500} \times 10 = 2V$。 4. 代入三要素公式： \[u_{C2}(t) = 2 + (0 - 2)e^{-t/0.08\mu s} = 2(1 - e^{-12.5 \times 10^6 t}) V \quad (t \ge 0)\]。

3.4.6 特殊说明

正弦信号激励：如果激励源是正弦量，稳态值 $f(\infty)$ 将不再是常数，而是对应电路方程的正弦稳态解（特解）$f'(t)$。
响应曲线：一阶电路的响应均按指数规律变化，呈现增长或衰减的趋势。

3.5 RL电路的暂态响应

3.5.1 RL 电路的时间常数 ($\tau$) —— 核心参数

时间常数反映了 RL 电路暂态过程进行的快慢。 * 公式： \[\tau = \frac{L}{R}\] * 变量含义： * $L$：电感量，单位为亨利（H）。 * $R$：电阻值，单位为欧姆（$\Omega$）。 * $\tau$：时间常数，单位为秒（s）。 * 物理意义：$\tau$ 越大，电流达到稳态所需的时间越长；当 $t = 5\tau$ 时，通常认为暂态过程结束。

3.5.2 RL 电路的零输入响应 (Magnetic Energy Release)

概念：电路无外加激励，仅由电感元件的初始储能（初始电流 $I_0$）引起的响应。

微分方程推导：根据 KVL，闭合回路中 $u_R + u_L = 0$。代入元件约束 $u_R = Ri$ 和 $u_L = L \frac{di}{dt}$： \[Ri + L \frac{di}{dt} = 0 \implies \frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = 0\]
响应公式：
1. 电流响应：$i(t) = I_0 e^{-t/\tau} = i(0_+) e^{-t/\tau}$。
2. 电阻电压：$u_R(t) = Ri = RI_0 e^{-t/\tau}$。
3. 电感电压：$u_L(t) = -u_R = -RI_0 e^{-t/\tau}$。
能量转化：电感储存的磁场能量全部被电阻消耗并转化为热能。

3.5.3 RL 电路的零状态响应 (Magnetic Energy Storage)

概念：初始电流为零的电感在 $t=0$ 时接通恒定电压源 $U$ 引起的响应。

微分方程推导：根据 KVL 有 $Ri + L \frac{di}{dt} = U$。
响应公式：
1. 电流响应：$i(t) = \frac{U}{R}(1 - e^{-t/\tau}) = i(\infty)(1 - e^{-t/\tau})$。
2. 电阻电压：$u_R(t) = U(1 - e^{-t/\tau})$。
3. 电感电压：$u_L(t) = L \frac{di}{dt} = U e^{-t/\tau}$。
物理特性：在换路瞬间（$t=0_+$），由于电流不能跃变，$i(0_+)=0$，电感相当于开路；稳态时（$t \to \infty$），$u_L=0$，电感相当于短路。

3.5.4 RL 电路的全响应与三要素法

概念：初始电流不为零且有外加激励时的响应，可看作零输入响应与零状态响应的叠加。

三要素通用公式： **$$f(t) = f() +。
求解步骤：
1. 求初始值 $f(0_+)$：利用换路定理 $i_L(0_+) = i_L(0_-)$。
2. 求稳态值 $f(\infty)$：换路后电路达到新稳态，电感视为短路。
3. 求时间常数 $\tau$：$\tau = L / R_{eq}$，其中 $R_{eq}$ 是电感两端的戴维南等效电阻。

3.5.5 举例说明（参考例 3-5）

已知条件：电路中 $U=16V$，$R_1=2\Omega$，$R_2=4\Omega$，$R_3=3\Omega$，$L=3H$。开关 K 从位置 1（稳态）切换到位置 2。求换路后的电感电流。

解题过程： 1. 求初始值：换路前稳态，电感短路，通过分流求得 $i_L(0_-) = 4/3 A$。根据换路定理：$i_L(0_+) = 4/3 A$。 2. 求稳态值：换路后接入位置 2，由于是零输入响应（无新激励），$i_L(\infty) = 0$。 3. 求时间常数：从电感两端看进去的等效电阻 $R_{eq} = 6\Omega$。 $\tau = L / R_{eq} = 3 / 6 = 0.5 s$。 4. 写出表达式： \[i_L(t) = 0 + (4/3 - 0) e^{-t/0.5} = \frac{4}{3} e^{-2t} A\]。

3.5.6 重要提示与对比

电流连续性：RL 电路中，电感电流 $i_L$ 不能跃变，但电感两端的电压 $u_L$ 在换路瞬间可以发生突变。
能量形式：RC 电路储存电场能 ($1/2 Cu^2$)，而 RL 电路储存磁场能 ($1/2 Li^2$)。
直流稳态：在直流激励达到稳态后，电容相当于开路，而电感相当于短路。

4 正弦交流电路

4.1 正弦交流电的基本概念

4.1.1 正弦交流电的定义

概念：电路中电压、电流的大小和方向均随时间按正弦规律周期性变化的交流电，称为正弦交流电。
正弦稳态电路：在线性电路中，若激励源（电压或电流源）是正弦量，当电路达到稳定状态时，电路中的响应也是与激励源同频率的正弦量。
优势：正弦交流电易于产生、传输和变换（利用变压器），且波形平滑，运行稳定，不易产生危险的尖峰电压。

4.1.2 正弦量的三要素

正弦量的瞬时值由幅值、角频率、初相位这三个参数唯一确定，故称之为“三要素”。

4.1.2.1 幅值（振幅/最大值, Amplitude/Maximum Value）

概念：正弦量在一个周期内出现的最大的瞬时值，反映了信号变化的幅度强弱。
符号与单位：用大写字母加下标 $m$ 表示，如 $U_m$、$I_m$、$E_m$（单位：V 或 A）。

4.1.2.2 频率与角频率 (Frequency and Angular Frequency)

周期 ($T$)：交流电完成一次完整循环所需的时间。单位：秒（s）。
频率 ($f$)：单位时间内交流电完成循环的次数。单位：赫兹（Hz）。
角频率 ($\omega$)：正弦量相位随时间变化的角速度（或单位时间内变化的弧度数）。单位：弧度/秒（rad/s）。
公式推导（连等式）：由于正弦量循环一周经过 $2\pi$ 弧度，所需时间为 $T$： \[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\]。
- 例子：我国电力系统的工频为 $f = 50\text{Hz}$，对应的周期 $T = 0.02\text{s}$，角频率 $\omega = 2 \times 3.14 \times 50 \approx 314\text{rad/s}$。

4.1.2.3 相位与初相位 (Phase and Initial Phase)

相位 ($\omega t + \psi$)：反映正弦量随时间变化的进程（即变化到哪一个角度）。
初相位 ($\psi$)：$t=0$ 时刻的相位角，简称初相。它决定了正弦波在计时起点的位置。
瞬时值表达式（以电流为例）： \[i = I_m \sin(\omega t + \psi_i)\]
- $i$：电流瞬时值（单位：A）；
- $I_m$：幅值（单位：A）；
- $\omega$：角频率（单位：rad/s）；
- $\psi_i$：初相位（单位：度或弧度）。

有效值与峰值关系（正弦量）

\[U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707\, U_m, \quad I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}\]

4.1.3 有效值 (Effective Value/RMS Value)

这是衡量交流电大小最重要的一种工程指标。

定义（热效应等效原则）：让交流电 $i$ 与直流电 $I$ 分别通过相同的电阻 $R$，若在一个周期 $T$ 内产生的热量相等，则该直流电的数值 $I$ 即为交流电的有效值。
公式推导（平方平均根形式）：交流电产生热量 $Q_{AC} = \int_0^T i^2 R \, dt$；直流电产生热量 $Q_{DC} = I^2 R T$。令 $Q_{AC} = Q_{DC} \implies I^2 R T = \int_0^T i^2 R \, dt$。消去 $R$ 得：$I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$。
正弦波的特定关系：对于正弦量，通过积分计算可得： \[I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_m \quad \text{且} \quad U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 U_m\]。
- 例子：家用照明电压 220V 是有效值，其最高瞬间的电压幅值约为 $220 \times 1.414 \approx 311V$。

4.1.4 相位差 (Phase Difference)

概念：两个同频率正弦量初相位之差，反映了它们在时间上先后到达波峰或零点的关系。
公式：设 $u = U_m \sin(\omega t + \psi_u)$，$i = I_m \sin(\omega t + \psi_i)$，则相位差为： \[\phi = \psi_u - \psi_i\]。
状态判定：
1. 若 $\phi > 0$：电压超前电流（或电流滞后电压）。
2. 若 $\phi < 0$：电压滞后电流（或电流超前电压）。
3. 若 $\phi = 0$：两者同相。
4. 若 $\phi = \pm 180^\circ$：两者反相。

4.1.5 学习注意事项

符号规范：瞬时值用小写字母（$u, i, e$）；幅值用大写加下标 $m$（$U_m, I_m$）；有效值用大写字母（$U, I$）。工程中如无特殊说明，提到的数值（如 380V）均指有效值。
相位计算：计算相位差时，必须保证两个正弦量具有相同的频率，且写成统一的函数形式（同为 sin 或同为 cos）及统一的正负号。

4.2 正弦量的相量表示

4.2.1 引入相量法的背景与意义

背景：在正弦稳态电路中，电压和电流都是同频率的正弦量。
概念：相量法利用复数来表示正弦量。
意义：使电路的微分方程变为复数代数方程，大大简化了分析过程。

4.2.2 数学基础：复数的四种表示形式

复数 $A$ 在复平面上可以用一个带有箭头的有向线段来表示： 1. 代数式：$A = a + jb$（$a$ 为实部，$b$ 为虚部，$j = \sqrt{-1}$ 是虚数单位）。 2. 三角函数式：$A = r(\cos \psi + j\sin \psi)$（$r$ 为模，$\psi$ 为辐角）。 3. 指数式：$A = re^{j\psi}$。 4. 极坐标式：$A = r\angle\psi$。

复数运算规则 ： * 加减法：适合代数式。实部与实部加减，虚部与虚部加减。 * 乘除法：适合极坐标式。乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。

4.2.3 正弦量的相量定义与推导

相量的本质是基于欧拉公式（Euler’s Formula）：$e^{j\theta} = \cos \theta + j\sin \theta$。

连等式推导（以电流为例） ：设正弦电流瞬时值为 $i(t) = \sqrt{2}I\cos(\omega t + \psi_i)$，根据欧拉公式，它可以看作是一个复指数函数的实部： \[i(t) = \text{Re}\] 其中，复常数 $I e^{j\psi_i}$ 包含了正弦量的两个要素（有效值和初相位），定义为相量： \[\dot{I} = Ie^{j\psi_i} = I\angle\psi_i\]

变量含义 ： * $\dot{I}$：电流有效值相量（符号上方的“·”表示相量）。 * $I$：正弦电流的有效值（相量的模）。 * $\psi_i$：正弦电流的初相位（相量的幅角）。 * $I_m$：若模取最大值，则称为最大值相量，记作 $\dot{I}_m$。

4.2.4 相量运算的性质（微积分变换）

相量表示法最强大的特性在于它能将时域的变换对应为复数的运算： * 微分性质：时域中对时间求导 $\frac{di}{dt}$，在相量域中对应乘以 $j\omega$。 * 推导：$\frac{d}{dt}(I_m e^{j(\omega t + \psi)}) = j\omega(I_m e^{j(\omega t + \psi)})$。 * 积分性质：时域中对时间求积分 $\int i dt$，在相量域中对应除以 $j\omega$。

4.2.5 相量图 (Phasor Diagram)

概念：在复平面上，将电压、电流相量画在同一图上，反映各正弦量之间的大小和相位关系。
例子：若电压 $\dot{U} = 10\angle60^\circ \text{V}$，电流 $\dot{I} = 5\angle30^\circ \text{A}$，则电压超前电流 $30^\circ$。

4.2.6 应用举例（结合例 4-3）

已知：$i_1 = 10\sqrt{2}\cos(314t + 60^\circ) \text{A}$，$i_2 = 22\sqrt{2}\cos(314t - 150^\circ) \text{A}$，求 $i_1 + i_2$。

解题步骤： 1. 写出对应的相量： $\dot{I}_1 = 10\angle60^\circ \text{A} = (5 + j8.66) \text{A}$ $\dot{I}_2 = 22\angle-150^\circ \text{A} = (-19.05 - j11) \text{A}$ 2. 相量加法（代数式）： $\dot{I} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2 = (5 - 19.05) + j(8.66 - 11) = -14.05 - j2.34 \text{A}$ 3. 转回极坐标形式： $\dot{I} \approx 14.24\angle-170.54^\circ \text{A}$ 4. 写回瞬时值表达式： $i = 14.24\sqrt{2}\cos(314t - 170.54^\circ) \text{A}$。

4.2.7 注意事项

同频率前提：只有相同频率的正弦量才能画在同一个相量图中并进行相量加减运算。
非等式关系：相量只是正弦量的数学表示，不等于正弦量。不能写成 $i = \dot{I}$。
有效值约定：实际工程中，若无特殊说明，相量通常默认指有效值相量。

4.3 电路拓扑约束和元件约束的相量形式

4.3.1 电路拓扑约束的相量形式 (KCL 和 KVL)

在正弦稳态电路中，由于同一电路中所有支路的电压和电流都是同频率的正弦量，基尔霍夫定律在相量域内依然成立。

4.3.1.1 基尔霍夫电流定律 (KCL) 的相量形式

概念：对于电路中任何一个节点或闭合面，流入或流出该节点的所有电流相量的代数和恒等于零。
公式： \[\sum \dot{I} = 0\]
变量含义：$\dot{I}$ 为支路电流的有效值相量（单位：$A$）。

4.3.1.2 基尔霍夫电压定律 (KVL) 的相量形式

概念：对于电路中任何一个回路，沿绕行方向各段支路电压相量的代数和恒等于零。
公式： \[\sum \dot{U} = 0\]
变量含义：$\dot{U}$ 为支路电压的有效值相量（单位：$V$）。

4.3.2 元件约束 (VCR) 的相量形式

元件约束即元件的伏安特性。在相量域中，电阻、电感和电容的电压与电流相量之间呈现线性代数关系。

4.3.2.1 电阻元件 (R)

时域关系：$u = Ri$。
相量形式： \[\dot{U} = R\dot{I}\]
相位关系：电压相量与电流相量同相（相位差 $\phi = 0$）。
变量含义：$R$ 为电阻（单位：$\Omega$）。

4.3.2.2 电感元件 (L)

时域关系：$u = L \frac{di}{dt}$。
相量形式推导（连等式）：根据相量的微分性质，时域求导 $\frac{d}{dt}$ 对应相量域乘以 $j\omega$： \[\dot{U} = L \cdot (j\omega \dot{I}) = j(\omega L) \dot{I} = jX_L \dot{I}\]
感抗 ($X_L$)：$X_L = \omega L = 2\pi fL$。它反映了电感对交流电的阻碍作用。
相位关系：电压超前电流 $90^\circ$（即 $\dot{U}$ 在复平面上领先 $\dot{I}$ 一个 $j$ 的位置）。
变量含义：$L$ 为电感（$H$），$\omega$ 为角频率（$rad/s$），$j$ 为虚数单位。

4.3.2.3 电容元件 (C)

时域关系：$i = C \frac{du}{dt}$。
相量形式推导（连等式）： \[\dot{I} = C \cdot (j\omega \dot{U}) \implies \dot{U} = \frac{1}{j\omega C} \dot{I} = -j \frac{1}{\omega C} \dot{I} = -jX_C \dot{I}\]
容抗 ($X_C$)：$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$。它反映了电容对交流电的阻碍作用。
相位关系：电压滞后电流 $90^\circ$。
变量含义：$C$ 为电容（$F$），$X_C$ 为容抗（$\Omega$）。

4.3.3 核心概念对比表

元件	伏安特性 (VCR)	阻抗 ($Z$)	相位关系 ($\phi = \psi_u - \psi_i$)
电阻	$\dot{U} = R\dot{I}$	$R$	$0^\circ$ (同相)
电感	$\dot{U} = jX_L\dot{I}$	$j\omega L$	$+90^\circ$ (电压超前)
电容	$\dot{U} = -jX_C\dot{I}$	$1/(j\omega C)$	$-90^\circ$ (电压滞后)

4.3.4 知识点总结与应用例子

统一性：引入相量形式后，交流电路的分析在形式上与直流电路完全一致，欧姆定律和基尔霍夫定律依然有效，只是计算对象变成了复数。
计算例子（结合例 4-8）：在含有已知电压源 $\dot{U}_S$、电阻、电感和电容的复杂电路中，可以通过将所有元件转换为其对应的复阻抗（如 $j\omega L$ 或 $-j/\omega C$），然后应用 KCL 和 KVL 列出相量方程组进行求解。

4.4 阻抗和导纳及其串并联

复阻抗

\[Z = R + jX = |Z|\angle\varphi_Z, \quad |Z| = \sqrt{R^2+X^2}, \quad \varphi_Z = \arctan\frac{X}{R}\]

感性：$X_L = \omega L > 0$；容性：$X_C = -\dfrac{1}{\omega C} < 0$

4.4.1 复阻抗 (Complex Impedance, $Z$)

概念：在正弦稳态电路中，端口电压相量 $\dot{U}$ 与电流相量 $\dot{I}$ 的比值定义为该一端口网络的阻抗。它反映了电路对交流电的总阻碍作用。

定义公式与极坐标形式： \[Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{U \angle \psi_u}{I \angle \psi_i} = \frac{U}{I} \angle (\psi_u - \psi_i) = |Z| \angle \phi\]
- $|Z|$：阻抗模，单位为欧姆 ($\Omega$)。表示电压与电流有效值的比值。
- $\phi$：阻抗角（相位差）。$\phi = \psi_u - \psi_i$。若 $\phi > 0$ 电路呈感性；$\phi < 0$ 呈容性；$\phi = 0$ 呈阻性。
代数形式（直角坐标形式）： \[Z = R + jX\]
- $R$：电阻分量（实部）。
- $X$：电抗分量（虚部）。在 $RLC$ 串联电路中，$X = X_L - X_C = \omega L - \frac{1}{\omega C}$。
阻抗三角形关系：由勾股定理可得：$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$；阻抗角 $\phi = \arctan(X/R)$。

4.4.2 复导纳 (Complex Admittance, $Y$)

概念：复阻抗的倒数称为复导纳。它反映了电路导通交流电的能力。

定义公式： \[Y = \frac{1}{Z} = \frac{\dot{I}}{\dot{U}} = |Y| \angle \phi_y\]
- $|Y|$：导纳模，单位为西门子 ($S$)。
- $\phi_y$：导纳角。$\phi_y = -\phi$。
代数形式： \[Y = G + jB\]
- $G$：等效电导（实部）。
- $B$：等效电纳（虚部）。

4.4.3 阻抗与导纳的等值互换 (核心推导)

通过复数代数运算，可以将串联模型 ($R, X$) 转换为并联模型 ($G, B$)。

连等式推导： \[Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX} = \frac{R - jX}{(R + jX)(R - jX)} = \frac{R - jX}{R^2 + X^2} = \frac{R}{R^2 + X^2} - j \frac{X}{R^2 + X^2}\]
对应关系：
- $G = \frac{R}{R^2 + X^2} = \frac{R}{|Z|^2}$
- $B = -\frac{X}{R^2 + X^2} = -\frac{X}{|Z|^2}$
注意：邱关源教材提醒，通常 $G \neq 1/R$ 且 $B \neq 1/X$，只有在纯电阻或纯电抗电路中才成立。

4.4.4 阻抗、导纳的串联与并联

交流电路的连接规则在形式上与直流电阻电路完全相同。

4.4.4.1 阻抗的串联 (Impedances in Series)

等效阻抗：各串联阻抗之代数和。 \[Z_{eq} = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n = \sum Z_k\]
分压公式： \[\dot{U}_k = \frac{Z_k}{Z_{eq}} \dot{U}\]
- 变量含义：$\dot{U}_k$ 为第 $k$ 个阻抗上的电压相量，$\dot{U}$ 为总电压相量。

4.4.4.2 阻抗的并联 (Impedances in Parallel)

等效导纳：各并联支路导纳之代数和。 \[Y_{eq} = Y_1 + Y_2 + \dots + Y_n = \sum Y_k\]
等效阻抗 (两个阻抗并联)： \[Z_{eq} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}\]
分流公式 (两个支路)： \[\dot{I}_1 = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \dot{I}\]
- 注意：由于复数加法的特点，并联总电流的有效值通常小于各支路电流有效值之和，即 $I \neq I_1 + I_2$。

4.4.5 举例说明（参考例 4.6.2）

已知条件：两个阻抗并联，$Z_1 = (3 + j4) \Omega$，$Z_2 = (8 - j6) \Omega$，外接电压 $\dot{U} = 220 \angle 0^\circ V$。求总电流。

求解过程： 1. 极坐标化：$Z_1 = 5 \angle 53.1^\circ \Omega$，$Z_2 = 10 \angle -36.9^\circ \Omega$。 2. 求各支路电流： $\dot{I}_1 = \dot{U}/Z_1 = 220 \angle 0^\circ / 5 \angle 53.1^\circ = 44 \angle -53.1^\circ A$。 $\dot{I}_2 = \dot{U}/Z_2 = 220 \angle 0^\circ / 10 \angle -36.9^\circ = 22 \angle 36.9^\circ A$。 3. 求总电流（相量相加）： $\dot{I} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2 = (26.4 - j35.2) + (17.6 + j13.2) = 44 - j22 = 49.2 \angle -26.6^\circ A$。结论：总电流有效值为 $49.2 A$，而两支路电流之和为 $44+22=66A$，直观展示了交流电路相量加法的特性。 ## 正弦稳态电路的相量分析法

4.4.6 核心思想：频域等效模型

相量分析法的基础在于：在线性电路中，若所有激励（电源）都是同频率的正弦量，则电路达到稳态后，所有响应（电流、电压）也都是同频率的正弦量。因此，我们只需关注它们的幅值和初相位，而不必处理随时间变化的三角函数。

计算步骤：
1. 时域 $\rightarrow$ 频域：将电路中的瞬时值电压、电流换成相量，元件换成复阻抗。
2. 代数运算：应用直流电路的方法列复数方程。
3. 频域 $\rightarrow$ 时域：将计算结果（相量）变回瞬时值表达式。

4.4.7 拓扑约束与元件约束的相量形式

这是相量分析法能直接套用直流电路公式的法理依据。

4.4.7.1 基尔霍夫定律的相量形式

KCL 相量形式：$\sum \dot{I} = 0$。即流向任一节点的电流相量代数和为零。
KVL 相量形式：$\sum \dot{U} = 0$。即沿任一回路绕行一周，支路电压相量的代数和为零。

4.4.7.2 元件约束（VCR）的相量形式（相量欧姆定律）

通用公式： \[\dot{U} = Z \cdot \dot{I}\] 或 \[\dot{I} = Y \cdot \dot{U}\]
变量含义：
- $\dot{U}$、$\dot{I}$：电压、电流的有效值相量。
- $Z$：复阻抗（单位：$\Omega$）。对于 $R, L, C$ 分别为 $R$、$j\omega L$、$-j\frac{1}{\omega C}$。
- $Y$：复导纳（单位：$S$）。$Y = 1/Z$。

4.4.8 直流电路分析法的全面迁移

由于上述约束方程在形式上与直流电路一致（仅由常数变为复数），以下方法可直接应用：

支路电流法：以支路电流相量为未知量列 KCL/KVL。
节点电压法（重点）：
- 公式推导：设节点 $i$ 的电位为 $\dot{U}_{ni}$，则节点 $1$ 的方程为： $Y_{11} \dot{U}_{n1} + Y_{12} \dot{U}_{n2} + \dots = \dot{I}_{S11}$
- 变量含义：$Y_{11}$ 为与节点 $1$ 相连的所有支路导纳之和；$\dot{I}_{S11}$ 为流入该节点的电流源相量之和。
网孔电流法：以网孔电流相量为未知量列 KVL 方程。

4.4.9 核心电路定理的相量形式

4.4.9.1 叠加定理 (Superposition Theorem)

概念：在线性正弦稳态电路中，任一响应相量等于各独立源单独作用时产生的响应相量的代数和。
注意：必须是同频率电源。若频率不同，相量不能直接相加，必须在时域叠加瞬时值。

4.4.9.2 戴维南与诺顿定理

戴维南等效：任何含源一端口网络均可等效为理想电压源 $\dot{U}_{oc}$ 与阻抗 $Z_{eq}$ 的串联。
- 公式：$\dot{U} = \dot{U}_{oc} - Z_{eq} \dot{I}$
诺顿等效：等效为理想电流源 $\dot{I}_{sc}$ 与阻抗 $Z_{eq}$ 的并联。
求解 $Z_{eq}$：将内部独立源置零（电压源短路，电流源开路），从端口看进去的等效输入阻抗。

4.4.9.3 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) —— 邱关源补充

公式：$\sum \dot{U}_k \dot{I}_k^* = 0$（此处 $\dot{I}_k^*$ 是共轭复数，用于分析复功率平衡）。

4.4.10 典型计算例子（戴维南定理应用）

题目：已知电路中 $U_S=100\angle 0^\circ V$，$Z_1=10+j20\Omega$，$Z_2=5-j4\Omega$，负载电阻 $R_4=7\Omega$。求 $R_4$ 上的电流。

计算推导： 1. 断开负载，求开路电压 $\dot{U}_{oc}$：利用分压公式：$\dot{U}_{oc} = \frac{R_3}{Z_1+Z_2+R_3} \dot{U}_{S1}$ 2. 求等效阻抗 $Z_{eq}$：将电压源短路：$Z_{eq} = R_3 // (Z_1 + Z_2)$ 3. 接回负载求电流： $\dot{I}_4 = \frac{\dot{U}_{oc}}{Z_{eq} + R_4}$ 最后将结果转回时域表达式：$i_4(t) = \sqrt{2} I_4 \cos(\omega t + \psi)$。

4.4.11 学习重点总结

复系数方程：与直流电路唯一的不同是方程变为复系数。
相量图法：邱关源教材强调，对于简单的串并联电路，利用相量图的几何关系（如勾股定理、三角函数）往往比纯代数计算更直观快捷。
功率分析前奏：本节求得的电压、电流相量是下一节计算有功功率、无功功率和视在功率的基础。

4.5 正弦稳态电路的功率

功率三角形

功率	符号	公式	单位
有功功率	$P$	$UI\cos\varphi$	W
无功功率	$Q$	$UI\sin\varphi$	var
视在功率	$S$	$UI = \sqrt{P^2+Q^2}$	VA
功率因数	$\cos\varphi$	$P/S$	—

4.5.1 瞬时功率 (Instantaneous Power, $p$)

概念：电路吸收电能的瞬时速率，等于瞬时电压 $u$ 与瞬时电流 $i$ 的乘积。
公式推导：设 $u = \sqrt{2}U\cos(\omega t + \phi_u)$，$i = \sqrt{2}I\cos(\omega t + \phi_i)$，相位差 $\phi = \phi_u - \phi_i$。 \[p = ui = 2UI \cos(\omega t + \phi_u) \cos(\omega t + \phi_i)\] 利用三角恒等式 $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ 得： \[p = UI\cos\phi + UI\cos(2\omega t + \phi_u + \phi_i)\]
特征：瞬时功率包含一个恒定分量 $UI\cos\phi$ 和一个以两倍角频率 ($2\omega$) 变化的正弦分量。

4.5.2 有功功率（平均功率, Active Power, $P$）

概念：瞬时功率在一个周期内的平均值，反映了电路实际消耗（转化）的电能。
公式： \[P = \frac{1}{T} \int_0^T p \, dt = UI\cos\phi\]
- 变量含义：$U, I$ 为有效值，$\cos\phi$ 为功率因数。
- 单位：瓦特 (W)。
元件特性：电阻消耗有功功率 ($P_R = I^2R$)，而理想电感和电容的有功功率为 0（它们只储能不耗能）。

4.5.3 无功功率 (Reactive Power, $Q$)

概念：反映电路中电源与储能元件（电感、电容）之间能量交换规模的物理量，数值上等于瞬时功率中吞吐能量的幅度。
公式： \[Q = UI\sin\phi\]
- 单位：乏 (var) 或千乏 (kvar)。
符号规定：感性电路 $\phi > 0, Q > 0$；容性电路 $\phi < 0, Q < 0$。

4.5.4 视在功率 (Apparent Power, $S$)

概念：电压有效值与电流有效值的乘积，反映了电气设备的容量或可能输出的最大功率。
公式： \[S = UI = \sqrt{P^2 + Q^2}\]
- 单位：伏安 (VA) 或千伏安 (kVA)。

4.5.5 功率因数 (Power Factor, $\cos\phi$)

概念：有功功率与视在功率的比值 $\lambda = P/S = \cos\phi$。
意义：衡量交流电设备利用率的重要指标。
提高功率因数：感性负载通过并联电容器来提高功率因数。
- 并联电容计算公式： \[C = \frac{P}{\omega U^2}(\tan\phi_1 - \tan\phi_2)\]
  - $P$：负载有功功率；$\phi_1, \phi_2$：补偿前后的功率因数角。

4.5.6 复功率 (Complex Power, $\tilde{S}$) —— 邱关源重点补充

概念：将功率表示为复数形式，以便于利用相量法分析功率平衡。
公式推导：设 $\dot{U} = U\angle\phi_u$，$\dot{I} = I\angle\phi_i$，电流相量的共轭为 $\dot{I}^* = I\angle-\phi_i$。 \[\tilde{S} = \dot{U}\dot{I}^* = UI\angle(\phi_u - \phi_i) = UI\cos\phi + jUI\sin\phi = P + jQ\]
特点：复功率的模为视在功率 $S$，实部为有功 $P$，虚部为无功 $Q$。

4.5.7 功率三角形 (Power Triangle)

描述：$P$、$Q$、$S$ 三者构成一个直角三角形：
- 底边为有功功率 $P$。
- 对边为无功功率 $Q$。
- 斜边为视在功率 $S$。
- 夹角为功率因数角 $\phi$。

4.5.8 最大功率传输定理 (正弦稳态版)

概念：在正弦稳态电路中，负载阻抗 $Z_L$ 调整到什么值时可获得最大功率。
共轭匹配条件： \[Z_L = Z_S^*\]（即 $R_L = R_S, X_L = -X_S$）
最大功公式： \[P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}\]
- 其中 $U_{oc}$ 为开路电压有效值，$R_{eq}$ 为戴维南等效电阻。

4.5.9 举例说明（参考例 4-9）

测量电感线圈参数：已知电压 $U=50\text{V}$，电流 $I=1\text{A}$，消耗有功功率 $P=30\text{W}$，频率 $f=50\text{Hz}$。 1. 求阻抗模：$Z = U/I = 50\Omega$。 2. 求功率因数：$\cos\phi = P/UI = 30/(50 \times 1) = 0.6 \implies \phi = 53.13^\circ$。 3. 求电阻与感抗： $R = Z\cos\phi = 50 \times 0.6 = 30\Omega$。 $X_L = Z\sin\phi = 50 \times 0.8 = 40\Omega \implies L = X_L/(2\pi f) \approx 127\text{mH}$。

4.6 非正弦周期电流电路

4.6.1 非正弦周期信号的概念与来源

定义：电路中电压、电流的大小随时间按非正弦规律作周期性变化的信号。
来源：
1. 电源本身是非正弦的：如电子电路中的矩形脉冲波、锯齿波或三角波信号源。
2. 电路中含有非线性元件：即使激励电源是正弦的，经过二极管整流或含有铁心线圈的非线性电路后，响应也会变为非正弦周期信号。

4.6.2 非正弦周期信号的傅里叶级数展开

任何满足狄里赫利条件的周期函数 $f(t)$ 都可以展开为无穷多个正弦项和余弦项的和。

展开公式： \[f(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty} A_{km} \sin(k\omega t + \psi_k)\]
各项含义：
- $A_0$：直流分量（或恒定分量）。
- $A_{1m} \sin(\omega t + \psi_1)$：基波（或一次谐波），其频率与原信号频率相同。
- $A_{km} \sin(k\omega t + \psi_k)$ ($k>1$)：高次谐波，其频率是基波频率的整数倍。
频谱：将各次谐波的幅值（或有效值）按频率高低顺序排列，构成的图形称为频谱图。

4.6.3 非正弦周期量的有效值 (RMS Value)

非正弦周期量的有效值等于其各次谐波有效值平方和的平方根。

公式推导（连等式）：根据有效值的定义 $I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$，代入傅里叶级数展开式，利用三角函数的正交性，抵消掉不同频率交叉相乘的项： **\[I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T}\]
- 变量含义：$I$ 为总有效值；$I_0$ 为直流分量；$I_k$ 为第 $k$ 次谐波的有效值。

4.6.4 非正弦周期电流电路的平均功率

电路消耗的平均功率等于直流分量的功率与各次谐波产生的平均功率之代数和。

公式： \[P = U_0 I_0 + \sum_{k=1}^{\infty} U_k I_k \cos \phi_k = P_0 + P_1 + P_2 + \dots\]
物理意义：不同频率的电压和电流之间不产生平均功率。
- 变量含义：$U_k, I_k$ 为第 $k$ 次谐波的有效值；$\phi_k$ 为 $k$ 次谐波电压与电流之间的相位差。

4.6.5 非正弦周期电流电路的计算步骤 (核心方法)

计算此类电路必须遵循叠加原理，严禁将不同频率的相量直接相加。

分解：将非正弦源展开成傅里叶级数。
分频率计算响应：
- 直流分量：电感视为短路，电容视为开路。
- 各次谐波：分别利用相量法计算。注意感抗和容抗随频率改变： $X_{Lk} = k\omega L$，$X_{Ck} = \frac{1}{k\omega C}$。
合成：将各分量响应的瞬时值进行叠加。
- 例子：若求总电流 $i(t)$，结果应写成 $i(t) = I_0 + i_1(t) + i_2(t) + \dots$ 的形式。

4.6.6 计算举例 (结合例 4-11)

已知条件：电路有 $R=5\Omega, L, C$，电源电压 $u(t) = 10 + 141.4\cos\omega t + 70.7\cos(3\omega t+30^\circ) V$。 * 解题逻辑： 1. 直流作用：$U_0 = 10V$，求出 $I_0 = U_0/R = 2A$。 2. 基波作用：$\dot{U}_1 = \frac{141.4}{\sqrt{2}}\angle 0^\circ = 100\angle 0^\circ V$，计算阻抗 $Z_1 = R + j\omega L$，求出 $\dot{I}_1$。 3. 3次谐波作用：$\dot{U}_3 = 50\angle 30^\circ V$，阻抗变为 $Z_3 = R + j3\omega L$，求出 $\dot{I}_3$。 4. 最后合成：$i(t) = I_0 + \sqrt{2}I_1\cos(\omega t + \theta_1) + \sqrt{2}I_3\cos(3\omega t + \theta_3)$。

4.6.7 学习注意点 (邱关源补充)

有效值不等式：非正弦波的有效值不等于幅值的 $1/\sqrt{2}$。
阻抗随频率变：不同谐波面对的阻抗是完全不同的，必须逐次计算。
谐振现象：在某些频率下，电路可能对特定谐波产生谐振，导致该谐波分量在电路中异常增大。

4.7 谐振电路

4.7.1 谐振的基本概念

定义：在含有 $L$ 和 $C$ 的正弦稳态电路中，若二端网络端口电压与电流的相位差 $\phi = 0$，电路呈现纯电阻性，这种现象称为谐振。
分类：根据元件连接方式，分为串联谐振和并联谐振。

4.7.2 串联谐振 (Series Resonance)

串联谐振发生在 $R$、$L$、$C$ 串联电路中。

4.7.2.1 谐振条件与频率推导

阻抗表达式：$Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})$。
谐振条件：要使电压与电流同相，阻抗的虚部必须为零，即： \[\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \implies \omega L = \frac{1}{\omega C}\]。
谐振角频率 ($\omega_0$)： \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]。
谐振频率 ($f_0$)： \[f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]。
- 变量含义：$L$ 为电感量（H），$C$ 为电容量（F），$f_0$ 单位为赫兹（Hz）。

4.7.2.2 串联谐振的特征

阻抗最小且为纯电阻：$Z = R$。
电流最大：$I_0 = U/R$。在电源电压 $U$ 一定时，谐振电流达到峰值。
电压特征（电压增益）：电阻电压等于电源电压 ($U_R = U$)；电感电压与电容电压大小相等、相位相反 ($U_L = U_C$)。
能量性质：电场能与磁场能在电路内部相互转换，不与电源发生能量交换。

4.7.2.3 品质因数 (Quality Factor, $Q$)

定义：谐振时电感（或电容）电压与电源电压的比值。
公式推导： \[Q = \frac{U_L}{U} = \frac{I_0 \omega_0 L}{I_0 R} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\]。
物理意义：$Q$ 值越高，电路的选频特性（选择性）越好，谐振曲线越尖锐。
例子：收音机的选频电路。利用可调电容 $C$ 使电路谐振于某一频率，从而滤除其他杂波信号。

4.7.3 并联谐振 (Parallel Resonance)

通常指电感线圈（含电阻 $R$）与电容器并联的电路。

4.7.3.1 谐振条件与频率推导

导纳表达式：$Y = \frac{1}{R+j\omega L} + j\omega C$。
谐振条件：令导纳的虚部为零，推导得： \[\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{L}\right)^2}\]。
近似情况：当 $R \ll \omega_0 L$ 时，$\omega_0 \approx \frac{1}{\sqrt{LC}}$，与串联谐振频率相同。

4.7.3.2 并联谐振的特征

导纳最小，阻抗最大：谐振时阻抗 $Z_0 = \frac{L}{RC}$。
电流最小：在电源电压 $U$ 一定时，总电流 $I_0 = U/Z_0$ 达到极小值。
电流特征（电流增益）：支路电流 $I_L \approx I_C \approx QI$。即支路电流远大于总电流，故并联谐振又称电流谐振。
- 变量含义：$I$ 为总电流，$Q$ 为品质因数。

4.7.3.3 品质因数 ($Q$)

公式：当 $R$ 很小时，$Q \approx \frac{\omega_0 L}{R} \approx \frac{1}{\omega_0 RC}$。

4.7.4 学习要点总结与对比

特性	串联谐振 (RLC)	并联谐振 ($R-L // C$)
谐振频率	$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$	$\omega_0 \approx 1/\sqrt{LC}$ (当 $R$ 较小时)
阻抗/导纳	阻抗 $Z$ 最小，等于 $R$	阻抗 $Z$ 最大，等于 $L/RC$
电流/电压	电流 $I$ 最大	总电流 $I$ 最小
别名	电压谐振 ($U_L, U_C$ 很大)	电流谐振 ($I_L, I_C$ 很大)
主要用途	选频、产生高压（如耐压试验）、提高功率因数

重要公式连等推导示例（串联 $Q$ 值）： \[Q = \frac{U_L}{U} = \frac{X_L I_0}{R I_0} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{\frac{1}{\sqrt{LC}} L}{R} = \frac{\sqrt{L}}{R\sqrt{C}} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\]。

5 三相交流电与安全用电

5.1 三相电源

5.1.1 三相电源的定义 (Definition of Three-phase Power Supply)

概念：由三个频率相同、幅值相等、相位彼此相差 120° 的正弦电压源按一定方式连接组成的供电系统，称为对称三相电源。
三相电路：由三相电源供电的电路。

5.1.2 三相电动势的产生 (Generation)

物理实现：由三相交流发电机产生。其定子上嵌入三个形状及匝数完全相同的绕组（分别称为 A 相、B 相和 C 相绕组），各绕组在空间位置上彼此相隔 120°。
工作原理：当发电机的磁极转子以角速度 $\omega$ 匀速旋转时，根据电磁感应定律，在三个绕组中感应出三个同频率、同幅值、相位差为 120° 的正弦电压。

5.1.3 三相电压的数学表示 (Mathematical Representation)

通常以 A 相为参考正弦量（初相设为零），则三相电压的表达式如下：

5.1.3.1 瞬时值表达式

\[ \begin{cases} u_A = \sqrt{2}U \cos(\omega t) \\ u_B = \sqrt{2}U \cos(\omega t - 120^\circ) \\ u_C = \sqrt{2}U \cos(\omega t + 120^\circ) \end{cases} \] * 变量含义： * $u_A, u_B, u_C$：A、B、C 各相电压的瞬时值（V）。 * $U$：各相电压的有效值（V）。 * $\omega$：角频率（rad/s）。 * $120^\circ$：三相之间的相位差。

5.1.3.2 相量表达式

\[ \begin{cases} \dot{U}_A = U \angle 0^\circ \\ \dot{U}_B = U \angle -120^\circ \\ \dot{U}_C = U \angle 120^\circ = U \angle -240^\circ \end{cases} \]

5.1.3.3 算子表示法（补充）

引入单位相量算子 $\alpha = 1 \angle 120^\circ$，则有： \[ \dot{U}_B = \alpha^2 \dot{U}_A, \quad \dot{U}_C = \alpha \dot{U}_A \]

5.1.4 对称三相电源的核心特性 (Core Characteristics)

代数和为零（连等式推导）：在任一瞬间，对称三相电压的瞬时值之和以及相量之和恒等于零。 \[ u_A + u_B + u_C = 0 \] \[ \dot{U}_A + \dot{U}_B + \dot{U}_C = U \angle 0^\circ + U \angle -120^\circ + U \angle 120^\circ = U(1 - \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 \]
物理意义：这一特性意味着在三相平衡系统中，若将三相末端连在一起，其总电压波动为零。

5.1.5 相序 (Phase Sequence)

定义：三相电压到达最大值的先后次序。
正序（顺序）：$A \to B \to C$。即 $u_A$ 超前 $u_B$ 120°，$u_B$ 超前 $u_C$ 120°。电力系统中一般采用此序。
负序（反序）：$A \to C \to B$。即 $u_B$ 超前 $u_A$ 120°。
例子：若将连接电动机的三相电源线中任意两根对调，就会改变相序，从而使电动机反转。

5.1.6 三相电源的优势 (Advantages)

设备效率高：在相同尺寸下，三相发电机比单相发电机输出功率更大。
传输成本低：输电功率相同时，三相输电线比单相输电线可节省约 25% 的有色金属（铜或铝）。
运行平稳：对称三相负载的总瞬时功率是一个常数（不随时间变化），这使得三相电动机能获得恒定的转矩，运行更稳定。

5.1.7 术语辨析

端线（火线）：从电源绕组首端引出的输电线。
中性点（零点）：三相绕组末端连接在一起的公共点 $N$。
中性线（零线/地线）：从中性点引出的导线。

5.2 三项电路的连接与结构

5.2.1 三相电路的基本术语 (Basic Terminology)

端线（端线/火线）：连接电源与负载的导线。
中性线（中性线/零线）：连接电源中性点 $N$ 与负载中性点 $N'$ 的导线。
相电压 ($U_p$)：每相负载或每相电源绕组两端的电压。
线电压 ($U_L$)：两条端线（火线）之间的电压。
相电流 ($I_p$)：流过每相负载或电源绕组的电流。
线电流 ($I_L$)：流过端线的电流。

5.2.2 星形连接 (Star Connection, Y)

5.2.2.1 连接结构

将三相绕组的末端（X、Y、Z）或三相负载的末端连接在一起形成一个公共点（中性点），而首端分别向外引出端线。

5.2.2.2 电压关系 (Voltage Relationship)

在星形连接中，线电压与相电压的相量关系为 $\dot{U}_L = \dot{U}_{\text{相1}} - \dot{U}_{\text{相2}}$。 * 有效值公式推导（连等式）：以 A、B 相为例，$\dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B$。设 $\dot{U}_A = U_p \angle 0^\circ$，$\dot{U}_B = U_p \angle -120^\circ$： \[\dot{U}_{AB} = U_p(1 - e^{-j120^\circ}) = U_p(1 + \frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}U_p \angle 30^\circ\] * 结论：$U_L = \sqrt{3}U_p$。线电压在相位上超前其对应的相电压 30°。 * 例子：我国常用的低压配电系统，相电压为 220V，则线电压为 $220 \times \sqrt{3} \approx 380V$。

5.2.2.3 电流关系 (Current Relationship)

结论：$I_L = I_p$。
含义：在星形连接中，端线与相支路是串联关系，故线电流等于相电流。

5.2.3 三角形连接 (Delta Connection, $\Delta$)

5.2.3.1 连接结构

将三相负载或电源绕组的首末端依次相连（A-Z, B-X, C-Y），形成一个闭合回路，从三个连接点引出端线。

5.2.3.2 电压关系

结论：$U_L = U_p$。
含义：每相负载直接跨接在两条端线之间，因此线电压即为相电压。

5.2.3.3 电流关系 (Current Relationship)

在对称三相系统中，线电流与相电流的相量关系为 $\dot{I}_A = \dot{I}_{AB} - \dot{I}_{CA}$。 * 有效值公式推导（连等式）：设 $\dot{I}_{AB} = I_p \angle 0^\circ$，$\dot{I}_{CA} = I_p \angle 120^\circ$： \[\dot{I}_A = I_p(1 - \cos 120^\circ - j\sin 120^\circ) = I_p(1 + \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}I_p \angle -30^\circ\] * 结论：$I_L = \sqrt{3}I_p$。线电流在相位上滞后于对应的相电流 30°。

5.2.4 三相电路的结构分类

三相四线制 (Three-phase Four-wire System)：电源与负载均按 Y 形连接，且连有中性线。适用于单相负载较多且不对称的场合。
三相三线制 (Three-phase Three-wire System)：不引出中性线的 Y 形连接或 $\Delta$ 形连接。当三相负载对称时，中性线电流为零，可采用此制式。

三相电路线值与相值关系

接法	电压关系	电流关系
星形 Y	$U_l = \sqrt{3}\, U_p$	$I_l = I_p$
三角形 $\Delta$	$U_l = U_p$	$I_l = \sqrt{3}\, I_p$

5.2.5 核心计算公式与应用

负载相电流计算： \[I_p = \frac{U_p}{|Z|}\] 其中 $U_p$ 为每相负载承受的相电压，$|Z|$ 为每相负载的阻抗模。
中性线电流 ($I_N$)：对于三相四线制，根据 KCL：$\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C$。
- 对称负载时：$\dot{I}_N = 0$，此时中性点位移为零。
星-三角（Y-$\Delta$）降压起动例证：电动机在星形起动时的线电流 $I_{LY}$ 仅为三角形运行（正常工作）时线电流 $I_{L\Delta}$ 的 $1/3$： \[\frac{I_{LY}}{I_{L\Delta}} = \frac{U_L/(\sqrt{3}Z)}{\sqrt{3}(U_L/Z)} = \frac{1}{3}\] 这是电力工程中限制起动电流的常用手段。

5.2.6 总结表

连接方式	电压关系 ($U_L, U_p$)	电流关系 ($I_L, I_p$)	结构特点
星形 (Y)	$U_L = \sqrt{3}U_p$	$I_L = I_p$	有中性点，可引出中性线
三角形 ($\Delta$)	$U_L = U_p$	$I_L = \sqrt{3}I_p$	无中性点，回路内电动势代数和为零

5.3 对称三项电路的计算

5.3.1 对称三相电路的定义与特征

概念：由对称三相电源、对称三相负载以及阻抗相等的输电线组成的电路。
核心特征：
- 三相电源对称：$\dot{U}_A + \dot{U}_B + \dot{U}_C = 0$。
- 三相负载对称：$Z_A = Z_B = Z_C = Z$。
- 中性点性质：在 Y-Y 连接中，电源中性点 $N$ 与负载中性点 $N'$ 之间的电位差为零（即 $\dot{U}_{N'N} = 0$）。

5.3.2 核心分析方法：三相化一相法 (Single-phase Method)

概念：利用对称性，只需计算其中一相（通常选 A 相）的电压和电流，其余两相的量可根据对称关系（相位依次差 120°）直接写出。

单相计算等效电路的画法：
1. 将电源中性点 $N$ 与负载中性点 $N'$ 用一条无阻抗的导线连接起来。
2. 仅取出 A 相电源、A 相线路阻抗和 A 相负载构成回路。
计算公式： \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AN}}{Z_l + Z}\]
- 变量含义：
  - $\dot{I}_A$：A 相线电流（在 Y 接中也是相电流）。
  - $\dot{U}_{AN}$：电源相电压。
  - $Z_l$：每根输电线的复阻抗。
  - $Z$：每相负载的复阻抗。
例子：已知对称 Y-Y 电路，线电压 $380\text{V}$，负载 $Z=5+j6\Omega$，线路 $Z_l=1+j2\Omega$。求线电流。
- 先求相电压 $\dot{U}_{AN} = 220\angle 0^\circ \text{V}$。
- 总阻抗 $Z_{\text{总}} = Z + Z_l = 6+j8 = 10\angle 53.1^\circ \Omega$。
- 则 $\dot{I}_A = 220/10\angle -53.1^\circ = 22\angle -53.1^\circ \text{A}$。

5.3.3 不同连接方式的等效变换 ($\Delta \to Y$)

若负载为三角形（$\Delta$）联结且考虑线路阻抗时，通常先将其转化为星形（Y）联结。

等效公式推导： \[Z_Y = \frac{Z_\Delta}{3}\]
- 变量含义：$Z_Y$ 为变换后的星形每相负载阻抗；$Z_\Delta$ 为原三角形每相负载阻抗。
注意：变换后线电流保持不变，但负载承受的电压从线电压变为了相电压。

5.3.4 对称三相电路的功率计算

三相负载的总功率等于各相功率之和。

5.3.4.1 有功功率 (Active Power, $P$)

公式推导（连等式）： $P = P_A + P_B + P_C = 3 U_p I_p \cos \phi$ 代入线值关系（以 Y 接为例：$U_p = U_L/\sqrt{3}, I_p = I_L$）： \[P = 3 \times \frac{U_L}{\sqrt{3}} \times I_L \cos \phi = \sqrt{3} U_L I_L \cos \phi\]
变量含义：$U_L, I_L$ 为线电压/线电流有效值；$\phi$ 为负载的相阻抗角。

5.3.4.2 无功功率 (Reactive Power, $Q$)

公式：\[Q = \sqrt{3} U_L I_L \sin \phi\]
单位：乏 ($\text{var}$)。

5.3.4.3 视在功率 (Apparent Power, $S$)

公式：\[S = \sqrt{3} U_L I_L = \sqrt{P^2 + Q^2}\]
单位：伏安 ($\text{VA}$)。

5.3.5 对称三相电路计算小结

对称性应用：总瞬时功率 $p$ 为恒定值，不随时间变化，这是对称三相电路的重要优点。
相位差注意：在计算功率时，公式中的 $\cos \phi$ 里的 $\phi$ 是负载相电压与相电流的相位差，绝不是线电压与线电流的相位差。
计算顺序建议：将所有阻抗化为 Y 接 $\to$ 取 A 相画等效电路 $\to$ 计算 A 相电流 $\to$ 根据线/相关系求其他量 $\to$ 计算功率。

5.4 不对称三项电路

5.4.1 不对称三相电路的概念 (Basic Concept)

定义：在三相电路中，只要三相电源、三相负载或三条连接线的阻抗中有任何一部分不对称（即参数不完全相同），该电路即为不对称三相电路。
常见情形：实际低压配电系统中，通常电源是基本对称的，但由于单相负载的分布不均，导致三相负载不对称（即 $Z_A \neq Z_B \neq Z_C$）。
计算特点：由于对称性被破坏，各相电流和电压不再满足数值相等且相位差 120° 的关系，因此必须对每一相进行逐个支路计算。

5.4.2 中性点位移 (Neutral Point Displacement) —— 核心现象

这是不对称星形（Y-Y）连接电路中最显著的特征。

5.4.2.1 定义与产生原因

概念：在负载不对称且没有中性线（或中性线阻抗很大）的情况下，负载的中性点 $N'$ 与电源的中性点 $N$ 之间的电位差不再为零，这种现象称为中性点位移。
结果：中性点位移会导致各相负载承受的电压（相电压）不再相等。有的相电压会显著升高（可能烧毁设备），有的则会降低（设备无法正常工作）。

5.4.2.2 中性点位移电压公式 (弥尔曼定理推导)

利用节点电压法（弥尔曼公式），可以直接求得两个中性点间的电位差相量 $\dot{U}_{N'N}$： \[\dot{U}_{N'N} = \frac{\dot{U}_A Y_A + \dot{U}_B Y_B + \dot{U}_C Y_C}{Y_A + Y_B + Y_C}\] * 变量含义： * $\dot{U}_{N'N}$：中性点位移电压相量（V）。 * $\dot{U}_A, \dot{U}_B, \dot{U}_C$：电源的各相电压相量（V）。 * $Y_A, Y_B, Y_C$：各相负载的复导纳，其中 $Y = 1/Z$（S）。

5.4.2.3 负载相电压的计算

求得 $\dot{U}_{N'N}$ 后，各相负载承受的实际电压为： \[\begin{cases} \dot{U}_{AN'} = \dot{U}_{AN} - \dot{U}_{N'N} \\ \dot{U}_{BN'} = \dot{U}_{BN} - \dot{U}_{N'N} \\ \dot{U}_{CN'} = \dot{U}_{CN} - \dot{U}_{N'N} \end{cases}\]

5.4.3 三相四线制的作用 (Function of Neutral Line)

物理意义：当中性线阻抗 $Z_N \approx 0$（即理想中性线）时，中性点位移电压 $\dot{U}_{N'N} \approx 0$。
结论：中性线的作用在于迫使负载中性点与电源中性点电位一致，从而保证即便负载不对称，各相负载也能获得恒定且对称的相电压。
重要禁忌：三相四线制的中性线上严禁安装保险丝或开关。如果中性线断开（相当于 $Z_N \to \infty$），会产生严重的中性点位移，导致电器损坏。

5.4.4 不对称电路的电流与功率计算

5.4.4.1 电流计算 (根据 KCL)

各相电流：$\dot{I}_A = \dot{U}_{AN'} Y_A$（以此类推）。
中性线电流 ($\dot{I}_N$)：在三相四线制中，中线电流是三相电流相量的代数和： \[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C\] 注：由于负载不对称，此时 $\dot{I}_N \neq 0$。

5.4.4.2 功率计算 (相加原则)

不论电路是否对称，三相总功率始终等于各相功率之和： * 有功功率：$P = P_A + P_B + P_C = U_A I_A \cos \phi_A + U_B I_B \cos \phi_B + U_C I_C \cos \phi_C$。 * 无功功率：$Q = Q_A + Q_B + Q_C$。

5.4.5 举例说明（结合实际应用）

例子：三相四线制供电系统，A、B、C 三相分别接有不同数量的白炽灯。 * 情况 A（中线完好）：虽然每相灯的数量不同（负载不对称），但由于中线存在，每盏灯承受的电压依然是 220V，亮度正常。 * 情况 B（中线断开）：产生中性点位移。灯泡数量最少（电阻最大）的那一相，其相电压会大幅升高，导致灯泡被烧毁；而灯泡数量最多的那一相，电压会降低，灯光变暗。

5.4.6 学习建议

在分析不对称三相电路时，第一步应判断是否存在有效的中性线。若有中性线且不计阻抗，则直接按三个独立的单相电路计算；若无中性线且负载不对称，则必须先用节点电压法求出中性点位移电压。

5.5 三项电路的功率

5.5.1 三相电路功率的基本概念

总功率相加原则：在三相电路中，无论对称与否、采用何种连接，三相负载吸收的总复功率等于各相复功率之和。
有功功率 ($P$)：各相负载有功功率的代数和，单位为瓦（W）。
无功功率 ($Q$)：各相负载无功功率的代数和，单位为乏（var）。
视在功率 ($S$)：总有功功率与总无功功率的矢量和，反映电源的容量。

5.5.2 瞬时功率 (Instantaneous Power, $p$)

概念：三相负载瞬时功率之和。
对称三相电路的特性：在对称三相电路中，各相瞬时功率之和为一个恒定值，且等于其有功功率。 公式推导（连等式）：设 A 相 $u_A = \sqrt{2}U_p \cos\omega t$，$i_A = \sqrt{2}I_p \cos(\omega t - \phi)$，则： $p = p_A + p_B + p_C = 3 U_p I_p \cos\phi = P$。
物理意义：瞬时功率恒定意味着三相电动机受到的转矩是恒定的，运行更加平稳，这是三相制的一大优点。

对称三相电路功率（通用公式）

\[P = \sqrt{3}\, U_l I_l \cos\varphi, \quad Q = \sqrt{3}\, U_l I_l \sin\varphi, \quad S = \sqrt{3}\, U_l I_l\]

5.5.3 对称三相电路的功率计算（核心公式）

在对称电路中，由于各相电压、电流有效值相等且相位差角 $\phi$ 相同，功率计算可以简化。

5.5.3.1 有功功率 ($P$)

相值表示法：$P = 3 U_p I_p \cos\phi$。
线值表示法（推导）：
- 星形（Y）：$U_L = \sqrt{3}U_p, I_L = I_p \implies P = 3 \times \frac{U_L}{\sqrt{3}} \times I_L \cos\phi = \sqrt{3}U_L I_L \cos\phi$。
- 三角形（$\Delta$）：$U_L = U_p, I_L = \sqrt{3}I_p \implies P = 3 \times U_L \times \frac{I_L}{\sqrt{3}} \cos\phi = \sqrt{3}U_L I_L \cos\phi$。
结论：\[P = \sqrt{3}U_L I_L \cos\phi\]。
变量含义：$U_L, I_L$ 为线电压/线电流有效值；$\phi$ 为负载的相阻抗角（即负载相电压与相电流的相位差），绝非线电压与线电流的相位差。

5.5.3.2 无功功率 ($Q$)

公式：\[Q = \sqrt{3}U_L I_L \sin\phi\]。

5.5.3.3 视在功率 ($S$)

公式：\[S = \sqrt{3}U_L I_L = \sqrt{P^2 + Q^2}\]。

5.5.4 三相功率的测量方法

5.5.4.1 三瓦计法 (Three-wattmeter Method)

适用：三相四线制电路（有中线）。
原理：每个功率表测量一相功率，总功率 $P = W_1 + W_2 + W_3$。

5.5.4.2 二瓦计法 (Two-wattmeter Method) —— 邱关源重点

适用：三相三线制电路（无论对称与否）。
接线：两表的电流线圈分别串入两根端线（如 A、B），电压线圈的公共端接到第三根端线（如 C）。
公式：总功率 $P = W_1 + W_2$。
读数特性（对称负载）：
- $W_1 = U_L I_L \cos(30^\circ - \phi)$
- $W_2 = U_L I_L \cos(30^\circ + \phi)$。
- 注意：当 $|\phi| > 60^\circ$ 时，其中一个功率表的读数可能为负值，此时求和需带符号计算。

5.5.5 应用举例：Y-$\Delta$ 变换对功率的影响

例子：同一对称负载，在线电压 $U_L$ 不变的情况下，从三角形连接改为星形连接。 * 推导： * 三角形时：$P_\Delta = \sqrt{3} U_L (\sqrt{3} I_{p\Delta}) \cos\phi = 3 \frac{U_L^2}{|Z|} \cos\phi$。 * 星形时：$P_Y = \sqrt{3} U_L (\frac{U_L}{\sqrt{3} |Z|}) \cos\phi = \frac{U_L^2}{|Z|} \cos\phi$。 * 结论：$P_\Delta = 3 P_Y$。即负载三角形连接时消耗的功率是星形连接时的 3 倍。

5.5.6 核心知识点小结表

功率名称	符号及单位	对称电路计算公式 (线值)	物理意义
有功功率	$P$ (W)	$\sqrt{3} U_L I_L \cos\phi$	电路实际消耗的功率
无功功率	$Q$ (var)	$\sqrt{3} U_L I_L \sin\phi$	电源与负载间交换能量的规模
视在功率	$S$ (VA)	$\sqrt{3} U_L I_L$	电气设备的容量
功率因数	$\cos\phi$	$P/S$	设备利用率的衡量指标

5.6 安全用电

安全电流与安全电压

安全电流：工频交流 10 mA 以下（可摆脱）
安全电压：交流有效值 42 V 以下（干燥场所），潮湿场所更低

5.6.1 电流对人体的危害 (Harm of Current)

触电对人体的伤害程度主要取决于通过人体的电流大小、持续时间、电流频率及路径。

感知电流：引起人有感觉的最小电流，交流（50Hz）约 1mA。
摆脱电流：人触电后能自主摆脱电源的最大电流，约为 10mA。此值为安全电流的参考界限。
致命电流：在较短时间内危及生命的电流，交流约 50mA。
人体电阻 ($R_h$)：通常在 $1000\Omega \sim 2000\Omega$ 之间，受皮肤潮湿程度、接触压力等影响很大。

5.6.2 触电方式 (Electric Shock Modes)

触电是指人体触及带电体，使人体成为电路的一部分。

单相触电：人站在地上触及一根相线（火线）。人体承受相电压（如 220V）。
两相触电：人体同时触及两根不同的相线。人体承受线电压（如 380V），极其危险。
跨步电压触电 (Step Voltage)：当带电导线落于地面，电流由接地点向四周流散。人在接地点附近两脚间产生的电位差称为跨步电压。
- 例子：发现电线坠地时，应并足跳离危险区，以防步距产生压差。

5.6.3 接地与接零 (Grounding and Neutral Connection) —— 核心技术点

这是预防间接触电（外壳带电）的主要措施。

5.6.3.1 保护接地 (Protective Grounding)

概念：将电气设备的金属外壳通过接地体与大地连接。
适用范围：中性点不接地的低压供电系统（IT 系统）。
原理公式：当设备绝缘损坏使外壳带电时，接地电阻 $R_e$ 与人体电阻 $R_h$ 并联。 \[I_h = \frac{R_e}{R_h + R_e} I \approx \frac{R_e}{R_h} I\]
- 变量含义：$I_h$ 为通过人体的电流；$R_e$ 为接地电阻（通常规定 $\le 4\Omega$）；$R_h$ 为人体电阻（约 $1000\Omega$）。
结论：由于 $R_h \gg R_e$，电流绝大部分流过接地电阻，从而将人体电流限制在安全范围内。

5.6.3.2 保护接零 (Protective Neutral Connection)

概念：将电气设备的金属外壳与电网的零线（保护中性线 PEN）连接。
适用范围：中性点接地的低压供电系统（TN 系统）。
原理推导（连等式）：当发生碰撞外壳短路时，形成单相短路回路： \[I_{sc} = \frac{U_p}{Z_s} > I_{set}\]
- 变量含义：$I_{sc}$ 为短路电流；$U_p$ 为相电压；$Z_s$ 为短路回路阻抗；$I_{set}$ 为保护装置（保险丝或断路器）的动作电流。
结论：保护接零的作用是使“漏电”变成“短路”，从而触发保护装置迅速切断电源。

5.6.3.3 重复接地 (Repeated Grounding)

概念：在保护接零系统中，除了中性点接地外，在零线的其他地方再次接地。
作用：防止零线断线时，由于负载不对称导致断路点后的所有设备外壳带上危险的高电压。

5.6.4 静电防护与防火防爆

静电防护：静电积聚可能产生高火花。防护方法主要是通过接地导出电荷。
防火防爆：在易燃易爆场所必须选用具有防爆功能的电气设备，并保持良好通风。

5.6.5 安全用电注意事项 (邱关源/秦曾煌强调)

漏电保护装置 (RCD)：当电路发生漏电（剩余电流）超过设定值时，能自动切断电源，是保障人身安全的关键装置。
严禁接零、接地混用：在同一低压配电网中，不允许一部分设备接地而另一部分设备接零，否则一旦接地设备漏电，会使所有接零设备外壳带电。
节约用电：提高电力利用效率，降低线损，也是用电管理的组成部分。

6 磁路与变压器

6.1 磁场与磁性材料

6.1.1 磁场的基本概念与特性

磁场 (Magnetic Field)：磁体或电流周围存在磁力作用的特殊物质空间。
磁力线 (Magnetic Lines of Force)：形象描述磁场分布的闭合曲线，其切线方向为磁场方向，疏密程度反映磁场强弱。
毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart Law)：描述电流产生磁场的定量关系。
- 例子：通电直导线周围产生的环形磁场，其强度随电流增大而增强。

6.1.2 磁场的基本物理量 (核心公式)

物理量名称	符号与单位	概念定义与物理意义
磁感应强度	$B$ (特斯拉 T)	表征磁场强弱与方向的矢量，也称磁通密度。
磁通量	$\Phi$ (韦伯 Wb)	穿过某一截面 $S$ 的磁感应强度通量。
磁导率	$\mu$ (亨/米 H/m)	表示介质导磁性能的物理量。
磁场强度	$H$ (安/米 A/m)	独立于介质磁化性质的辅助矢量。

6.1.2.1 相关计算公式：

磁通与磁感应强度的关系： \[\Phi = B \cdot S \cos \alpha \implies B = \frac{\Phi}{S}\]
- 变量含义：$\Phi$ 为磁通（Wb）；$B$ 为磁感应强度（T）；$S$ 为垂直于磁场方向的截面积（m²）。
磁导率定义： \[\mu = \mu_r \mu_0\]
- 变量含义：$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{H/m}$（真空磁导率）；$\mu_r$ 为相对磁导率（空气约等于 1，铁磁材料远大于 1）。
$B$ 与 $H$ 的关系： \[B = \mu H \implies H = \frac{B}{\mu}\]
- 变量含义：$H$ 为磁场强度（A/m）。

6.1.3 磁性材料的分类与特性

6.1.3.1 按磁导率分类

顺磁物质：$\mu_r$ 稍大于 1（如空气、铝）。
反磁物质：$\mu_r$ 稍小于 1（如铜、水）。
铁磁物质：$\mu_r \gg 1$（如铁、硅钢），且 $\mu$ 不是常数。

6.1.3.2 铁磁材料的三大特性

高导磁性：能用较小的电流产生极大的磁感应强度，是电机和变压器铁心的理论依据。
磁饱和性：当外磁场 $H$ 增大到一定程度时，$B$ 不再随之显著增加。
磁滞性：当磁场 $H$ 改变方向时，磁感应强度 $B$ 的变化滞后于 $H$。

6.1.3.3 铁磁材料的分类 (根据磁滞回线)

软磁材料：磁导率高，剩磁 $B_r$ 和矫顽力 $H_c$ 小，易磁化也易去磁。常用于变压器、电机铁心（如硅钢片）。
硬磁材料 (永磁材料)：磁滞回线宽，矫顽力 $H_c$ 大，一旦磁化后能保持强磁性。常用于永久磁铁。
矩磁材料：磁滞回线近矩形，极小电流即可使其饱和。常用于计算机存储磁芯。

6.1.4 磁路的基本定律 (重要扩展)

磁路与电路具有高度相似性，是分析电机与变压器的核心工具。

安培环路定律：沿任何闭合路径，磁场强度 $H$ 的线积分等于该路径包围的电流代数和。 \[\oint H \cdot dl = \sum I = NI\]
- 变量含义：$N$ 为线圈匝数；$I$ 为电流；$H$ 为磁场强度；$l$ 为磁路平均长度。
磁路的欧姆定律 (Ohm’s Law for Magnetic Circuits)： \[\Phi = \frac{NI}{R_m} = \frac{F_m}{R_m}\]
- 连等推导：$\Phi = B \cdot S = \mu H \cdot S = \mu \frac{NI}{l} \cdot S = \frac{NI}{l / (\mu S)}$。
- 变量含义：$F_m = NI$ 为磁动势（A）；$R_m = \frac{l}{\mu S}$ 为磁阻（1/H）。
磁路的基尔霍夫定律：
1. 第一定律 (KCL类比)：$\sum \Phi = 0$。流向任一节点的磁通代数和为零。
2. 第二定律 (KVL类比)：$\sum NI = \sum Hl = \sum \Phi R_m$。沿任一闭合磁路的磁压降之和等于总磁动势。

6.2 磁路与磁路的基本定律

6.2.1 磁路 (Magnetic Circuit) 的基本概念

概念定义：为了在空间某个区域获得较强的磁场，通常采用高磁导率的铁磁材料制成一定形状的铁心，磁通主要闭合在铁心及其包围的气隙中。
例子：变压器的铁心、电动机的定子与转子铁心，以及它们之间的气隙。

6.2.2 磁路的基本定律 (核心知识点)

6.2.2.1 安培环路定律 (Ampere’s Circuital Law) —— 磁路理论的基础

内容：磁场强度 $H$ 沿任何闭合路径的线积分，等于该路径所包围的电流的代数和。
公式：\[\oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \sum I = NI\]
变量含义：
- $H$：磁场强度（A/m）。
- $l$：闭合路径的长度（m）。
- $N$：线圈匝数。
- $I$：流过线圈的电流（A）。
- $NI$：称为磁动势 ($F_m$)，单位是安培 (A)。

6.2.2.2 磁路的欧姆定律 (Ohm’s Law for Magnetic Circuits)

概念：描述磁路中磁通、磁动势与磁阻之间关系的定律。
公式连等推导：由 $B = \mu H$ 且 $H = NI/l$，代入磁通公式 $\Phi = BS$： \[\Phi = BS = \mu H S = \mu \frac{NI}{l} S = \frac{NI}{l / (\mu S)} = \frac{F_m}{R_m}\]
变量含义：
- $\Phi$：磁通量（Wb）。
- $F_m = NI$：磁动势（A）。
- $R_m = \frac{l}{\mu S}$：磁阻（1/H），表示磁路对磁通的阻碍作用。
- $\mu$：磁导率（H/m）；$S$：磁路截面积（$m^2$）；$l$：磁路平均长度（m）。
注意：铁磁物质的 $\mu$ 不是常数，因此磁阻 $R_m$ 是非线性的，该定律常用于定性分析。

6.2.2.3 磁路的基尔霍夫第一定律 (类比 KCL)

内容：穿过磁路中任一封闭面的磁通代数和恒等于零。
公式：\[\sum \Phi = 0\]
物理意义：磁力线是闭合曲线，没有起点和终点（无散性）。

6.2.2.4 磁路的基尔霍夫第二定律 (类比 KVL)

内容：沿磁路中任一闭合路径，各段磁压降的代数和等于该路径上所有磁动势的代数和。
公式：\[\sum Hl = \sum NI \quad \text{或} \quad \sum \Phi R_m = \sum F_m\]
变量含义：$Hl$ 称为磁压降（也记作 $U_m$），其符号取决于 $H$ 的方向与回路绕行方向是否一致。

磁路与电路的对应关系

磁路量	符号	电路对应量	符号
磁通势	$F = NI$	电动势	$E$
磁通量	$\Phi$	电流	$I$
磁阻	$R_m = l/(\mu A)$	电阻	$R$
磁路欧姆定律	$\Phi = F/R_m$	欧姆定律	$I = E/R$

6.2.3 磁路与电路的比较总结

物理量/定律	电路 (Electric Circuit)	磁路 (Magnetic Circuit)
驱动源	电动势 $E$	磁动势 $F_m = NI$
响应量	电流 $I$	磁通 $\Phi$
阻力项	电阻 $R = \rho \frac{l}{S}$	磁阻 $R_m = \frac{l}{\mu S}$
欧姆定律	$I = E/R$	$\Phi = F_m/R_m$
节点定律	$\sum I = 0$ (KCL)	$\sum \Phi = 0$
回路定律	$\sum IR = \sum E$ (KVL)	$\sum Hl = \sum NI$

6.2.4 磁路与电路的本质区别

漏磁现象：电路中几乎没有漏电（导线外绝缘好），但磁路中由于没有绝对的磁绝缘体，铁心外的空间仍有少量磁通经过，称为漏磁通。
能量损耗：电流流过电阻会持续消耗能量并产生热量；而在恒定磁通的磁路中，磁阻不消耗能量。
线性度：电阻常为线性常数，而铁磁材料的磁导率 $\mu$ 随磁场强度变化，导致磁路具有强烈的非线性。

6.3 电磁铁

6.3.1 电磁铁的基本概念

定义：电磁铁是利用通电铁心线圈产生磁场，从而吸引衔铁或保持某种机械零件处于固定位置的一种电器。
工作过程：当线圈通电时，产生磁力吸引衔铁动作；当电源断开时，磁性消失，衔铁在弹簧力或自重作用下释放。
组成结构：主要由线圈 (Coil)、铁心 (Iron core) 及衔铁 (Armature) 三部分组成。
应用举例：电磁起重机、电磁继电器、接触器的电磁操作机构等。

6.3.2 电磁铁吸力的计算公式

吸力（Attraction Force）是电磁铁的主要参数，其大小由磁场能量的虚位移法推导得出。

计算公式： \[F = \frac{B^2 S}{2\mu_0}\]
变量含义：
- $F$：电磁吸力，单位为牛顿（N）。
- $B$：气隙中的磁感应强度，单位为特斯拉（T）。
- $S$：气隙磁场穿过的截面积，单位为平方米（$m^2$）。
- $\mu_0$：真空磁导率，常取 $4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$。

6.3.3 直流电磁铁与交流电磁铁的区别

这是学习中的重点，两者的结构、运行特性及安全注意事项均有显著差异。

6.3.3.1 结构材料的区别

交流电磁铁：磁场随时间交变，为减小铁心中的涡流损耗（铁损），其铁心由硅钢片叠成。
直流电磁铁：磁场恒定，不存在铁损，因此铁心可以用整块软钢制成。

6.3.3.2 衔铁吸合过程中的电流变化（秦曾煌教材重点）

直流电磁铁：线圈电流 $I = U/R$ 仅由电阻决定。因此在衔铁吸合过程中，气隙的变化不影响电流大小，电流保持恒定。
交流电磁铁：线圈电流 $I \approx U/X_L$ 主要受感抗限制。当衔铁未吸合（气隙大）时，磁阻大，电感 $L$ 小，感抗 $X_L$ 小，导致电流很大；随着衔铁吸合，气隙减小，电感增大，电流随之减小。
- 例子与风险：若交流电磁铁由于机械故障被卡住导致衔铁无法吸合，线圈中将持续流过数倍于正常工作的电流，极易导致线圈过热甚至烧毁。

6.3.3.3 振动与噪声问题（交流电磁铁特有）

现象：在交流电磁铁中，磁场按正弦规律交变，根据吸力公式 $F \propto B^2$，吸力以两倍电源频率（如工频 50Hz 对应 100Hz）在零与最大值之间波动，导致衔铁颤动并产生噪声。
吸力公式推导（连等式）：设 $B = B_m \sin \omega t$，代入吸力公式得： \[f = \frac{B_m^2 S_0}{2\mu_0} \sin^2 \omega t = \frac{B_m^2 S_0}{2\mu_0} \cdot \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} = \frac{1}{2} F_m - \frac{1}{2} F_m \cos 2\omega t\]
- 其中 $F_m$ 为最大吸力。计算吸力通常取一个周期内的平均值：$F = \frac{1}{2} F_m$。

6.3.4 分磁环（短路环）的作用

概念：为了消除交流电磁铁的颤动，在磁极的部分端面上套一个铜质的环，称为分磁环（或短路环）。
原理：
1. 主磁通的一部分穿过分磁环，在环内产生感应电流并激发出辅助磁通 $\Phi_2$。
2. 由于分磁环的阻感作用，$\Phi_2$ 与未穿过环的主磁通 $\Phi_1$ 之间产生相位差。
3. 这使得两部分磁通产生的吸力不同时为零。总吸力（两者之和）在任何瞬间都大于零，从而消除了衔铁的颤动和噪声。

6.3.5 总结对比表

特性	直流电磁铁	交流电磁铁
铁心构造	整块软钢
线圈电流	恒定，不随气隙变化
吸力特性	恒定吸力
常见故障	机械卡死影响动作	衔铁未吸合会导致线圈烧毁

6.4 变压器

6.4.1 变压器的基本构造与分类

基本构造：主要由铁心和绕在铁心上的两个或多个绕组组成。
- 原绕组（初级绕组）：接电源的一侧，匝数为 $N_1$。
- 副绕组（次级绕组）：接负载的一侧，匝数为 $N_2$。
分类：按用途可分为电力变压器、特种变压器（如自耦变压器、仪用变压器）和脉冲变压器等。

理想变压器三大变换公式

设匝数比 $n = N_1/N_2$：

变换量	公式
电压变换	$U_1/U_2 = N_1/N_2 = n$
电流变换	$I_1/I_2 = N_2/N_1 = 1/n$
阻抗变换	$Z_1' = n^2 Z_2$

6.4.2 变压器的工作原理与三大变换公式

变压器的核心功能是实现电压、电流和阻抗的变换。

6.4.2.1 电压变换 (Voltage Transformation)

原理：根据法拉第电磁感应定律，穿过原、副绕组的主磁通 $\Phi$ 在两绕组中分别产生感应电动势 $e_1$ 和 $e_2$。
公式推导（连等式）：在忽略绕组电阻和漏磁通的理想情况下： \[ \frac{\dot{U}_1}{\dot{U}_2} \approx \frac{\dot{E}_1}{\dot{E}_2} = \frac{N_1 \frac{d\Phi}{dt}}{N_2 \frac{d\Phi}{dt}} = \frac{N_1}{N_2} = k \]
变量含义：$U_1, U_2$ 为原、副边电压有效值；$N_1, N_2$ 为匝数；$k$ 为变比（匝数比）。
- $k > 1$ 为降压变压器；$k < 1$ 为升压变压器。

6.4.2.2 电流变换 (Current Transformation)

原理：基于能量守恒（理想状态下输入功率等于输出功率）或磁动势平衡原理。
公式推导：对于理想变压器，$P_1 = P_2 \implies U_1 I_1 = U_2 I_2$。 \[ \frac{I_1}{I_2} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{k} \]
结论：变压器原、副绕组的电流有效值之比与它们的匝数成反比。

6.4.2.3 阻抗变换 (Impedance Transformation)

原理：从原边看进去的等效阻抗 $Z'$ 与负载阻抗 $Z$ 的关系。
公式推导： \[ Z' = \frac{\dot{U}_1}{\dot{I}_1} = \frac{k\dot{U}_2}{\dot{I}_2/k} = k^2 \frac{\dot{U}_2}{\dot{I}_2} = k^2 Z \]
应用例子：在电子电路中常用于阻抗匹配，如将 8Ω 的扬声器通过变比 $k=6$ 的变压器接到放大器，原边得到的电阻为 $6^2 \times 8 = 288\Omega$。

6.4.3 理想变压器 (Ideal Transformer)

邱关源教材强调，理想变压器是一个极限电路模型，需满足以下三个条件： 1. 无损耗：绕组电阻 $R_1 = R_2 = 0$。 2. 全耦合：耦合系数 $k=1$，无漏磁通。 3. 参数无穷大：自感 $L_1, L_2$ 和互感 $M$ 均为无穷大，但 $\sqrt{L_1/L_2} = N_1/N_2$ 保持常数。 * 伏安关系：$\dot{U}_1 = n \dot{U}_2$，$i_1 = -\frac{1}{n} i_2$（此处 $n = N_1/N_2$）。

6.4.4 变压器的极性与同名端

同名端（极性）：当两个绕组电流从对应端流入时，它们产生的磁通方向相同，则这两个端点互为同名端，用“·”标出。
连接意义：判别绕组极性是变压器并联运行及绕组串、并联连接的先决条件。

6.4.5 变压器的损耗与效率

变压器在能量传输过程中存在两类损耗： 1. 铁损 ($\Delta P_{Fe}$)：由铁心中的磁滞和涡流产生，大小与铁心内感应强度最大值 $B_m$ 有关，与负载大小无关。 2. 铜损 ($\Delta P_{Cu}$)：绕组电阻消耗的功率，与负载电流的平方成正比。 * 效率公式： \[ \eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + \Delta P_{Fe} + \Delta P_{Cu}} \times 100\% \]

6.4.6 特殊变压器

自耦变压器：原、副绕组共用一部分绕组，主要优点是节省材料、体积小，但原副边有电的联系，使用需注意安全。
三相变压器：工业生产中常用，连接方式有 Y/Y、Y/$\Delta$ 等。高压侧常接成 Y 形以降低绝缘要求，低压侧接成 $\Delta$ 形以减小导线截面。

6.4.7 额定值参数

额定容量 ($S_N$)：在额定运行时能输送的最大视在功率，单位为 $V \cdot A$ 或 $kV \cdot A$。
- 单相：$S_N = U_{1N} I_{1N} = U_{2N} I_{2N}$。
- 三相：$S_N = \sqrt{3} U_{1N} I_{1N}$。

7 电动机

7.1 三相异步电动机的结构和工作原理

7.1.1 三相异步电动机的构造 (Structure)

异步电动机主要由定子和转子两大部分组成，定、转子之间有很小的空气隙。

定子 (Stator)：电动机的不动部分。
- 定子铁心：由表面绝缘的硅钢片叠压而成，用以减少铁损，内圆冲有槽孔以嵌置绕组。
- 定子绕组：三相绕组（U、V、W）在空间互差 120°，根据电源电压可接成星形(Y)或三角形($\Delta$)。
- 机座：固定铁心和端盖。
转子 (Rotor)：电动机的旋转部分。
- 鼠笼式 (Squirrel Cage)：转子铁心槽内嵌有铜条（或铸铝），两端用短路环焊接，结构简单坚固。
- 绕线式：转子绕组与定子类似，通过滑环和电刷接入外电路（如起动电阻）。

7.1.2 旋转磁场的产生 (Rotating Magnetic Field)

这是异步电动机工作的核心前提。

产生条件：在定子三相对称绕组中通入三相对称交流电。
物理现象：合成磁场随电流的交变在空间不断旋转。
旋转方向：由三相电流的相序决定。若要改变转向，只需对调接入电源的任意两根接线（即改变相序）。

7.1.3 同步转速 ($n_0$) 的计算

旋转磁场的转速称为同步转速，其大小取决于电源频率 $f_1$ 和电动机的极对数 $p$。

公式与变量含义： \[n_0 = \frac{60f_1}{p}\] * $n_0$：同步转速（r/min）。 * $f_1$：电源频率（我国工频为 50Hz）。 * $p$：电动机磁极对数（如 2 极电机 $p=1$，4 极电机 $p=2$）。

7.1.4 三相异步电动机的工作原理 (Working Principle)

其工作过程遵循电磁感应定律和电磁力定律： 1. 旋转磁场切割转子导体，产生感应电动势 $e$。 2. 由于转子绕组闭合，产生感应电流 $i$。 3. 载流导体在磁场中受到电磁力 $F$ 的作用，产生驱动转子旋转的电磁转矩 $T$。 4. 转子转速 $n$ 始终低于同步转速 $n_0$（故称“异步”），否则磁场不再切割导体，转矩消失。

转差率 $s$

\[s = \frac{n_0 - n}{n_0}\] - 额定运行时 $s_N \approx 0.01 \sim 0.06$（1%—6%） - $s=0$：同步（理想空载）；$s=1$：启动瞬间（堵转）

7.1.5 转差率 (Slip, $s$)

转差率是描述异步电动机运行状况的最重要物理量，表示转子转速落后于磁场转速的程度。

定义公式及推导： \[s = \frac{n_0 - n}{n_0} \times 100\%\] * 变量含义：$n_0$ 为同步转速，$n$ 为转子转速。 * 特殊状态下的数值： * 启动瞬间：$n=0$，则 $s=1$。 * 空载运行：$n$ 接近 $n_0$，$s$ 极小（约 0.5%）。 * 额定负载：$s_N$ 通常在 1% ~ 9% 之间。

7.1.6 转子感应电动势与频率的关系

转子绕组中感应电势的频率 $f_2$ 取决于磁场切割转子的速率。

连等式简单推导：旋转磁场与转子的相对转速为 $n_0 - n$，则： \[f_2 = p \cdot \frac{n_0 - n}{60} = p \cdot \frac{s \cdot n_0}{60} = s \cdot \frac{60f_1}{60} = s \cdot f_1\] * 含义：转子频率等于转差率乘以电源频率。在运行中，$f_2$ 远低于 $f_1$。

7.1.7 概念应用例子

例子：一台四极（$p=2$）异步电动机，接入 50Hz 电源，额定负载下转速为 $n = 1440 \text{r/min}$。 1. 计算同步转速：$n_0 = 60 \times 50 / 2 = 1500 \text{r/min}$。 2. 计算额定转差率：$s_N = (1500 - 1440) / 1500 = 0.04$（即 4%）。 3. 计算转子电流频率：$f_2 = 0.04 \times 50 = 2 \text{Hz}$。

7.2 三相异步电动机的电路分析

7.2.1 核心概念：电磁类比关系

变压器类比：异步电动机的电磁关系与变压器非常相似。定子绕组相当于变压器的原绕组（一次侧），转子绕组相当于副绕组（二次侧）。
本质区别：变压器是静止的，而电动机的转子是旋转的。此外，电动机的磁路中存在一个很小的空气隙。
主磁通 ($\Phi_m$)：旋转磁场的主磁通同时交链着定子和转子绕组，在两边感应出感应电动势。

7.2.2 定子电路分析 (Stator Circuit)

定子电路接在三相交流电源上，产生旋转磁场。 * 定子感应电动势 ($E_1$)： \[E_1 = 4.44 f_1 N_1 \Phi_m\] * 变量含义：$f_1$ 为电源频率；$N_1$ 为定子每相绕组匝数；$\Phi_m$ 为每极主磁通。 * 电压平衡方程： $\dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_1 R_1 + \dot{I}_1 j X_{1\sigma} \approx -\dot{E}_1$。在工程分析中，通常忽略定子阻抗降，认为 $U_1 \approx E_1 \propto \Phi_m$。即主磁通的大小主要由电源电压决定。

7.2.3 转子电路分析 (Rotor Circuit) —— 本节重点

转子导体在旋转磁场中感应电流，其电特性随转速（转差率 $s$）变化。

7.2.3.1 转子频率与感应电动势

转子频率 ($f_2$)：$f_2 = s f_1$。
转子电动势 ($E_2$) 的推导：转子在运行状态下的感应电动势 $E_2$ 取决于旋转磁场切割转子的相对速度。 \[E_2 = 4.44 f_2 N_2 \Phi_m = 4.44 (s f_1) N_2 \Phi_m = s (4.44 f_1 N_2 \Phi_m) = s E_{20}\]
- 变量含义：$s$ 为转差率；$E_{20}$ 为转子在不转动（站住）时的感应电动势。

7.2.3.2 转子抗阻与电流

转子漏电抗 ($X_2$) 的推导：漏电抗与频率成正比。 \[X_2 = 2 \pi f_2 L_{2\sigma} = 2 \pi (s f_1) L_{2\sigma} = s (2 \pi f_1 L_{2\sigma}) = s X_{20}\]
- 变量含义：$X_{20}$ 为转子在站住时的漏电抗；$L_{2\sigma}$ 为转子漏电感。
转子电流 ($I_2$)： \[I_2 = \frac{E_2}{Z_2} = \frac{s E_{20}}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}}\]
- 变量含义：$R_2$ 为转子绕组电阻（常数）。

7.2.3.3 转子功率因数 ($\cos \phi_2$)

公式： \[\cos \phi_2 = \frac{R_2}{Z_2} = \frac{R_2}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}}\]
特性分析：在启动瞬间（$s=1$），$s X_{20}$ 很大，导致 $\cos \phi_2$ 非常低。随着转速升高（$s$ 减小），$\cos \phi_2$ 会逐渐增大并接近 1。

7.2.4 知识点总结与例子

启动瞬间特性：在启动瞬间（$n=0, s=1$），$E_2$ 和 $X_2$ 均达到最大值，因此启动电流 $I_{2st}$ 很大，但由于 $X_2$ 的存在，转子电流滞后电动势的角度很大，导致功率因数很低。
例子：若一台电动机在额定运行（$s_N = 0.04$）时的转子频率 $f_2$ 为 $0.04 \times 50 = 2\text{Hz}$。此时由于频率极低，转子漏电抗 $X_2$ 几乎可以忽略不计，转子电路近似呈现纯电阻性，功率因数很高。

7.2.5 三要素法/叠加定理应用提醒

虽然本节主要是交流稳态分析，但秦曾煌教材提醒，分析电动机的电磁感应时要始终注意磁场方向（右手定则）与载流导体受力方向（左手定则）的协调，这决定了电动机是运行在电动机状态还是制动状态。

7.3 三相异步电动机的电磁转矩和机械特性

7.3.1 电磁转矩 ($T$) 的基本概念

概念：驱动电动机旋转的力矩，是由旋转磁场的每极磁通 $\Phi$ 与转子导体中的电流 $I_2$ 相互作用产生的。
物理意义：电磁转矩的大小表征了电动机拖动生产机械能力的大小。

7.3.2 电磁转矩的公式推导与变量含义

异步电动机的转矩有两种主要的数学表示方式：

7.3.2.1 物理表达式（定性分析常用）

\[T = K_T \Phi I_2 \cos \phi_2\] * 变量含义： * $T$：电磁转矩，单位为牛顿·米 (N·m)。 * $K_T$：与电动机结构有关的常数。 * $\Phi$：旋转磁场每极磁通量 (Wb)。 * $I_2$：转子电流有效值 (A)。 * $\cos \phi_2$：转子电路的功率因数。

7.3.2.2 参数表达式（定量计算与特性分析）

通过转子电路分析，将 $I_2$ 和 $\cos \phi_2$ 代入上式，可推导出包含电源电压和转差率的连等式： \[T = K_T \Phi I_2 \cos \phi_2 \propto U_1 \cdot \frac{s E_{20}}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}} \cdot \frac{R_2}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}} = K \frac{s R_2 U_1^2}{R_2^2 + (s X_{20})^2}\] * 核心结论：电磁转矩 $T$ 与定子每相电压的平方 ($U_1^2$) 成正比。 * 变量含义补充： * $U_1$：定子绕组相电压。 * $s$：转差率。 * $R_2$：转子电阻。 * $X_{20}$：转子不动（$s=1$）时的每相漏电抗。

7.3.3 机械特性曲线

定义：在电源电压 $U_1$ 和转子电阻 $R_2$ 一定的条件下，转速 $n$ 与转矩 $T$ 的关系曲线 $n = f(T)$，或转矩 $T$ 与转差率 $s$ 的关系曲线 $T = f(s)$。
分段特征：
- 稳定运行区：当负载转矩发生微小变化时，电动机能自动调节转矩平衡负载，对应的转差率范围较小。
- 不稳定运行区：当负载转矩超过最大转矩时，转速会迅速下降直到停转（堵转），此时电流剧增，易烧毁电机。

三种关键转矩

转矩	符号	意义
额定转矩	$T_N = 9550 P_N/n_N$	正常运行力矩
最大转矩	$T_{max} = \lambda_m T_N$	过载能力（$\lambda_m \approx 1.8\text{-}2.5$）
启动转矩	$T_{st} = \lambda_{st} T_N$	直接启动力矩（$\lambda_{st} \approx 1.0\text{-}2.0$）

7.3.4 三个核心转矩指标

7.3.4.1 额定转矩 ($T_N$)

概念：电动机在额定负载、额定转速下运行时的转矩。
计算公式： \[T_N = 9550 \frac{P_{2N}}{n_N}\]
- $P_{2N}$：额定输出功率 (kW)。
- $n_N$：额定转速 (r/min)。

7.3.4.2 最大转矩 ($T_m$)

概念：电动机能产生的极限驱动转矩。
特性：$T_m$ 与 $U_1^2$ 成正比，但与转子电阻 $R_2$ 无关。
过载能力：$\lambda = T_m / T_N$，通常 $\lambda$ 在 1.8~2.2 之间。

7.3.4.3 启动转矩 ($T_{st}$)

概念：启动瞬间（$n=0, s=1$）产生的转矩。
特性：$T_{st}$ 既与 $U_1^2$ 成正比，也与 $R_2$ 有关。
例子：对于绕线式异步电动机，可以通过在转子电路中串入适当电阻来增大 $R_2$，从而提高启动转矩，这适用于需要重载启动的机械，如吊车。

7.3.5 学习总结与注意事项

电压波动的影响：由于 $T \propto U_1^2$，当电源电压下降（例如下降到额定值的 90%）时，最大转矩会大幅度下降（下降到额定值的 81%），可能导致电动机无法带动负载而出现“闷车”。
堵转风险：一旦电动机堵转（堵转时 $s=1$），定子电流会迅速升高至额定电流的 5~7 倍，需及时切断电源。

7.4 三项异步电动机的使用

铭牌参数速查

额定功率 $P_N$：轴输出机械功率（kW）
额定转速 $n_N$：额定负载下转速（r/min）
额定电流 $I_N$：额定负载时定子线电流（A）
额定电压 $U_N$：定子额定线电压（V）
功率因数 $\cos\varphi_N$：额定负载时

7.4.1 三相异步电动机的铭牌数据 (Nameplate Data)

铭牌是正确使用电动机的依据，包含了电动机在额定运行状态下的主要技术指标。

型号：反映电动机的类型、机座高度、长度及极数。例如 Y132M-4，“Y”表示三相异步电动机，“4”表示磁极数为 4（极对数 $p=2$）。
额定功率 ($P_N$)：电动机在额定运行状态下，轴上输出的机械功率。
额定电压 ($U_N$)：定子绕组应加的线电压有效值。
额定电流 ($I_N$)：额定运行时定子绕组的线电流有效值。
额定频率 ($f_N$)：我国工频为 $50\text{Hz}$。
额定转速 ($n_N$)：额定负载下的转子转速。
效率 ($\eta_N$)：输出机械功率与输入电功率之比。
功率因数 ($\cos\phi_N$)：由于电动机是感性负载，额定负载时通常在 0.7~0.9 之间。

核心计算公式（连等式推导）：额定输出功率与电参数的关系： \[P_N = P_{in} \cdot \eta_N = \sqrt{3} U_N I_N \cos\phi_N \cdot \eta_N\] * 变量含义：$P_N$ 为输出功率（W）；$U_N, I_N$ 为线值；$\cos\phi_N$ 为额定功率因数；$\eta_N$ 为额定效率。

7.4.2 电动机的启动 (Starting)

启动是指电动机接通电源由静止加速到额定转速的过程。

核心问题：启动瞬间转差率 $s=1$，转子感应电动势大，导致启动电流 $I_{st}$ 很大（约为额定电流的 5~7 倍），可能引起电网电压波动。
启动要求：启动转矩足够大，且启动电流在允许范围内。

7.4.2.1 直接启动

适用于容量较小或对电网冲击影响不大的场合。

7.4.2.2 降压启动 (Reduced Voltage Starting)

星-三角 (Y-$\Delta$) 降压启动：启动时定子接成 Y 形，正常运行时换接成 $\Delta$ 形。
- 推导（电流关系）：启动电流 $I_{LY} = \frac{U_L}{\sqrt{3}|Z|}$；直接启动电流 $I_{L\Delta} = \sqrt{3} \frac{U_L}{|Z|}$。 \[\frac{I_{LY}}{I_{L\Delta}} = \frac{U_L / (\sqrt{3}|Z|)}{\sqrt{3} U_L / |Z|} = \frac{1}{3}\]
- 结论：启动电流和启动转矩均降为直接启动时的 $1/3$。仅适用于正常运行时为 $\Delta$ 接法的电机，且仅适用于轻载或空载启动。
自耦变压器降压启动：利用自耦变压器抽头降低启动电压。电流和转矩均降为全压启动时的 $1/k^2$（$k$ 为变比）。

7.4.2.3 绕线式电动机转子串电阻启动

概念：在转子电路中串入电阻以增大启动转矩并减小启动电流。
例子：吊车起重时，通过转子串电阻获得极大的启动转矩以克服重物惯性。

7.4.3 电动机的调速 (Speed Control)

调速是指人为改变电动机的转速。

公式依据： \[n = n_0(1-s) = \frac{60f_1}{p}(1-s)\] * 变频调速 (VFD)：改变电源频率 $f_1$。这是目前最理想、应用最广的方法。 * 变极调速：改变定子绕组极对数 $p$。属于有级调速。 * 变转差率调速：仅适用于绕线式电机，通过改变转子电路电阻实现。

7.4.4 反转与制动 (Reversing and Braking)

反转：只需任意对调接入电源的两根导线，即可改变旋转磁场的转向，从而实现反转。
制动方法：
- 能耗制动 (Dynamic Braking)：切断交流电后，向定子绕组通入直流电。转子受力产生制动转矩。制动平稳，但需直流电源。
- 反接制动 (Plugging)：突然改变相序产生反向转矩。制动迅速，但冲击电流大，需串电阻保护。

7.4.5 电动机的选用 (Selection)

选择电动机应遵循实用、合理、经济、安全的原则。

种类选择：一般场合选鼠笼式；启动转矩要求高或需平滑调速时选绕线式。
容量选择：功率需匹配。过大会导致“大马拉小车”，效率和功率因数低；过小会导致“小马拉大车”，电机过载烧毁。
结构选择：根据工作环境选择开启式、防护式、封闭式或防爆式。

7.5 单相异步电动机

7.5.1 单相异步电动机的结构与问题 (Structure and Starting Problem)

基本构造：定子上通常有两个绕组（主绕组和辅助绕组），转子为鼠笼式结构。
核心问题（起动困难）：单相交流电通入定子绕组时，产生的是一个脉动磁场（大小随时间变化，轴线位置固定），而不是旋转磁场。
物理特性：在静止状态（$n=0$）下，脉动磁场分解为两个大小相等、转向相反的旋转磁场，它们产生的转矩相互抵消，故单相异步电动机没有自起动能力。
- 例子：如果直接给只有一个绕组的单相电机通电，它只会发出嗡嗡声而不转动；但如果你用手朝任意方向拨动一下，它就能顺着该方向转起来。

7.5.2 电容分相式异步电动机 (Capacitor Split-phase Motor)

这是解决起动问题最常用的方法。

7.5.2.1 工作原理

概念（分相）：在定子中放置两个在空间相隔 90° 的绕组 A（工作绕组）和 B（起动绕组）。将绕组 B 与一个电容器 C 串联，使通过两个绕组的电流在相位上近似相差 90°。
旋转磁场的产生：相位互差 90° 的电流流过空间互差 90° 的绕组，就能产生旋转磁场，从而产生起动转矩。

7.5.2.2 电流关系公式

设两相电流分别为 $i_A$ 和 $i_B$： \[i_A = I_{Am} \sin \omega t\] \[i_B = I_{Bm} \sin (\omega t + 90^\circ)\] * 变量含义：$I_{Am}, I_{Bm}$ 为两相电流的幅值；$\omega$ 为角频率。由于电容的作用，$i_B$ 在相位上超前 $i_A$ 90°。

7.5.3 运行与结构特点

离心开关 (S)：在某些设计中，当电机转速达到额定转速的 75% 左右时，借助于离心力的作用将起动绕组断开，仅由工作绕组运行。
起动继电器：另一种方法是利用电流变化，在起动时由继电器接通起动绕组，转速升高后自动切断。

7.5.4 反转与调速 (Reversing and Speed Control)

7.5.4.1 反转方法

原理：改变旋转磁场的转向即可实现反转。
操作：只需将主绕组（A）或副绕组（B）中的任意一个绕组的两端对调接线即可。
- 例子：全自动洗衣机的洗涤状态就是通过定时器控制开关，交替对调绕组接线来实现正反转切换的。

7.5.4.2 调速方法（以电风扇为例）

抽头调速：通过改变电抗线圈（调速电感）的抽头，从而改变加在电动机绕组上的电压有效值来实现调速。
琴键开关：利用开关切换不同的电路节点（如 0 位停止，1、2、3 位分别对应快、中、慢速）。

7.5.5 核心知识点小结

知识点	核心内容摘要
脉动磁场	单相电流产生的磁场，不能提供起动转矩。
分相技术	利用电容或电感使两相电流产生相位差，从而产生旋转磁场。
起动转矩	电容分相后，电机获得起动能力。
反转控制	对调任意一个绕组的接线。
应用领域	功率不大的家用电器和小型电动工具。

7.6 直流电动机

7.6.1 直流电动机的结构与工作原理

基本构造：主要由磁极（产生磁场）、电枢（旋转部分，放置电枢绕组）和换向器三部分组成。
工作原理：将直流电源接在电刷之间，使电流通入电枢绕组。
换向器的作用：当电枢绕组的有效边从 N 极转到 S 极下时，换向器使绕组中的电流方向同时改变，确保电磁转矩的方向始终不变，从而使电机持续转动。

7.6.2 核心公式与变量含义

直流电动机的运行遵循以下三个核心方程：

7.6.2.1 电磁转矩公式 ($T$)

\[T = K_T \Phi I_a\] * 变量含义：$T$ 为电磁转矩 (N·m)；$K_T$ 为结构常数；$\Phi$ 为每极磁通 (Wb)；$I_a$ 为电枢电流 (A)。 * 物理意义：它是电动机的驱动转矩，与磁通和电枢电流成正比。

7.6.2.2 反电动势公式 ($E$)

\[E = K_E \Phi n\] * 变量含义：$E$ 为反电动势 (V)；$K_E$ 为结构常数；$n$ 为电枢转速 (r/min)。 * 概念：电枢在磁场中转动时产生的感应电动势，其方向与电枢电流和电源电压方向相反。

7.6.2.3 电压平衡方程 (连等式推导)

根据基尔霍夫电压定律，外加电压 $U$ 需平衡反电动势 $E$ 和电枢绕组的压降： \[U = E + I_a R_a \implies E = U - I_a R_a\] * 变量含义：$U$ 为电源电压 (V)；$R_a$ 为电枢回路电阻 ($\Omega$)。 * 结论：由于 $R_a$ 通常很小，电源电压主要用来平衡反电动势。

7.6.3 并励电动机的机械特性

并励电动机（励磁绕组与电枢绕组并联）最为常用。其机械特性描述了转速 $n$ 与转矩 $T$ 的关系。

特性方程推导：由 $n = \frac{E}{K_E \Phi}$ 和 $E = U - I_a R_a$ 以及 $I_a = \frac{T}{K_T \Phi}$ 代入得： \[n = \frac{U}{K_E \Phi} - \frac{R_a}{K_E K_T \Phi^2} T = n_0 - \Delta n\]
变量含义：$n_0 = \frac{U}{K_E \Phi}$ 称为理想空载转速。
特点：并励电动机的机械特性较“硬”，即负载转矩 $T$ 增大时，转速 $n$ 下降不多。

7.6.4 直流电动机的调速方法

根据机械特性方程，可以通过以下三种方式调速： 1. 改变电源电压 ($U$)：$U$ 降低，转速 $n$ 随之降低。这是一种性能优良的平滑调速法。 2. 改变磁通 ($\Phi$)（弱磁调速）：通过增大励磁回路电阻使 $\Phi$ 减小，从而提高转速。 * 例子：某台并励电动机使磁通减小 10%，在负载转矩不变的情况下，转速会相应升高（参考习题 7-5）。 3. 电枢回路串电阻：增大 $R_a$，使转速降 $\Delta n$ 增大，从而降低转速。但这种方法损耗较大，通常用于启动。

7.6.5 启动与反转

启动：直流电动机启动瞬间 $n=0$，则 $E=0$。由 $I_a = \frac{U - E}{R_a}$ 可知启动电流 $I_{st} = \frac{U}{R_a}$。由于 $R_a$ 极小，直接启动电流极大，通常需要串电阻启动。
反转：任意改变电枢电流方向或磁场方向中的一个，即可实现反转。如果两个方向同时改变，则转向不变。

7.6.6 功率关系

\[T = 9550 \frac{P_2}{n}\] * 变量含义：$P_2$ 为输出机械功率 (kW)；$n$ 为转速 (r/min)。 * 效率 ($\eta$)：输出机械功率与输入电功率的比值。

8 继电接触器控制

8.1 常用低压电器

8.1.1 低压电器的分类

低压电器按用途和控制方式主要分为三大类： * 手动控制电器：依靠人力直接操作。如刀开关、组合开关、按钮等。 * 自动控制电器：依靠电磁力或其他物理量变化自动动作。如接触器、各类继电器等。 * 保护电器：用于电路异常时切断电源。如熔断器、热继电器、断路器等。

8.1.2 手动控制电器 (Manual Control Appliances)

8.1.2.1 刀开关与组合开关 (QS)

概念：最简单的手动电器，用于不频繁接通和断开的电路，或作为隔离开关。
例子：三极刀开关常用于机床电源的引入开关。

8.1.2.2 按钮 (SB)

概念：一种短时接通或断开小电流电路的主令电器。
结构分类：
- 动合按钮（常开按钮）：未按下时断开，按下时闭合。
- 动断按钮（常闭按钮）：未按下时闭合，按下时断开。
- 复合按钮：将动断与动合组合，按下时动断先断，动合后合。

8.1.3 自动控制电器：交流接触器 (KM)

这是继电接触器控制系统中最核心的元件。

8.1.3.1 结构与工作原理

组成：主要由电磁机构（线圈、铁心、衔铁）、触点系统（主触点、辅助触点）和灭弧装置组成。
动作过程：线圈通电产生电磁吸力，克服弹簧阻力使衔铁吸合，带动触点动作。
辅助触点作用：主触点接主电路（电流大），辅助触点接控制电路（电流小），用于自锁或联锁。

8.1.3.2 核心原理与公式：电磁吸力

交流接触器的吸力计算遵循电磁铁原理： * 瞬时吸力公式： \[f = \frac{B^2 S}{2\mu_0}\] * 变量含义：$f$ 为瞬时吸力（N）；$B$ 为磁感应强度（T）；$S$ 为极面面积（m²）；$\mu_0$ 为真空磁导率。 * 分磁环（短路环）的作用：交流磁场下吸力会随频率波动产生振动和噪声。通过在铁心端面套入铜制分磁环，使主、副磁通产生相位差，确保总吸力时刻大于零，从而消除颤动。

8.1.4 保护控制电器 (Protective Appliances)

8.1.4.1 熔断器 (FU)

概念：利用电流的热效应使熔体熔断，用于电路的短路保护。
例子：若电动机发生相间短路，电流瞬间激增，熔断器需在极短时间内熔断以保护电源。

8.1.4.2 热继电器 (FR)

概念：利用电流的热效应使双金属片受热弯曲，从而推动触点动作，用于电动机的过载保护。
注意：由于热惯性，热继电器不能用于短路保护，只能用于长期运行的过载监测。

8.1.4.3 时间继电器 (KT)

概念：从得到输入信号（线圈通电或断电）开始，经过一定延时后触点才动作的继电器。
例子：用于电动机 Y-Δ 降压起动中，控制从星形切换到三角形的时间间隔。

8.1.5 核心控制逻辑概念

自锁 (Self-locking)：利用接触器自身的辅助常开触点并在起动按钮两端，实现线圈持续供电的功能。
联锁/互锁 (Interlocking)：在两个相反动作的回路中（如正反转），将其中一个接触器的常闭触点串入另一个接触器的线圈回路，防止两者同时吸合造成短路。
零压/欠压保护：当电源掉电或电压过低时，接触器衔铁自动释放，切断主电路，防止电源恢复时电机自行起动造成事故。

常用文字符号速查

QS—刀开关，FU—熔断器，KM—接触器，KA—中间继电器，KT—时间继电器，FR—热继电器，SB—按钮，ST—行程开关

8.1.6 常用符号汇总表

名称	文字符号	图形符号特征
交流接触器线圈	KM	矩形框
接触器主触点	KM	三对带弧形的触点
热继电器热元件	FR	类似波浪线的电阻符号
常开按钮	SB	断开状态，操作柄在上方
常闭按钮	SB	闭合状态，操作柄在上方

8.2 继电接触器控制线路图的绘制原则

8.2.1 电气控制线路的基本概念

定义：用导线将电动机、电器、仪表等元器件按一定要求连接，实现特定控制功能的电路。
原理图 (Schematic Diagram)：采用国家统一规定的图形符号和文字符号，按工作顺序排列，详细表达电路的工作原理。

8.2.2 绘制原则 (Core Principles) —— 核心知识点

为了方便阅读与分析，原理图必须遵循以下五个核心原则：

8.2.2.1 主电路与控制电路的分路绘制

主电路：指强电流通过的部分，包括从电源到电动机的电路。由组合开关(QS)、主熔断器(FU)、接触器主触点(KM)、热继电器的热元件(FR)和电动机(M)等组成。
- 绘图要求：画在图的左侧或上方，用粗实线绘制。
控制电路：用于控制主电路的运行，流过的是弱电流。由按钮(SB)、接触器及继电器的线圈及辅助触点、热继电器的触点、保护电器触点等组成。
- 绘图要求：画在图的右侧或下方，用细实线绘制。

8.2.2.2 标准符号与标注原则

图形符号：必须使用国家规定的标准图形符号（如：$\circ \setminus \circ$ 表示常开触点）。
文字符号：同一电器元件的不同部分（如接触器的线圈、主触点、辅助触点）必须标注相同的文字符号（如 KM）。
区分标注：若有多个同类电器，需加数字下标区分，如 $KM_1$、$KM_2$。

8.2.2.3 元器件状态约定

原则：所有电器的触点均按“平常状态”画出。
平常状态定义：
1. 继电器、接触器线圈在未通电时的状态。
2. 控制按钮、行程开关在未受外力作用时的状态。
3. 闸刀开关、断路器在断开位置的状态。

8.2.2.4 触点布置原则

触点在图中不按实际位置画在一起，而是根据功能画在所属的回路中。
例如：接触器 KM 的主触点画在主电路，辅助触点和线圈画在控制电路。

8.2.2.5 连线与交叉约定

电气连接点：导线连接处用黑圆点表示。
无电气连接：导线交叉但不连接时，不画黑圆点。

8.2.3 控制逻辑的概念与“公式”推导

虽然控制线路不常涉及欧姆定律的连等推导，但其逻辑关系可用布尔逻辑公式（类似邱关源电路中的逻辑电路分析）来表达。

8.2.3.1 例子：三相异步电动机直接起动控制（自锁电路）

电路逻辑公式推导：设控制电路输出（线圈 KM 获电）为 $L$，则： \[L = (SB_2 + KM_{aux}) \cdot SB_1 \cdot FR\]

变量含义：
- $SB_2$：起动按钮（动合触点），按下为“1”。
- $KM_{aux}$：接触器自锁辅助触点（动合），与起动按钮并联，实现自锁功能。
- $SB_1$：停止按钮（动断触点），正常状态（未按下）为“1”，按下为“0”。
- $FR$：热继电器触点（动断），正常状态（未动作）为“1”，过载时为“0”。
逻辑解释（连等逻辑）：线圈获电 ($L=1$) $\iff$ (按下 $SB_2$ 或 $KM_{aux}$ 已闭合) 且 ($SB_1$ 未按下) 且 ($FR$ 未动作)。

8.2.4 典型例证分析（参考图 8-13 ）

自锁 (Self-locking) 过程： 1. 按下 $SB_2$ $\to$ 线圈 $KM$ 通电 $\to$ $KM$ 主触点闭合（电机运转）及 $KM$ 辅助常开触点闭合。 2. 松开 $SB_2$ $\to$ 电路通过已闭合的 $KM$ 辅助常开触点维持供电 $\to$ 线圈持续通电。 * 意义：实现连续运行，并具有失压保护功能（电源断电后，线圈释放，触点断开，恢复供电时电机不会自动起动，需重新按下 $SB_2$）。

8.2.5 学习总结表

绘制项	规范要求	物理/逻辑意义
线条粗细	主电路粗，控制电路细	区分功率回路与逻辑控制回路
排列顺序	从左到右，从上到下	符合阅读习惯，体现动作先后顺序
触点状态	未获电、未受力状态	统一绘图基准，便于故障排查
黑圆点	导线连接处加注	明确电路的物理连接节点 (Nodes)

8.3 三相鼠笼式异步电动机的基本控制线路

8.3.1 基本元器件与文字符号

在控制线路图中，必须识别各元器件的功能及标准符号： * QS（组合开关/刀开关）：电源引入，用于非频繁操作。 * FU（熔断器）：用于短路保护。 * KM（交流接触器）：包括线圈、主触点（接主电路）和辅助触点（接控制电路）。 * SB（按钮）：$SB_1$ 常用于停止（动断），$SB_2$ 常用于启动（动合）。 * FR（热继电器）：用于电动机的过载保护。

自锁与联锁的区别

自锁：接触器辅助常开触点并联于启动按钮，实现持续运行（松开按钮不停机）。
联锁（互锁）：将一路接触器的常闭触点串入另一路线圈回路，防止两路同时得电（用于正反转防短路）。

8.3.2 直接启动控制线路与自锁 (Self-locking)

这是最基本的连续运行控制电路。

核心概念：自锁
- 定义：利用接触器自身的常开辅助触点与启动按钮并联，在线圈得电后即使松开按钮，线圈仍能通过该辅助触点保持通电状态。
- 例子：按下启动按钮 $SB_2$，接触器线圈 $KM$ 获电，其辅助常开触点闭合。松开 $SB_2$ 后，电流经由 $KM$ 的辅助触点流过线圈，电机持续运行。
保护功能 ：
1. 失压/欠压保护：当电源掉电时，线圈释放，触点断开。电源恢复时，电机不会自行启动，需重新按下启动按钮，保证安全。

8.3.3 点动控制 (Jogging/Inching)

概念：按下按钮电机转动，松开按钮电机停止。
实现方法：去掉自锁触点（即不将 $KM$ 的常开辅助触点并联在启动按钮两端）。
应用：常用于机床的对刀、调整或试机。

8.3.4 正反转控制线路与联锁 (Interlocking)

要实现电动机的反转，必须将接入电源的任意两根线对调。

核心概念：联锁（互锁）
- 定义：为防止两个接触器（如正转 $KM_F$ 和反转 $KM_R$）同时吸合导致电源相间短路，必须在电路中设置相互制约的逻辑关系。
- 方法：
  1. 电气联锁：将正转接触器的常闭触点串接在反转线圈回路中，反之亦然。
  2. 机械联锁（按钮联锁）：利用复合按钮的动断触点实现先断开另一回路、再接通本回路。
逻辑推导（正反转逻辑公式）：设正转线圈 $KM_F$ 获电为 $L_F$，反转线圈 $KM_R$ 获电为 $L_R$： \[L_F = SB_{fwd\_start} \cdot \overline{SB}_{stop} \cdot \overline{KM}_R \cdot FR\] \[L_R = SB_{rev\_start} \cdot \overline{SB}_{stop} \cdot \overline{KM}_F \cdot FR\] （含义：正转线圈获电必须满足：按下正转启动按钮且停止按钮未按下且反转接触器未吸合且热继电器未动作）。

8.3.5 多台电动机的联锁控制

顺序控制：要求一台电机启动后另一台才能启动（如先开冷却泵，后开主电机）。
实现：将前一台接触器的常开触点串在后一台的控制回路中。

8.3.6 核心公式与参数关系

在分析基本控制线路时，常涉及电机的启动性能指标：

直接启动电流 ($I_{st}$) ： \[I_{st} = (4 \sim 7) I_N\]
- 变量含义：$I_{st}$ 为直接启动电流有效值；$I_N$ 为额定电流。
星-三角 (Y-$\Delta$) 启动电流比例推导（连等式） ：直接启动时电流 $I_{L\Delta} = \sqrt{3} \frac{U_L}{|Z|}$，星形启动时电流 $I_{LY} = \frac{U_L/\sqrt{3}}{|Z|}$，则： \[\frac{I_{LY}}{I_{L\Delta}} = \frac{U_L / \sqrt{3} |Z|}{\sqrt{3} U_L / |Z|} = \frac{1}{3}\]
- 结论：星形启动电流仅为三角形直接启动时的 $1/3$。
转矩与电压关系 ： \[T \propto U^2\]
- 含义：电磁转矩与外加电压的平方成正比。因此降压启动（如 $Y-\Delta$）时，启动转矩也会大幅下降至全压启动时的 $1/3$。

8.3.7 学习小结

控制类型	核心元件/逻辑	目的
自锁	辅助常开触点并联	实现连续运行及失压保护
联锁	辅助常闭触点串联	防止相间短路（正反转必备）
短路保护	熔断器 (FU)	瞬间过流保护
过载保护	热继电器 (FR)	长期过载发热保护

8.4 行程控制

8.4.1 行程控制的基本概念

定义：当运动部件到达预定的位置时，利用行程开关（ST）接通或断开控制电路，从而实现对生产机械的自动控制。
控制目标：主要包括行程位置控制、限位保护控制（防止碰撞）和自动循环控制。
例子：电梯门在完全开启或关闭到预定位置时自动停止；机床工作台到达终点后自动反向行驶。

8.4.2 核心元件：行程开关 (ST)

概念：行程开关是一种由机械运动部件的挡块（挡铁）撞动，从而使触点动作的自动电器。
动作原理：运动部件上的挡块压下行程开关的推杆，内部常开触点闭合，常闭触点断开；当挡块离开时，触点在弹簧作用下自动复位。

8.4.3 行程控制电路的逻辑分析 (公式推导)

根据典型行程控制电路（如吉培荣教材图 8-17），其控制逻辑可以用布尔逻辑公式表达。以控制运动部件前进（正转 $KM_F$）和后退（反转 $KM_R$）为例：

8.4.3.1 控制逻辑公式推导（连等逻辑）

设控制线圈获电状态为 $L$（1为获电，0为失电）： 正转逻辑公式： \[L_F = (SB_F + KM_F) \cdot \overline{SB}_1 \cdot \overline{ST}_b \cdot \overline{KM}_R \cdot \overline{FR}\] 反转逻辑公式： \[L_R = (SB_R + KM_R) \cdot \overline{SB}_1 \cdot \overline{ST}_a \cdot \overline{KM}_F \cdot \overline{FR}\]

变量含义与推导逻辑：
- $SB_F, SB_R$：正/反转启动按钮。
- $KM_F, KM_R$：对应接触器的自锁触点（NO）与互锁触点（NC）。
- $SB_1$：总停止按钮（NC）。
- $ST_b$：终点行程开关的常闭触点。当挡块撞动 $ST_b$ 时，$\overline{ST}_b$ 变为 0，导致 $L_F=0$，电动机停止正转。
- $ST_a$：原位行程开关的常闭触点。用于防止反转过头或控制回程停止点。
- $FR$：热继电器触点（过载保护）。

8.4.4 行程控制的三种典型应用

限位保护（Terminal Position Control）：
- 通过在运动轨道末端安装 $ST$，当部件到达极限位置时强行切断电源，防止发生机械事故。
位置启动/切换：
- 利用 $ST$ 的常开触点。当部件到达 A 位置时，撞动 $ST$ 使其闭合，从而启动另一台电动机或开启下一道工序。
自动循环控制（Automatic Cycle）：
- 在两端各设一个 $ST$。挡块撞动一端开关时，先切断正转，同时接通反转，使机械在两个位置间往复运动。

8.4.5 学习总结表

知识点	关键要素	实践意义
触发方式	挡块撞动	将位移信号转换为电信号
限位触点	串联在接触器线圈回路中	实现位置到达后的自动停机
复位特性	自动复位 (Auto-reset)
安全联锁	行程开关触点与按钮、接触器配合	确保位置控制与电气逻辑互锁的可靠性

邱关源《电路》理论延伸：在更高级的逻辑分析中，行程控制可以被抽象为状态机模型，行程开关的通断即为系统的状态输入约束（Constraint），决定了系统在不同拓扑结构间的切换。

8.5 时间控制

8.5.1 核心元件：时间继电器 (Time Relay, KT)

概念：时间继电器是一种从得到输入信号（线圈通电或断电）起，经过一定的延时后其触点才动作的继电器。
分类（按延时方式）：
- 通电延时型：线圈得电后开始延时，达到设定时间后触点动作；线圈失电时触点立即复位。
- 断电延时型：线圈得电后触点立即动作；线圈失电后开始延时，达到设定时间后触点才复位。
例子：走廊里的声控灯。感应到声音（得电）灯亮，声音消失后延时一段时间（断电延时）灯才熄灭。

8.5.2 时间控制的物理基础：暂态与时间常数 (Theoretical Basis)

虽然在工程应用中直接设定继电器的刻度，但其底层原理源于邱关源《电路》及吉培荣《电工技术》第3章讨论的RC/RL 暂态过程。延时的时间长短取决于电路的时间常数 $\tau$。

RC电路公式（充放电延时基础）： \[\tau = RC\]
- 变量含义：$\tau$ 为时间常数（s）；$R$ 为电阻（$\Omega$）；$C$ 为电容（F）。
电压随时间变化的规律（连等式推导）：以电容充电延时为例，电容电压 $u_C$ 达到触发电压的时间决定了延时： \[u_C(t) = U_{final} + (U_{initial} - U_{final})e^{-t/\tau}\] 对于零初始状态（$u_C(0)=0$），充电至电源电压 $U$ 的过程为： \[u_C(t) = U(1 - e^{-t/\tau})\]
- 物理意义：当 $t=5\tau$ 时，暂态过程基本结束。改变 $R$ 或 $C$ 的大小即可调节延时时间。

8.5.3 典型应用：三相异步电动机 Y-Δ 降压起动控制线

这是时间控制在电工技术中最经典的案例，旨在利用时间继电器自动完成起动方式的切换。

8.5.3.1 控制逻辑过程

按下起动按钮 $SB_2$：
- 主接触器 $KM_1$ 和星形连接接触器 $KM_3$ 线圈获电并自锁，电动机以 Y 形连接起动。
- 时间继电器 $KT$ 线圈同时获电并开始计时。
延时到达设定时间：
- $KT$ 的通电延时断开的常闭触点断开，使 $KM_3$ 失电（断开星形连接）。
- $KT$ 的通电延时闭合的常开触点闭合，使三角形连接接触器 $KM_2$ 线圈获电。
运行状态：电机切换到 $\Delta$ 形连接进入额定运行。

8.5.3.2 逻辑公式表达

设 $L_\Delta$ 为切换到三角形运行的输出逻辑： \[L_\Delta = KM_1 \cdot KT_{delay\_close} \cdot \overline{KM}_3\] * 逻辑含义：切换到三角形运行必须满足：主接触器已闭合且时间继电器延时时间到且星形接触器已安全断开（互锁）。

8.5.4 电子式时间控制（555 定时器）

在《电工学（下）》电子技术部分，时间控制常由 555 集成定时器实现。 * 延时公式： \[T_d = 1.1 RC\] * 含义：在单稳态触发器电路中，输出脉冲的宽度（即延时时间）仅由外接的 $R$ 和 $C$ 决定。

8.5.5 时间控制的注意事项

整定值调节：实际使用中需根据电机容量和负载性质，调节时间继电器的旋钮（整定值），以确保在电机转速接近额定转速时完成切换。
安全联锁：在 Y-Δ 切换瞬间，必须通过硬件常闭触点设置 $KM_2$ 与 $KM_3$ 的互锁，防止因电弧未熄灭导致的电源相间短路。

8.5.6 学习小结表

知识点	核心要素	实践意义
延时原理	电容充放电或空气阻尼	将时间信号转换为电信号
符号识别	伞形符号方向（通电/断电）	准确理解电路动作逻辑顺序
时间常数 $\tau$	$\tau = RC$ 或 $\tau = L/R$	延时长短的理论计算依据
Y-Δ 自动切换	$KT$ 触点驱动 $KM$ 切换	减小起动电流对电网的冲击

已经根据吉培荣、秦曾煌和邱关源教材的内容为你梳理了时间控制的知识点。如果你需要更深入了解具体的 Y-Δ 降压起动电路图分析 或 555 定时器的内部工作原理，可以随时告诉我。

9 可编程控制器

9.1 可编程控制器概述

9.1.1 可编程控制器的定义与性质 (Definition and Nature)

概念：可编程控制器（PLC）是将 3C 技术（Computer 微型计算机技术、Control 控制技术、Communication 通信技术）融为一体，专门为工业环境下应用而设计的工业控制计算机。
起源：PLC 是在传统的继电器控制系统基础上产生的，旨在克服继电器控制线路复杂、灵活性差和可靠性低等缺点。
物理性质：它内部带有指令存储器，配备数字或模拟的输入/输出（I/O）接口，以位运算（逻辑运算）为主。

9.1.2 PLC 的核心特点 (Key Features) —— 本节重点

高可靠性与强抗干扰能力：采用大规模集成电路和严格的抗干扰措施，能在恶劣的工业环境下稳定运行。
通用性与灵活性：改变控制功能只需修改软件程序，无需改动外部硬件接线。
编程简单：主要采用梯形图（Ladder Diagram）语言，其形式与继电接触器控制电路图非常相似，易于技术人员掌握。
接口丰富：具有标准化的 I/O 模块，能直接驱动接触器线圈等执行元件。

9.1.3 可编程控制器的基本功能 (Basic Functions)

PLC 不仅能完成逻辑控制，还具备以下功能： 1. 逻辑控制：取代中间继电器和时间继电器，实现复杂的组合逻辑和顺序控制。 2. 定时/计数控制：内部设有大量的定时器（T）和计数器（C）。 3. 算术运算与数据处理：进行数据的采集、传输及数学运算。 4. 通信联网：实现 PLC 之间以及 PLC 与上位机之间的数据交换。

9.1.4 PLC 控制系统的工作原理与逻辑“公式”

在 PLC 控制中，硬件接线与内部程序逻辑分离。通常 PLC 的输出端不直接驱动大容量电机，而是驱动接触器线圈，再由接触器主触点控制电机。

9.1.4.1 典型例子：三相异步电动机正反转逻辑

参考吉培荣教材中的电动机正反转控制流程： * I/O 分配： * 输入：$I0.0$（停止按钮 SB1）、$I0.1$（正转按钮 SB2）、$I0.2$（反转按钮 SB3）、$I0.3$（热继电器 FR）。 * 输出：$Q0.0$（正转接触器线圈 KM1）、$Q0.1$（反转接触器线圈 KM2）。

9.1.4.2 逻辑推导公式（连等布尔逻辑）：

以正转输出 $Q0.0$ 为例，其逻辑状态取决于输入条件的组合： \[Q0.0 = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0} \cdot \overline{I0.2} \cdot \overline{Q0.1} \cdot \overline{I0.3}\]

变量含义：
- $(I0.1 + Q0.0)$：起动与自锁环节。按下起动按钮 $I0.1$ 或输出 $Q0.0$ 已接通，则该项为 1。
- $\overline{I0.0}$：停止环节。停止按钮（动断触点）未按下时为 1。
- $\overline{I0.2}$：按钮联锁。反转起动按钮未按下时为 1。
- $\overline{Q0.1}$：电气联锁（互锁）。反转接触器线圈未获电时为 1。
- $\overline{I0.3}$：过载保护。热继电器未动作时为 1。
结论：当上述所有逻辑条件同时满足（逻辑乘为 1）时，正转接触器获电，电机起动。

9.1.5 学习总结表

知识点	关键要素	实践意义
技术核心	3C 技术集成	标志着从硬接线逻辑向软件逻辑的转变
控制方式	循环扫描方式	确保控制过程的高实时性与确定性
输入/输出	I/O 地址分配	将物理设备（按钮、电机）映射为内存地址
编程模型	梯形图	降低了工业自动化系统的设计与维护门槛

通过本节的学习，应重点理解 PLC 如何通过软件逻辑替代继电器的硬件逻辑。如果您需要进一步了解具体的 S7-200 指令系统 或 PLC 内部扫描周期的工作过程，可以继续向我提问。

9.2 PLC的基本结构和工作原理

9.2.1 PLC 的硬件基本结构 (Basic Hardware Structure)

PLC 在本质上是一台专为工业控制设计的微型计算机。其硬件系统由以下核心部分组成：

中央处理器 (CPU)：PLC 的“大脑”和“总指挥”。它负责接收并存储用户程序，在循环扫描过程中读取输入变量，执行逻辑运算，并将结果送往输出端。
存储器 (Memory)：
- 系统程序存储器：存放 PLC 制造厂家编写的系统程序（类似于电脑的操作系统的核心）。
- 用户程序及数据存储器：存放用户编写的梯形图程序及运行过程中产生的各类中间数据。
输入接口 (Input Interface)：接收外部主令电器（如按钮 SB、行程开关 ST）或传感器送来的信号。为了提高抗干扰能力，输入电路通常带有光电耦合隔离功能。
输出接口 (Output Interface)：将 CPU 运算后的逻辑状态转换为电信号，驱动外部执行元件（如接触器 KM 的线圈、电磁阀、信号灯）。常用的输出形式有继电器、晶体管和晶闸管三种。
编程器：用于编写、修改程序并监控 PLC 运行。

PLC 循环扫描三阶段

输入采样：读取所有输入点状态存入输入映像寄存器
程序执行：从左到右、从上到下依次执行用户程序
输出刷新：将输出映像寄存器内容传送到输出模块

一个扫描周期通常为 1–100 ms。

9.2.2 PLC 的工作原理：循环扫描 (Scanning Principle)

与传统继电器控制系统（并行工作）不同，PLC 采用的是周期性循环扫描方式。

9.2.2.1 扫描周期的三个阶段：

输入采样阶段：PLC 按顺序扫描所有输入端子，将其状态（0 或 1）读入内部的输入影像寄存器中。在此阶段之后，即便外部输入信号发生变化，影像寄存器的内容也不会改变，直到下一个周期的采样阶段。
程序执行阶段：CPU 按照用户程序（梯形图）由左向右、由上而下的顺序逐行进行逻辑运算。运算结果（如软继电器的状态）立即存入对应的元件映像寄存器。
输出刷新阶段：所有程序执行完毕后，将输出映像寄存器的状态集中转存到输出锁存器，通过物理输出接口驱动外部负载。

9.2.3 核心概念：“软继电器” (Logic Relays)

PLC 内部的逻辑元件（如 $I$、$Q$、$M$、$T$、$C$）被称为“软继电器”。 * 概念：它们并不是物理实体，而是 PLC 内存（寄存器）中的一个位 (Bit)。 * 例子：$I0.1$ 对应 PLC 的物理输入端子 1。在梯形图中，它的常开/常闭触点可以被无限次使用，这反映了邱关源《电路》中所强调的逻辑约束优于硬件物理约束的思想。

9.2.4 逻辑控制“公式”与推导 (Logic Formulas)

在 PLC 的原理分析中，我们不使用复杂的基尔霍夫方程，而是使用布尔逻辑公式。

9.2.4.1 例子：异步电动机直接起动控制（自锁逻辑）

物理设备：停止按钮 $SB_1$（接 $I0.0$）、起动按钮 $SB_2$（接 $I0.1$）、输出线圈 $KM$（接 $Q0.0$）。

逻辑推导（连等式）：设线圈 $Q0.0$ 的逻辑状态为 $L$： \[L = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0}\]

变量含义：
- $I0.1$：起动输入，按下为 1。
- $Q0.0$（括号内）：输出继电器的辅助常开触点，实现自锁功能。
- $\overline{I0.0}$：停止输入，正常状态（未按下）为 1。由于 PLC 内部程序处理通常与硬件接线配合，这里假设 $SB_1$ 为常闭按钮且接在 $I0.0$，则程序中使用 $I0.0$ 的常开触点代表“通路”。
结论：一旦 $I0.1$ 被触发且 $I0.0$ 未切断，则输出 $L=1$，且由于 $Q0.0$ 反馈闭合，逻辑得以保持。

9.2.5 scan time 计算基础

虽然教材未给出复杂的微积分公式，但在性能评价中涉及扫描周期 $T$： \[T \approx T_{input\_process} + N \times T_{instruction} + T_{output\_process}\] * $T$：总执行周期（ms）。 * $N$：程序步数。 * $T_{instruction}$：平均每条指令的执行时间。 * 物理意义：当扫描周期过长时（超过信号脉冲宽度），会出现“输入漏计”现象。

9.2.6 学习建议

在学习第 9 章第 2 节时，应重点理解 PLC 映像寄存器的概念。

9.3 PLC的程序编制

9.3.1 PLC 编程语言种类 (Programming Languages)

梯形图 (Ladder Diagram, LAD)：最基本的编程语言，其符号与继电器控制电路非常相似，直观易懂。
指令语句表 (Statement List, STL)：类似于计算机汇编语言，由操作码和操作数组成，用于小型 PLC 或复杂逻辑表达。
功能块图 (FBD)：利用逻辑门符号表示控制逻辑。

9.3.2 梯形图的基本结构与概念 (LAD Structure)

母线 (Bus Bar)：梯形图两侧的垂直线。左母线起始逻辑，右母线终止逻辑。
梯级 (Step/Rung)：每一个继电器线圈为一个逻辑行，称为一个梯级。
触点 (Contact)：代表输入条件，如按钮 $SB$ 或行程开关 $ST$。在 PLC 内部表现为影像寄存器的“位”状态。
线圈 (Coil)：代表输出结果，驱动外部执行元件如接触器 $KM$ 线圈。
网络 (Network)：程序段被网络分开，一个网络通常只包含一个完整的逻辑输出段。

9.3.3 PLC 用户程序结构 (User Program Structure)

用户程序通常由三部分组成： 1. 主程序：每个扫描周期都执行，是控制逻辑的核心。 2. 子程序：可选部分，仅在被主程序调用时执行。 3. 中断程序：可选部分，仅在特定中断事件发生时执行。

梯形图编程规则

线圈不能放在左母线左侧，触点不能放在右母线右侧
同一编号线圈一般只能出现一次
触点可无限次串并联使用
从上到下、从左到右扫描执行

9.3.4 PLC 编程的规则与原则 (Programming Rules)

顺序原则：程序应按自上而下，从左至右的顺序编写。
输出唯一性：同一操作数的输出线圈在一个程序中不能使用两次（双线圈冲突），否则会导致逻辑混乱。
线圈位置：线圈不能直接与左母线相连，必须经过触点。若需始终输出，需串联特殊标志位（如 SM0.0）。
性能优化原则：
- 上重下轻：串联触点多的支路尽量放在上部。
- 左重右轻：并联触点多的支路应靠近左母线。

9.3.5 基本编程指令 (Basic Instructions)

参考秦曾煌教材中的常用指令： * ST (Start / LD)：起动指令，从左母线开始取用常开触点。 * AN (And)：串联常开触点。 * OR (Or)：并联常开触点。 * OT (Out)：驱动输出线圈。 * ED (End)：程序结束。

9.3.6 控制逻辑“公式”推导：电动机自锁控制 (Logic Derivation)

以三相异步电动机起保停控制为例，我们可以将其逻辑抽象为布尔方程。

变量含义： * $L$：输出状态（如线圈 $Q0.0$）。 * $S_{start}$：起动输入（如 $I0.1$）。 * $S_{stop}$：停止输入（如 $I0.0$）。 * $S_{aux}$：自锁辅助触点（在 PLC 中即为输出位 $Q0.0$ 本身）。

逻辑公式推导（连等逻辑）： \[L = (S_{start} + S_{aux}) \cdot \overline{S_{stop}}\] * 公式推导过程： 1. 按下起动按钮，输入 $S_{start}=1$，此时 $(1+0)=1$。 2. 若停止按钮未按下，则 $\overline{S_{stop}}=1$。 3. 输出结果 $L = 1 \cdot 1 = 1$，电动机起动。 4. 松开起动按钮，$S_{start}=0$，但由于输出已为 1，自锁触点 $S_{aux}=1$，此时 $(0+1)=1$。 5. 逻辑保持 $L = 1 \cdot 1 = 1$，实现自锁。

9.3.7 典型编程实例：正反转控制 (Example)

在正反转控制中，必须加入互锁逻辑以防短路： * 正转输出 $Q0.0$ 逻辑： \[Q0.0 = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0} \cdot \overline{Q0.1}\] * 变量解释： * $I0.1$：正转按钮。 * $I0.0$：总停按钮。 * $\overline{Q0.1}$：反转互锁（当反转线圈获电时，此项为 0，强行断开正转回路）。

9.3.8 邱关源《电路》理论延伸

邱关源教材强调电路的模型化与约束关系。在 PLC 程序编制中： * 元件约束：PLC 内部的“软继电器”打破了物理元件寿命和数量的限制，同一个地址的触点可以无限次使用。 * 拓扑约束：梯形图的每一行逻辑本质上是一个受控的分支。与基尔霍夫定律 (KVL) 描述的回路电压守恒不同，PLC 梯形图描述的是逻辑电位的传递。

通过本节学习，您应能熟练将继电接触器原理图（硬件逻辑）转化为 PLC 梯形图（软件逻辑）。如果您需要进一步分析具体的 定时器/计数器编程 或 S7-200 寻址方式，可以继续提问。

9.4 S7-200系列PLC的基本指令

9.4.1 标准触点指令（位逻辑指令）

触点指令代表 CPU 对存储器位状态的读操作。在 PLC 编程中，触点的使用次数是不受限制的。

LD (Load) 装入常开触点：常开触点逻辑运算的开始。
LDN (Load Not) 装入常闭触点：常闭触点逻辑运算的开始，对操作数状态取反。
A (And) 串联常开 / AN (And Not) 串联常闭：用于单个触点的逻辑“与”运算。
O (Or) 并联常开 / ON 并联常闭：用于单个触点的逻辑“或”运算。

9.4.2 输出指令（赋值指令）

符号：=
概念：代表 CPU 对存储器的写操作。
功能：将逻辑运算的结果输出到指定的影像寄存器位，驱动虚拟线圈。
注意：在用户程序中，同一线圈通常只能使用一次（双线圈冲突原则），否则会导致逻辑混乱。

9.4.3 正负跳变指令（边缘检测）

用于检测输入信号状态的瞬时变化。 * EU (Edge Up) 正跳变：检测到由 OFF 变为 ON 的上升沿时，接通一个扫描周期。 * ED (Edge Down) 负跳变：检测到由 ON 变为 OFF 的下降沿时，接通一个扫描周期。 * 例子：在需要脉冲触发的计算电路中，利用 EU 指令防止由于按钮长按导致的重复计数。

9.4.4 置位与复位指令

S (Set) 置位：使能有效后，从起始位开始的 $N$ 个位置 1 并保持。
R (Reset) 复位：使能有效后，从起始位开始的 $N$ 个位清 0 并保持。
与输出指令的区别：= 指令随逻辑条件实时变化，而 S/R 指令具有记忆功能，直到被反向操作。

9.4.5 定时器指令 (T)

定时器用于实现电路的时间控制。 * 核心变量： * PV (Preset Value)：设定值。 * CV (Current Value)：当前值（累加值）。 * Resolution：分辨率（如 1ms, 10ms, 100ms）。 * 计算公式（连等推导）： \[Time = PV \times Resolution\] * 例子：若使用分辨率为 100ms 的定时器 T37，设定值 PV 为 50，则： $Time = 50 \times 100\text{ms} = 5000\text{ms} = 5\text{s}$。

9.4.6 立即操作指令

概念：允许程序绕过扫描周期的限制，对输入/输出点进行快速且直接的存取。
应用：用于对响应速度要求极高的场合（如高速计数或紧急制动）。

9.4.7 逻辑控制“公式”推导：自锁控制 (Start-Stop Logic)

结合邱关源《电路》中对网络约束的分析，PLC 逻辑可视为有向图中的通路。

物理变量定义： * $Q0.0$：输出线圈状态（电动机运行）。 * $I0.1$：起动按钮（常开触点）。 * $I0.0$：停止按钮（在程序中使用常闭逻辑）。

逻辑布尔公式推导（连等逻辑）： \[Q0.0 = (I0.1 \lor Q0.0) \land I0.0\] * 变量含义与逻辑推导： 1. $(I0.1 \lor Q0.0)$：代表“起动”或“已起动自锁”。当按下起动按钮 $I0.1$ 或线圈已获电 $Q0.0=1$ 时，此项为 1。 2. $\land I0.0$：代表“允许运行”约束。若停止按钮未按下（$I0.0$ 常闭触点闭合），则此项为 1。 3. 结果：只有当启动且未停止时，线圈 $Q0.0$ 才保持获电。

9.4.8 编程规则小结表

规则项	要求描述	理论依据 (邱关源/吉培荣)
拓扑顺序	自上而下，从左至右	循环扫描的工作方式
线圈位置	必须位于梯级最右端	能量流（逻辑流）的终点
触点约束	可无限次重复使用	逻辑位读取不消耗物理寿命
输入约束	不能直接驱动输入位 $I$	输入由外部物理电平决定

通过掌握这些指令，你可以将复杂的电磁继电器电路转化为高效的软件逻辑。如果你需要分析具体的立即指令对响应延迟的影响或特殊继电器 SM 的用法，可以随时提问。

9.5 PLC控制系统设计实例

9.5.1 PLC控制系统设计的基本流程 (Design Flow)

设计一个PLC控制系统通常遵循系统化的步骤，以确保逻辑的严密性和硬件的安全性：

分析工艺过程：首先必须深入了解被控设备的动作要求、动作顺序及保护环节。
确定与分配 I/O 点：统计系统所需的输入信号（如按钮、行程开关）和输出信号（如接触器线圈、信号灯），并编制 I/O 地址分配表。
- 例子：在电动机控制中，停止按钮通常分配给 $I0.0$，起动按钮分配给 $I0.1$，接触器线圈分配给 $Q0.0$。
PLC硬件接线图设计：根据分配好的地址绘制物理接线图，注意 PLC 输出端通常不直接驱动大功率负载，而是通过中间继电器或接触器进行功率放大。
程序编写（梯形图 LAD）：根据工艺流程编写控制软件。
运行与调试：通过模拟运行或现场调试修正逻辑错误。

9.5.2 核心概念与逻辑实例

在设计实例中，最经典的是三相鼠笼式异步电动机的正反转控制。

互锁 (Interlocking)：为了防止正、反转接触器同时吸合导致电源相间短路，必须在程序和硬件上设置制约关系。
自锁 (Self-locking)：利用输出位 $Q$ 的辅助触点并联在起动按钮上，实现信号的保持。
保护环节：包括过载保护（FR接入输入点）和短路保护（外部熔断器 FU）。

9.5.3 控制逻辑公式与推导

PLC控制逻辑可以抽象为布尔逻辑表达式。这反映了邱关源《电路》中提到的元件约束与拓扑约束在逻辑层面的体现。

9.5.3.1 电动机正反转控制逻辑公式（连等式推导）：

以正转线圈输出 $Q0.0$ 为例，其逻辑状态 $L$ 的推导如下： \[Q0.0 = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0} \cdot \overline{Q0.1} \cdot \overline{I0.3}\]

变量含义：
- $I0.1$：正转起动按钮（动合触点）。
- $Q0.0$（括号内）：正转接触器的自锁触点。
- $\overline{I0.0}$：停止按钮逻辑（假设外部接常闭点，程序内取常开逻辑以实现通路）。
- $\overline{Q0.1}$：反转互锁。只有当反转线圈 $Q0.1$ 未获电时，正转才能起动。
- $\overline{I0.3}$：热继电器保护。当电机过载时 $I0.3$ 动作，强行切断输出。

9.5.4 时间与计数控制公式

在设计如“自动往返控制”或“顺序启动”实例时，常涉及定时器指令。

定时时间计算公式： \[T_{delay} = PV \times Resolution\]
变量含义：
- $T_{delay}$：实际延时时间。
- $PV$：预设值（Preset Value），存放在设定值寄存器中。
- $Resolution$：分辨率。S7-200中常见的有 1ms, 10ms, 100ms。
- 例子：若使用 T37（100ms 分辨率），设定值 $PV=50$，则 $T_{delay} = 50 \times 0.1\text{s} = 5\text{s}$。

9.5.5 理论联系实际 (邱关源/秦曾煌观点集成)

逻辑约束取代物理接线：邱关源教材强调电路是由元件和结构约束共同决定的。
可靠性设计：秦曾煌教材指出，PLC控制系统在恶劣工业环境下优于继电器系统，因为其内部采用光电隔离等技术，有效解决了干扰问题。

在学习第 9 章第 5 节时，建议你亲手绘制 I/O 分配图和梯形图，并尝试针对不同的工业需求（如传送带顺序控制、水箱水位控制）进行逻辑推导。

10 电工测量

10.1 测量的基本概念

10.1.1 测量的定义与过程

概念：测量是人们对客观事物取得数量概念的认识过程，即为确定被测对象的量值而进行的实验过程。
本质：将被测量与所采用的参考量（标准量）进行比较的过程。

10.1.2 电测量方法的分类 (核心知识点)

根据数据获取方式、标准量参与程度及仪表显示形式，测量方法分为以下三类：

10.1.2.1 按测量数据得到的方式分类

直接测量法：直接从仪表读数得到数值。
- 例子：用电压表直接测量负载两端的电压。
间接测量法：利用直接测量的物理量与被测量间的函数关系计算得出。
- 例子：通过测量电压 $U$ 和电流 $I$，根据欧姆定律计算电阻 $R = U/I$。
组合测量法：在多个直接测量数据的基础上，通过联立方程组求解。
- 例子：在不同温度下测量电阻，通过公式 $R_t = R_{20}。

10.1.2.2 按标准量是否直接参与分类

直读法：直接从仪表读数，准确度取决于仪表本身，计量标准物不直接参与。
比较测量法：被测量与标准量直接对比。
- 例子：用电桥（如邱关源教材中提到的直流/交流电桥）测量电阻，标准电阻直接参与测量。

10.1.2.3 按仪表指示值的有无分类

偏转法：利用指针偏转示值获取结果。
零值法：利用补偿或平衡原理，通过指零仪表检查是否达到平衡。

测量误差核心公式

\[\Delta_m = \pm K\%\times A \quad (最大允许绝对误差)\] \[r_m = \frac{\Delta_m}{x}\times 100\% = \frac{K\% \cdot A}{x}\times 100\% \quad (最大相对误差)\] 推论：读数 $x$ 越接近量程 $A$，相对误差越小。测量时指针应在量程 2/3 以上。

10.1.3 测量误差及其计算公式

10.1.3.1 绝对误差 ($\Delta$)

表示测量值与真实值之间的差值。 * 最大允许绝对误差 ($\Delta_m$) 计算公式： \[\Delta_m = \pm K\% \times A\] * 变量含义：$K$ 为仪表的准确度等级；$A$ 为仪表的量程（满刻度值）。

10.1.3.2 相对误差 ($r$)

绝对误差与测量值之比，反映测量的精确程度。 * 测量结果的最大可能相对误差公式： \[r_m = \frac{\Delta_m}{x} \times 100\% = \frac{K\% \cdot A}{x} \times 100\%\] * 变量含义：$x$ 为被测量的读数数值。 * 推论：在同一仪表下，读数 $x$ 越接近量程 $A$，相对误差越小。因此，测量时应尽量使指针指在量程的 2/3 以上 区域。

10.1.4 电工仪表的准确度与性能指标

10.1.4.1 准确度等级 (Accuracy Class)

国家规定仪表准确度分为 12 个等级：0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 5, 10, 20。 * 应用场景：0.1~0.2 级用于标准表；0.5~1.5 级用于实验室；1.0~2.5 级用于工矿现场监视。

10.1.4.2 仪表的灵敏度 ($S$) 与仪表常数 ($C$)

灵敏度 $S$：单位被测量引起指针偏转的角度或格数。 \[S = \frac{\alpha}{X}\]
仪表常数 $C$：灵敏度的倒数，表示每偏转一格所代表的被测量数值。 \[C = \frac{1}{S} = \frac{\text{量程 } A}{\text{满刻度格数 } \alpha_{max}}\]
- 例子：量程 50$\mu$A、满刻度 100 格的表，其 $C = 50/100 = 0.5 \mu$A/格。若指针指在 70 格，读数即为 $70 \times 0.5 = 35 \mu$A。

10.1.5 误差消除与选择原则

合理选型：并不是准确度等级越高测量就越准。应结合量程进行评估。
- 例子：测量 40V 电压，用 0.5 级、100V 量程的表，误差为 $\pm 0.5V$；用 1.0 级、50V 量程的表，误差为 $\pm 0.5V$。两者最大绝对误差相同，但后者量程更贴近被测量，实际使用中通常更优。

10.2 常用的电工仪表

10.2.1 电测量指示仪表的结构与力矩

指示仪表的作用：将被测电量（如电流、电压、功率等）转换为可动部分的偏转角 $\alpha$，使两者保持一定的比例关系。
基本结构：由测量线路（将被测量 $x$ 转换为测量机构可接受的过渡电量 $y$）和测量机构（将 $y$ 转换为偏转角 $\alpha$）组成。
力矩平衡原理：
- 转动力矩 ($M$)：由电磁力产生，使指针偏转。
- 反作用力矩 ($M_f$)：通常由游丝或张丝产生，其大小与偏转角成正比，即 $M_f = D\alpha$（$D$ 为反作用系数）。
- 阻尼力矩：由阻尼器（空气式或磁感应式）产生，用于限制指针摆动，使之迅速稳定。
支承装置：常见的有轴尖轴承支承和张丝弹片支承，后者可消除摩擦误差，提高准确度。

10.2.2 磁电系仪表 (Magnetoelectric Instrument) —— 测直流

结构：由永久磁铁产生均匀磁场，可动线圈绕在铝框上。
工作原理公式推导：当线圈通电 $I$ 时，电磁力 $F = NBlI$。产生的转动力矩为： \[M = 2Fr = NBl(2r)I = NBSI\] 当力矩平衡（$M = M_f$）时： \[NBSI = D\alpha \implies \alpha = \frac{NBS}{D} I = S_I I\]
变量含义：$N$ 为线圈匝数；$B$ 为磁感应强度；$S$ 为线圈有效面积；$D$ 为游丝反作用系数；$S_I$ 为灵敏度。
技术特性：
- 刻度均匀：偏转角与电流一次方成正比。
- 极性限制：只能测量直流，若测交流，指针会因惯性在零位附近颤动。
量程扩大：
- 电流表：并联分流器 $R_{fl}$。
- 电压表：串联高阻值附加电阻 $R_{fj}$。

10.2.3 电磁系仪表 (Electromagnetic Instrument) —— 测交流有效值

结构：由固定线圈和线圈内部的定铁片、动铁片组成。
工作原理公式： \[\alpha = K(NI)^2\]
变量含义：$K$ 为结构系数；$NI$ 为安匝数。
技术特性：
- 交直流两用：测量交流时，读数为有效值。
- 刻度不均匀：由于偏转角与电流平方成正比，标尺具有平方律特性，起始段刻度密集。

10.2.4 电动系仪表 (Electrodynamic Instrument) —— 测功率

结构：由固定线圈（电流线圈）和可动线圈（电压线圈）组成。
工作原理公式：
- 直流：$\alpha = KI_1I_2$。
- 交流：\[\alpha = KI_1I_2 \cos \phi\]
变量含义：$I_1, I_2$ 为两线圈电流有效值；$\phi$ 为两者相位差。
核心应用：功率表 (Wattmeter)：
- 概念：电流线圈串联入电路，电压线圈并联入电路。
- 接线例子：必须遵守“发电机端守则”，即标有“*”号的端钮应接向电源同一侧。若电压线圈反接，指针会反向偏转。

10.2.5 其他系仪表

铁磁电动系：在电动系基础上加入铁心，转动力矩大，防御外磁场能力强。
静电系：利用电荷间作用力，主要用于测量高电压，几乎不消耗能量。
感应系：利用交变磁通在铝盘中产生的涡流，主要用于单相电度表测量电能。

10.2.6 万用表 (Multimeter)

模拟式万用表：
- 核心：采用磁电系测量机构作为表头。
- 测量直流电压公式：$U = I_{满偏} \times (R_{表头} + R_{附加})$。
- 交流测量：必须通过整流电路将交流变为直流后测量，读数一般按有效值刻度。
数字式万用表：
- 组成：由 A-D 转换器、电子计数器和显示器组成。
- 特点：输入阻抗极高（如 $10\text{M}\Omega$），对原电路影响极小，读数直观。

10.2.7 测量选择建议（综合邱关源/秦曾煌观点）

电流测量：要求电流表内阻 $R_A$ 远小于负载电阻 $R$，以减小仪表接入引起的误差。
电压测量：要求电压表内阻 $R_V$ 远大于被测电路等效电阻，内阻越大测量越准。
频率影响：在测量非正弦交流电时，应注意不同类型仪表的频率响应范围和读数含义。

10.3 电参量的测量

10.3.1 电流与电压的测量 (Measurement of Current and Voltage)

电流的测量：电流表（安培表）必须串联在被测电路中。
电压的测量：电压表（伏特表）必须并联在被测电路两端。
量程扩大：
- 直流：电流表并联分流器，电压表串联倍增电阻。
- 交流：大电流通过电流互感器接入，高电压通过电压互感器接入。
单位与参考方向：电流单位为安培(A)，电压单位为伏特(V)。

10.3.2 功率的测量 (Measurement of Power)

功率的测量通常使用电动系功率表（瓦特表）。

接线规则——“发电机端守则”：功率表有两个线圈（电流线圈和电压线圈），每个线圈各有一个标有星号“*”的端钮。接线时，这两个端钮必须接在电源的同一侧，否则指针会反偏。
单相功率计算公式： \[P = UI \cos \phi\]
- 变量含义：$P$ 为有功功率（W）；$U, I$ 为电压和电流的有效值；$\phi$ 为电压与电流的相位差。
三相功率测量（二功率表法）：在三相三线制电路中，常用两个功率表测量总功率。
- 总功率推导公式： \[P = W_1 + W_2\]
- 无功功率推导公式： \[Q = \sqrt{3}(W_1 - W_2)\]
- 变量含义：$W_1, W_2$ 分别为两个功率表的读数。

10.3.3 电阻的测量 (Measurement of Resistance)

伏安法（间接测量法）：利用欧姆定律，通过测量电压 $U$ 和电流 $I$ 来计算电阻。
- 公式：\[R = \frac{U}{I}\]
- 测量误差分析：由于仪表内阻影响，分为电流表内接法（适测大电阻）和电流表外接法（适测小电阻）。
电桥法（比较测量法）：利用直流电桥（如惠斯通电桥）进行高精度测量。
万用表测量：利用内部电池作为电源，将被测电阻与基准电阻串联，根据压降原理转换成阻值读数。

10.3.4 交流电路参数的测量（三表法）

在交流电路中，若需测量一个阻抗 $Z = R + jX$ 的参数，可使用电压表、电流表和功率表进行测量。

连等式推导过程：
1. 测量阻抗模 ($Z$)：\[Z = \frac{U}{I}\]
2. 测量电阻 ($R$)：由于 $P = I^2 R$，得 \[R = \frac{P}{I^2}\]
3. 计算电抗 ($X$)：根据阻抗三角形 $Z^2 = R^2 + X^2$，得 \[X = \sqrt{Z^2 - R^2}\]
变量含义：$U, I, P$ 分别为三表的读数有效值。

10.3.5 数字化测量基础

数字万用表：其核心是 A/D 转换器，将连续的模拟电量转换为离散的数字量显示。
测量误差指标：引用误差反映仪表的准确度等级 $K$。 \[\Delta_m = \pm K\% \times A\]
- 变量含义：$\Delta_m$ 为最大允许绝对误差，$A$ 为满量程值。
- 例子：用 1.5 级、量程 30A 的表测量 20A 电流，其最大绝对误差为 $30 \times 1.5\% = 0.45A$，最大相对误差则为 $0.45 / 20 \times 100\% = 2.25\%$。

10.3.6 非电量的电测技术

概念：将位移、压力、温度等非电物理量通过传感器转换为电信号（电压、电流等），再进行测量。
系统结构：待测非电量 $\to$ 传感器 $\to$ 测量电路 $\to$ 显示/记录。

10.4 非电量电测技术简介

10.4.1 非电量的定义与分类

概念：在科学研究和生产实践中，除了电压、电流、电阻等电气量外，大量的其他物理量（如位移、压力、温度、流量、液位、速度等）、化学量及生物量统称为非电量。
测量性质：非电量测量分为静态测量和动态测量；按信号性质可分为模拟量和数字（开关）量。

10.4.2 非电量电测系统的结构

该系统通常由四个关键环节组成： \[待测量 \to 传感器 \to 测量电路 \to 记录/显示/处理\] * 传感器 (Sensor)：整个系统的关键环节，负责将非电量转换为电量。 * 测量电路：将传感器输出的微弱或不便处理的电信号（如电容变化、微小电压）转换为标准的电压或电流信号。

常用传感器类型速查

类型	原理	典型例子
电阻式	阻值随物理量变化	应变片、热敏电阻
热电式	热电效应	热电偶
压电式	压电效应	压电晶体
光电式	光强变化	光敏电阻

10.4.3 核心概念：传感器 (Transducer)

定义：用于实现非电量转换为电量的装置或器件。
常用种类与实例：
- 电阻式：利用阻值随物理量变化。例子：应变片（将位移/应变转换为电阻变化）、热敏元件（温度转换为电阻）。
- 热电式：利用热电效应。例子：热电偶（将温度差转换为电动势）。
- 磁电/压电式：利用力学效应。例子：压电晶体（将压力转换为电荷/电压）。
- 光电式：利用光强变化。例子：光敏元件（发光强度转换为电阻或电流）。

10.4.4 关键性能指标与逻辑公式

在非电量电测中，灵敏度 ($S$) 是衡量传感器性能最重要的参数。

10.4.4.1 通用灵敏度定义公式

\[S = \frac{\Delta Y}{\Delta X}\] * 变量含义：$S$ 为灵敏度；$\Delta Y$ 为输出电量的变化量；$\Delta X$ 为输入非电量的变化量。 * 例子：热电偶的灵敏度为 $40 \mu V/^\circ C$，意味着温度每升高 $1^\circ C$，输出电压增加 $40 \mu V$。

10.4.4.2 位移与阻值转换（以电位计传感器为例）

**\[R_x = S \cdot d\]

* 变量含义：$R_x$ 为输出电阻 ($\Omega$)；$d$ 为位移长度 ($mm$)；$S$ 为位移灵敏度 ($\Omega/mm$)。 * 推导逻辑**：对于线性电位计，电阻与触点位移成正比。若 $S = 50 \Omega/mm$，位移 $2mm$ 时，阻值变为 $100 \Omega$。

10.4.4.3 瞬时电功率与非电量关联（高级应用）

在某些精密测量（如光学功率传感）中，电功率 $p(t)$ 作为待测量，其公式推导为： \[p(t) = u(t)i(t) = 2U \cos(\omega t) \cdot 2I \cos(\omega t - \phi) = P\] * 变量含义：$P$ 为有功功率（平均功率）；$Q$ 为无功功率；$\phi$ 为功率因数角。 * 意义**：通过光学介质（如 BGO 晶体）的电光和磁光效应，可以将上述复杂的功率分量调制在光波中实现非接触测量。

10.4.5 常用传感器典型参数汇总表

传感器类型	变换功能	灵敏度 ($S$)	典型量程
热电偶	温度 $\to$ 电压	$40 \mu V/^\circ C$	$-200 \sim 1350^\circ C$
压电晶体	压力 $\to$ 电压	$0.29 mV/Pa$	$7 kPa \sim 34.5 MPa$
转速表	转速 $\to$ 电压	$0.03 V/(r/min)$	$100 \sim 10000 r/min$
应变片	位移 $\to$ 电阻	$0.05 \Omega/\mu m$	$0.1 \sim 50 \mu m$
光电池	光强 $\to$ 电流	$4.91 \mu A/cd$	$1 \sim 912 cd$

10.4.6 学习小结

非电量电测技术的实质是信息的跨域传递。通过传感器，我们将无法直接记录的物理量（如波导管内的微波焦耳热。

对于电路场 1. 参考方向就是电路的坐标系 2. 基尔霍夫定律: 电流的散度为0,电压的旋度为0,实际上来源于麦克斯韦方程组,我们可以将其写成一个复势 \[ W(z)=\phi(x,y)+j\psi(x,y) \] 其中 - $W(z)$为复势,是解析的,电场与流场相互正交,因为彼此无源无旋 - $\phi$为电势 - $\psi$为电流结合后面对正交时间的关系得到

\[ \Phi(z,t)=Re\{W(z)e^{i\omega t}\} \]

Reuse

CC BY-NC-SA 4.0

--- title: 电工技术 author: QMD date: 2026-04-10 description: 电工技术知识点总结 categories: 电工技术 engine: knitr number-sections: true toc: true toc-depth: 3 --- {{< include /setup/cf5733e5-0370-4aae-8689-61bad1dd9ec0电cf5733e5-0370-4aae-8689-61bad1dd9ec0子cf5733e5-0370-4aae-8689-61bad1dd9ec0电cf5733e5-0370-4aae-8689-61bad1dd9ec0路.qmd >}} # 电路的基本概念与两类约束 ## 电路的基本概念 ### 电路的定义与功能 * **电路 (Circuit)**：是由各种**实际电器件**用实际导线按一定方式连接而成的、具有特定功能的电流通路。 * **电路的组成**：通常由**电源**（提供能量或信号）、**负载**（吸收能量或接收信号）和**中间环节**（传输、分配或处理能量/信号，如导线、变压器）三部分组成。 * **电路的功能**： 1. 进行电能量的**传输、分配与转换**（如电力系统）。 2. 进行电信号的**传递与处理**（如通信系统）。 ### 电路模型与建模 * **实际电路与模型电路**：实际电路中的器件特性复杂，为了分析方便，需要将其**模型化**，抽象为具有单一电磁性质的**理想电路元件**（如电阻、电感、电容、理想电源等）。 * **电路模型 (Circuit Model)**：是由理想电路元件遵循基尔霍夫定律连接而成的虚拟电路，用以反映实际电路的主要特性。 * **例子**：一只手电筒的实际电路可以模型化为：一个理想电压源 $U_S$（干电池）、一个理想电阻 $R_L$（小灯泡）、一个理想开关和一个理想导线组成的回路。 ### 电路的基本物理量与变量理想电路中的变量与实际电路中的物理量一一对应，符号和单位相同。 #### 电流 (Current) * **概念**：电荷的有规则定向移动。 * **公式**： $$i = \frac{dq}{dt}$$ * $i$：电流的瞬时值（单位：安培 A）。 * $dq$：在 $dt$ 时间内通过导体横截面的电荷量（单位：库仑 C）。 * $dt$：极短的时间间隔（单位：秒 s）。 * **直流电流 (DC)**：大小和方向都不随时间变化的电流，用大写字母 $I$ 表示。 #### 电压 (Voltage) * **概念**：电场力推动单位正电荷从 $a$ 点移至 $b$ 点所做的功。 * **公式**： $$u = \frac{dw}{dq}$$ * $u$：电压的瞬时值（单位：伏特 V）。 * $dw$：电场力移动电荷 $dq$ 所做的功（单位：焦耳 J）。 * **实际方向**：规定由高电位点指向低电位点。 #### 电位 (Potential) * **概念**：电路中某点相对于参考点（电位规定为零）的电压。 * **电位与电压的关系**：两点间的电压等于这两点的电位之差。 * **等式**： $$U_{ab} = V_a - V_b$$ * $V_a$、$V_b$：分别为 $a$ 点和 $b$ 点的电位。 #### 电动势 (Electromotive Force) * **概念**：衡量电源内部**非静电力**对电荷做功本领的物理量。 * **实际方向**：在电源内部由低电位（负极）指向高电位（正极）。 ::: {.callout-important} ## 核心概念：参考方向 - 若计算结果**为正**，实际方向与参考方向**相同**。 - 若计算结果**为负**，实际方向与参考方向**相反**。 - **关联参考方向**：电压"+"端 = 电流流入端。 ::: ### 参考方向 (Reference Directions) 由于电路中电压和电流的实际方向往往随时间变化或难以预先判定，必须预先假设方向。 * **表示方法**：电流常用**箭头**或双下标表示；电压常用**“+”、“-”极性**、箭头或双下标表示。 * **数值含义**：若计算结果为正，说明实际方向与参考方向相同；若为负，说明实际方向与参考方向相反。 * **关联参考方向 (Associated Reference Direction)**：对某一元件设定的电压参考极性的“+”端是电流参考方向流入的一端。 ### 电磁能量与功率 #### 电功率 (Power) * **概念**：单位时间内电路吸收或产生的电能，即能量对时间的变化率。 * **关联方向下的推导**：已知 $dw = u \cdot dq$ 且 $dq = i \cdot dt$： $$p = \frac{dw}{dt} = \frac{u \cdot dq}{dt} = u \cdot \frac{dq}{dt} = ui$$ * $p$：功率的瞬时值（单位：瓦特 W）。 * **功率平衡判定**： ::: {.callout-tip} ## 功率正负的判定规则 | 参考方向 | 公式 | $P>0$ | $P<0$ | |:--|:--|:--|:--| | 关联 | $P = UI$ | 吸收能量（负载） | 发出能量（电源） | | 非关联 | $P = -UI$ | 发出能量 | 吸收能量 | ::: #### 电能 (Energy) * **公式**： $$W = \int_{t_0}^{t} p \, d\xi = \int_{t_0}^{t} ui \, d\xi$$ * $W$：在 $t_0$ 到 $t$ 时间内吸收或消耗的能量（单位：焦耳 J 或 1 kW·h = 1 度）。 ## 电路元件 ### 电阻元件 (Resistor Element) 电阻元件是反映电路中**电能转化为非电能**（如热能）这一物理现象的理想模型。 * **线性电阻概念**：其端电压与电流的关系服从欧姆定律，在 $u-i$ 平面上是一条通过原点的直线。 * **伏安关系 (VCR) 与欧姆定律**： * **公式**：在关联参考方向下，$u = Ri$；非关联方向下，$u = -Ri$。 * **变量含义**：$u$ 为端电压（V），$i$ 为流经电流（A），$R$ 为**电阻**，单位为欧姆（$\Omega$）。 * **电导 (Conductance, $G$)**：电阻的倒数，衡量元件的导电能力。 * **推导与等式**：$i = \frac{u}{R} = (\frac{1}{R}) \cdot u = Gu$。 * **单位**：西门子（S）。 * **电阻的功率**： * **公式推导**：根据功率定义 $p = ui$，代入欧姆定律得： $$p = ui = (Ri) \cdot i = i^2R = u \cdot (Gu) = \frac{u^2}{R}$$。 * **物理意义**：由于 $R \ge 0$，功率 $p$ 恒大于或等于零，说明电阻总是**吸收（消耗）**能量。 * **理想状态**：$R \to \infty$ 称为**开路**（电流恒为零）；$R = 0$ 称为**短路**（电压恒为零）。 ### 独立电源 (Independent Sources) 独立电源是电路的激励源，其输出电压或电流由电源本身决定。 #### 理想电压源 (Ideal Voltage Source) * **定义**：其端电压 $u_S(t)$ 是确定的，与其流过的电流 $i$ **无关**。 * **实际模型**：实际电压源可用理想电压源 $U_S$ 与内阻 $R_S$ **串联**表示。 * **外特性公式**：$U = U_S - R_S I$。当 $R_S$ 很小时，更接近理想电压源。 #### 理想电流源 (Ideal Current Source) * **定义**：其输出电流 $i_S(t)$ 是确定的，与其两端的电压 $u$ **无关**。 * **实际模型**：实际电流源可用理想电流源 $I_S$ 与内阻 $R_S$ **并联**表示。 * **外特性公式**：$I = I_S - \frac{U}{R_S}$。 ### 电容元件 (Capacitor Element) —— 储能元件电容是描述电路中存储**电场能量**物理现象的理想模型。 * **库伏特性**：电荷量 $q$ 与电压 $u$ 成正比。 * **公式**：$q = Cu$。 * **变量含义**：$C$ 为**电容量**，单位为法拉（F）。 * **伏安关系 (VCR) 推导**：由于电流 $i$ 是电荷随时间的变化率： $$i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(Cu)}{dt} = C\frac{du}{dt}$$。 * **储能公式**： $$W_C = \frac{1}{2}Cu^2$$。 * **重要特性**： 1. **记忆性质**：时刻 $t$ 的电压取决于该时刻之前的电流历史积分。 2. **隔直作用**：在直流电路稳态时，$\frac{du}{dt}=0$，故 $i=0$，电容相当于**开路**。 3. **电压不能跃变**：当电流为有限值时，电压 $u$ 必须是连续的。 ### 电感元件 (Inductor Element) —— 储能元件电感是描述电路中存储**磁场能量**物理现象的理想模型。 * **韦安特性**：磁通链 $\psi$ 与电流 $i$ 成正比。 * **公式**：$\psi = Li$。 * **变量含义**：$L$ 为**电感量**，单位为亨利（H）。 * **伏安关系 (VCR) 推导**：根据电磁感应定律，端电压等于磁链的变化率： $$u = \frac{d\psi}{dt} = \frac{d(Li)}{dt} = L\frac{di}{dt}$$。 * **储能公式**： $$W_L = \frac{1}{2}Li^2$$。 * **重要特性**： 1. **通直阻交**：在直流电路稳态时，$\frac{di}{dt}=0$，故 $u=0$，电感相当于**短路**。 2. **电流不能跃变**：当电压为有限值时，电流 $i$ 必须是连续的。 ### 受控源 (Controlled Sources) —— 邱关源重点补充受控源的电压或电流受电路中另一支路的电压或电流控制，反映了电路内部支路间的耦合。 * **四种基本类型**： ::: {.callout-note} ## 受控源四种类型 | 类型 | 名称 | 控制量 | 特性方程 | |:--|:--|:--|:--| | VCVS | 电压控制电压源 | 电压 $u_1$ | $u_2 = \mu u_1$ | | VCCS | 电压控制电流源 | 电压 $u_1$ | $i_2 = g u_1$ | | CCVS | 电流控制电压源 | 电流 $i_1$ | $u_2 = r i_1$ | | CCCS | 电流控制电流源 | 电流 $i_1$ | $i_2 = \beta i_1$ | ::: * **概念辨析**：受控源不同于独立源，它不是电路的“激励”，而是一个**多端元件**，常用于晶体管等电子器件的建模。 * **例子**：三极管在放大区工作时，集电极电流 $i_C$ 受基极电流 $i_B$ 控制（$i_C = \beta i_B$），可等效为一个 **CCCS**。 ## 基尔霍夫定律 ### 电路拓扑的相关概念在应用基尔霍夫定律前，必须明确电路结构的几个基本术语： * **支路 (Branch)**：通过相同电流的一段电路。 * **节点 (Node)**：三条或三条以上支路的连接点。 * **回路 (Loop)**：由支路构成的任何闭合路径。 * **网孔 (Mesh)**：在平面电路中，内部不含有支路的回路。 * **例子**：在一个具有两个节点和三条并联支路的电路中，每一条并联路径即为支路，两个汇集点即为节点，而任意两条支路组成的闭合路径即为回路。 ::: {.callout-important} ## 基尔霍夫电流定律 (KCL) 在任一时刻，流过电路中任一节点的电流代数和恒等于零： $$\sum i = 0$$ **物理实质**：电荷守恒——节点处不能堆积电荷。 ::: ### 基尔霍夫电流定律 (KCL) * **定义**：在任一时刻，流过电路中任一节点的电流代数和恒等于零。 * **物理实质**：电荷守恒定律的体现，即节点处不能堆积电荷，电荷流动的连续性。 * **数学表达式**： $$\sum i = 0$$ **习惯规则**：通常规定流出节点的电流取“+”，流入节点的电流取“-”（反之亦可，但需保持一致）。 * **公式推导（电流相等形式）**：根据 $\sum i_{流出} - \sum i_{流入} = 0$，可以推导出： $$\sum i_{流入} = \sum i_{流出}$$ **含义**：在任一节点，任一瞬间流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。 * **广义节点（封闭面）**：KCL 不仅适用于单个节点，也适用于电路中任何一个闭合面（即广义节点）。 * **例子**：若节点 $a$ 连接三条支路，电流分别为 $I_1$（流入）、$I_2$（流入）、$I_3$（流出），则有 $-I_1 - I_2 + I_3 = 0$，即 $I_1 + I_2 = I_3$。 ::: {.callout-important} ## 基尔霍夫电压定律 (KVL) 在任一时刻，沿任一闭合回路绕行一周，各段电压降的代数和恒等于零： $$\sum u = 0$$ **物理实质**：能量守恒——电场力绕行一周做功为零。 ::: ### 基尔霍夫电压定律 (KVL) * **定义**：在任一时刻，沿电路中任一闭合回路绕行一周，回路中各段电压降的代数和恒等于零。 * **物理实质**：能量守恒定律的体现，即电位具有一值性，电场力移动单位正电荷绕行一周做功为零。 * **数学表达式**： $$\sum u = 0$$ **习惯规则**：需先确定回路绕行方向（顺时针或逆时针）。若支路电压参考方向与绕行方向一致取“+”，相反取“-”。 * **公式推导（电阻降与电源电动势形式）**：对于由电阻 $R$ 和电源 $E$ 组成的回路，利用欧姆定律 $u_R = Ri$，KVL 可推导为： $$\sum RI = \sum E$$ **含义**：任一回路内，电阻上电压降的代数和等于回路中所有电源电动势的代数和。 * **变量含义**：$R$ 为支路电阻（$\Omega$），$I$ 为支路电流（A），$E$ 为电源电动势（V）。 * **广义回路**：KVL 同样适用于假想的、不闭合的路径。此时，路径两点间的电压即为该路径上各段电压的代数和。 * **例子**：在含有一个电压源 $U_{s1}$ 和两个串联电阻 $R_1, R_2$ 的回路中，按顺时针绕行，若电流方向也为顺时针，则：$R_1I + R_2I - U_{s1} = 0$，即 $R_1I + R_2I = U_{s1}$。 ### 独立方程数与定律应用 (核心约束) * **两类约束**：邱关源教授强调，电路方程受**元件约束**（VCR，伏安特性）和**拓扑约束**（KCL/KVL）的双重制约。 * **独立方程数**： 1. **独立KCL方程数**：若电路有 $n$ 个节点，则只有 $(n-1)$ 个节点方程是相互独立的。 2. **独立KVL方程数**：若电路有 $b$ 条支路，$n$ 个节点，则独立回路数为 $b-(n-1)$。 * **公理性与前提**：吉培荣主编指出，对理想电路模型而言，基尔霍夫定律是**公理**；对实际电路，则要求电路尺寸远小于电磁波波长（准静态电磁场条件，$l < 0.1\lambda$）。 # 电路的分析方法 ## 电路的等效变换 ### 等效变换的概念 (Concept of Equivalent Transformation) * **端口 (Port)**：若一个电路引出两个端子，且从一个端子流入的电流始终等于从另一个端子流出的电流，则这对端子称为端口。 * **等效电路 (Equivalent Circuit)**：对于两个结构不同的二端（一端口）电路，若它们在端口处的**电压电流关系（VCR）完全相同**，则两者互为等效电路。 * **等效变换的本质**：等效是对**外部电路**而言的，变换后不影响外部支路的电流和电压；但等效电路**内部**的状态（如消耗的功率、电流分布）通常会发生改变。 ### 电阻的串联、并联与混联这是电路化简最基础的形式。 #### 电阻的串联 (Resistors in Series) * **特征**：各电阻流过**同一电流**。 * **等效电阻 ($R_{eq}$)**：各电阻阻值的代数和。 $$R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n = \sum_{k=1}^n R_k$$ * **分压公式 (Voltage Divider Rule)**：串联电路中各电阻上的电压与其阻值成正比。 $$U_k = \frac{R_k}{R_{eq}} U = \frac{R_k}{R_1 + R_2 + \dots + R_n} U$$ * 变量含义：$U_k$ 为第 $k$ 个电阻两端的电压，$U$ 为总电压。 #### 电阻的并联 (Resistors in Parallel) * **特征**：各电阻两端承受**同一电压**。 * **等效电导 ($G_{eq}$)**：各支路电导的代数和。 $$G_{eq} = G_1 + G_2 + \dots + G_n \implies \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$$ * **分流公式 (Current Divider Rule)**：并联支路中的电流与其电导成正比（或与电阻成反比）。 $$I_k = \frac{G_k}{G_{eq}} I = \frac{1/R_k}{\sum (1/R_k)} I$$ * **两个电阻并联的特例**：$I_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2} I$。 #### 电阻的混联 (Series-Parallel Circuit) * **概念**：电路中既有串联又有并联的连接方式。 * **解题步骤**：先化简局部串、并联支路，逐步向端口推进，直到归结为一个等效电阻。 ### 电阻的星形（Y）与三角形（$\Delta$）连接的等效变换当电路无法通过简单的串并联化简（如桥式电路）时，需使用此变换。 * **$\Delta \to Y$ 变换公式（由大变小）**： $$R_Y = \frac{\Delta \text{形相邻电阻的乘积}}{\Delta \text{形电阻之和}}$$ 例如：$R_1 = \frac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$。 * **$Y \to \Delta$ 变换公式（由小变大）**： $$R_{\Delta} = \frac{Y \text{形电阻两两乘积之和}}{Y \text{形对应不相邻电阻}}$$ 例如：$R_{12} = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3} = R_1 + R_2 + \frac{R_1R_2}{R_3}$。 * **对称情况**：若 $R_Y = R_1 = R_2 = R_3$，则 $R_{\Delta} = 3R_Y$。 ### 实际电源的两种模型及其等效变换实际电源（如电池）不能简单视为理想源，必须考虑其内阻。 * **电压源模型**：由理想电压源 $U_S$ 与内阻 $R_S$ **串联**组成。 * **电流源模型**：由理想电流源 $I_S$ 与内阻 $R_S$ **并联**组成。 * **等效变换条件（连等推导）**：若要两者对外部电路等效，则它们的端口特性方程必须一致： $$U = U_S - R_S I \iff I = \frac{U_S}{R_S} - \frac{U}{R_S}$$ 对照电流源方程 $I = I_S - \frac{U}{R_S}$，可得变换公式： **$$U_S = I_S R_S$$** 且 **$$R_S \text{（电压源内阻）} = R_S \text{（电流源内阻）}$$**。 * **注意事项**： 1. **方向一致性**：理想电流源 $I_S$ 的方向应从理想电压源 $U_S$ 的负极指向正极。 2. **理想源不可变**：理想电压源（内阻为0）和理想电流源（内阻无穷大）之间不能相互变换。 3. **不改变电路结构**：变换后，原电源所在支路之外的电路结构保持不变。 ### 举例与应用 * **例（源变换简化）**：若有一个 $10\text{V}$ 电压源串联 $2\Omega$ 电阻，求其等效电流源模型。 * **解**：$I_S = U_S / R_S = 10\text{V} / 2\Omega = 5\text{A}$，并联内阻仍为 $2\Omega$。 * **例（桥式电路）**：对于复杂的电桥电路，通过将其中一个 $\Delta$ 联结等效变换为 $Y$ 联结，可以使原本复杂的混联结构变成简单的串并联电路，从而轻松求得总等效电阻。 ## 电路的一般分析方法 ### 电路方程的独立性 (Independence of Equations) 在列写电路方程前，必须确定有多少个独立的方程。 * **支路 (b) 与节点 (n)**：电路中通过相同电流的分支称为支路；三条或更多支路的连接点称为节点。 * **独立KCL方程数**：对于具有 $n$ 个节点的电路，只能列出 **$n-1$** 个独立的KCL方程。 * **独立KVL方程数**：对于具有 $b$ 条支路、$n$ 个节点的电路，独立回路数为 **$l = b - (n - 1)$**。 * **网孔 (Mesh)**：平面电路中内部不含支路的回路。网孔数等于独立回路数 $l$。 ### 2b 法 (2b Method) * **概念**：以电路中 $b$ 条支路的所有电流和电压（共 $2b$ 个变量）作为未知量进行求解的方法。 * **方程组成**（共 $2b$ 个）： 1. $n-1$ 个独立KCL方程。 2. $b-(n-1)$ 个独立KVL方程。 3. $b$ 个支路特性方程（VCR，如 $u=Ri$）。 * **应用**：主要用于计算机辅助分析（如SPICE软件），因方程数多，手工计算较少使用。 ### 支路电流法 (Branch Current Method) * **概念**：以各**支路电流**为未知量，直接应用KCL和KVL列出方程组求解的方法。 * **独立方程总数**：$b$ 个。 * **解题步骤** ： 1. 标定各支路电流参考方向和回路绕行方向。 2. 列写 $(n-1)$ 个节点KCL方程。 3. 列写 $b-(n-1)$ 个回路KVL方程。 * **公式形式**： $$\sum R_k I_k = \sum E_k$$ * $R_k$：支路电阻；$I_k$：支路电流；$E_k$：支路电动势。 * **例子**：若电路有2个节点、3条支路，需列 1 个KCL方程和 2 个回路电压方程。 ### 网孔电流法 (Mesh Current Method) * **概念**：以假想的、沿着网孔循环流动的**网孔电流**作为未知量。此方法自动满足KCL，只需列写KVL方程。 * **适用范围**：仅适用于平面电路。方程数量为网孔数 $l=b-(n-1)$。 * **一般形式方程**（以两网孔为例）： $$\begin{cases} R_{11} I_{m1} + R_{12} I_{m2} = U_{S11} \\ R_{21} I_{m1} + R_{22} I_{m2} = U_{S22} \end{cases}$$ * **变量含义与推导**： * **自电阻 ($R_{ii}$)**：网孔 $i$ 中所有电阻之和，恒取**正号**。 * **互电阻 ($R_{ij}$)**：网孔 $i$ 与网孔 $j$ 共有的电阻。若两网孔电流流经此电阻方向相反，取**负号**；若方向相同，取正号（手工计算通常统一设为顺时针，故互阻常为负）。 * **右边项 ($U_{Sii}$)**：网孔 $i$ 中所有电压源电压的代数和。若电压源方向与网孔绕行方向一致取负，相反取正（对应电位升高的方向）。 ### 节点电压法 (Node Voltage Method) * **概念**：以各独立节点对参考节点的电压（**节点电位**）作为未知量。此方法自动满足KVL。 * **适用范围**：支路多、节点少的电路。方程数量为 $n-1$。 * **一般形式方程**（以两节点为例）： $$\begin{cases} G_{11} U_{n1} + G_{12} U_{n2} = I_{S11} \\ G_{21} U_{n1} + G_{22} U_{n2} = I_{S22} \end{cases}$$ * **变量含义与推导**： * **自电导 ($G_{ii}$)**：与节点 $i$ 相连的所有支路电导之和，恒取**正号**。 * **互电导 ($G_{ij}$)**：连接节点 $i$ 与节点 $j$ 的支路电导之和的**负值**（恒取负号）。 * **右边项 ($I_{Sii}$)**：流入节点 $i$ 的所有电流源电流的代数和。**流入取正**，流出取负。 * **计算支路电流**： $$I_{ab} = (V_a - V_b) / R_{ab} = G_{ab}(V_a - V_b)$$ * $V_a, V_b$ 为节点电位，$G_{ab}$ 为支路电导。 ### 含受控源电路的分析 (Controlled Sources) —— 邱关源重点补充 * **处理方法**： 1. 先将受控源看作**独立电源**列写方程。 2. 补充一个**控制量方程**，将受控源的控制量用待求变量（如支路电流或节点电位）表示。 3. 代入原方程组消去控制量后求解。 ## 电路定理 ::: {.callout-important} ## 叠加定理 (Superposition Theorem) 在线性电路中，任一支路的响应 = 各独立电源**单独作用**时响应的**代数和**。 > ⚠️ **叠加定理不适用于功率计算**（功率是电流/电压的平方，非线性）。 ::: ### 叠加定理 (Superposition Theorem) * **概念**：在线性电路中，任一支路的电流或电压都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流或电压的代数和。 * **分量计算规则（置零）**： * **电压源置零**：令 $U_S = 0$，其位置用**短路**替代。 * **电流源置零**：令 $I_S = 0$，其位置用**开路**替代。 * **注意事项**： 1. 叠加定理**不适用于计算功率**，因为功率与电流或电压是平方关系（非线性）。 2. **受控源不能单独作用**，在独立源单独作用时，受控源必须保留在电路中。 * **公式形式**：响应的相量或瞬时值：$Y = \sum a_k X_k$（$a_k$ 为比例常数，$X_k$ 为激励源）。 **功率不满足叠加推导**： $P_R = (I' + I'')^2 R = (I')^2 R + (I'')^2 R + 2I'I''R \neq P' + P''$。 ### 齐性定理 (Homogeneity Theorem) * **概念**：在线性电路中，当所有独立源同时增大或缩小 $K$ 倍时，支路响应（电流或电压）也将同样增大或缩小 $K$ 倍。 * **线性性质**：若电路中只有一个独立源，响应与激励成正比。 ::: {.callout-important} ## 戴维南定理 (Thevenin's Theorem) 任何含独立源的线性二端网络，对外电路均等效为： **理想电压源** $u_{oc}$（开路电压）**串联**等效电阻 $R_{eq}$。 ::: ### 戴维南定理 (Thevenin's Theorem) * **概念**：任何一个含独立源的线性二端（一端口）电阻性网络，对外电路而言，可以用一个**理想电压源**和**电阻的串联**组合来等效替代。 * **等效参数**： * **开路电压 $u_{oc}$**：原二端网络输出端开路时的电压。 * **等效电阻 $R_{eq}$**：将网络内所有独立源置零（电压源短路，电流源开路）后，从端口看进去的输入电阻。 * **求解 $R_{eq}$ 的常用方法**： 1. **电阻串并联化简法**（适用于无受控源电路）。 2. **开路电压短路电流法**：$R_{eq} = \frac{u_{oc}}{i_{sc}}$（$i_{sc}$ 为端口短路电流）。 3. **加压求流法**（外部加受控电源 $u$ 求流入电流 $i$）：$R_{eq} = u/i$。 ::: {.callout-important} ## 诺顿定理 (Norton's Theorem) 任何含独立源的线性二端网络，对外电路均等效为： **理想电流源** $i_{sc}$（短路电流）**并联**等效电阻 $R_{eq}$。 $$u_{oc} = i_{sc} \cdot R_{eq}$$ ::: ### 诺顿定理 (Norton's Theorem) * **概念**：任何一个含独立源的线性二端电阻网络，对外电路而言，可以用一个**理想电流源**和**电导（或电阻）的并联**组合来等效替代。 * **等效参数**： * **短路电流 $i_{sc}$**：原二端网络端口短路时的电流。 * **等效电导 $G_{eq}$**：数值上等于 $1/R_{eq}$。 * **戴维南与诺顿的转换 (连等推导)**：根据实际电源模型的等效变换： **$u_{oc} = i_{sc} \cdot R_{eq} = \frac{i_{sc}}{G_{eq}}$**。 ::: {.callout-tip} ## 最大功率传输定理当 $R_L = R_{eq}$ 时，负载获得最大功率： $$P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$$ ::: ### 最大功率传输定理 (Maximum Power Transfer Theorem) * **概念**：对于一个给定的有源二端网络，当负载电阻 $R_L$ 等于网络的戴维南等效电阻 $R_{eq}$ 时，负载可以获得最大功率。 * **推导过程**：负载功率 $P_L = I^2 R_L = \left( \frac{U_S}{R_{eq} + R_L} \right)^2 R_L$。为了求 $P_L$ 最大值，令 $\frac{dP_L}{dR_L} = 0$： $\frac{d}{dR_L} \left。 * **最大功率公式**： **$P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$**。 * **例子**：若电源开路电压为 $12V$，内阻为 $2\Omega$，当接 $2\Omega$ 负载时功率最大，$P = 12^2 / (4 \times 2) = 18W$。 ### 置换定理 (Substitution Theorem) —— 邱关源补充 * **概念**：如果已知电路中某一支路的电压为 $u_k$、电流为 $i_k$，则该支路可以用电压为 $u_k$ 的独立电压源或电流为 $i_k$ 的独立电流源来替换，而电路其他部分的响应保持不变。 ### 特勒根定理 (Tellegen's Theorem) —— 邱关源补充 * **概念**：对于任何一个具有 $b$ 条支路的电路，在任一时刻 $t$，所有支路电压与电流乘积的代数和恒等于零。 * **公式**：**$\sum_{k=1}^{b} u_k i_k = 0$**。 * **物理意义**：体现了能量守恒定律，即电路中所有元件吸收的功率之和等于发出的功率之和。 ### 互易定理 (Reciprocity Theorem) —— 邱关源补充 * **概念**：在一个仅含线性电阻（无受控源）的二端网络中，如果在端口 1 施加电压源 $U_S$，在端口 2 产生的电流为 $I_2$；那么将同一个电压源 $U_S$ 改在端口 2 施加，在端口 1 产生的电流 $I_1$ 必等于 $I_2$。 ## 电路的对偶性 ### 对偶原理的概念 (Concept of Duality Principle) * **定义**：电路中若存在某一内容（包括结构、定律、定理、元件、变量等），则必然有其对应的对偶内容存在。 * **核心思想**：如果两个电路的方程在数学形式上完全相同，只需将对应的变量和参数进行代换，其中一个电路的结论就可以直接应用于另一个电路。 ### 常见对偶元素对比表根据教材总结，电路中的对偶内容如下表所示： | 范畴 | 元素 A | 对应对偶元素 B | | :--- | :--- | :--- | | **变量** | 电压 $u$ | 电流 $i$ | | **变量** | 电荷 $q$ | 磁通链 $\psi$ | | **元件参数** | 电阻 $R$ | 电导 $G$ | | **元件参数** | 电感 $L$ | 电容 $C$ | | **理想电源** | 电压源 $u_S$ | 电流源 $i_S$ | | **拓扑结构** | 节点 (Node) | 网孔 (Mesh) | | **连接方式** | 串联 (Series) | 并联 (Parallel) | | **基本定律** | 基尔霍夫电流定律 (KCL) | 基尔霍夫电压定律 (KVL) | | **电路定理** | 戴维南定理 (Thevenin) | 诺顿定理 (Norton) | | **电路结构** | 星形连接 (Y) | 三角形连接 ($\Delta$) | ### 元件 VCR 的对偶性 (VCR Duality) 电路元件的伏安特性（VCR）表现出完美的数学对偶。 #### 电阻与电导 * **电阻公式**：$u = R \cdot i$ * **对偶推导**：将 $u \to i$，$R \to G$，$i \to u$，得： **$$i = G \cdot u$$** #### 电感与电容（动态元件） * **电容电流公式**：$i = C \frac{du}{dt}$ * **对偶推导**：将 $i \to u$，$C \to L$，$u \to i$，得： **$$u = L \frac{di}{dt}$$** * **变量含义**：$L$ 为电感量（H），$C$ 为电流量（F），$du/dt$ 和 $di/dt$ 分别为电压和电流随时间的变化率。 ### 电路连接与公式的对偶推导串联电路和并联电路是典型的对偶结构。 #### 阻值与导纳的对偶 (连等推导) * **电阻串联 (图 2-26a)**：各电阻流过同一电流 $i$，根据 KVL 有： $u = u_1 + u_2 + \dots + u_n = R_1 i + R_2 i + \dots + R_n i$ **$$R_{eq} = \sum_{k=1}^{n} R_k$$** * **电导并联 (图 2-26b)**：各支路承受同一电压 $u$，根据 KCL 有： $i = i_1 + i_2 + \dots + i_n = G_1 u + G_2 u + \dots + G_n u$ **$$G_{eq} = \sum_{k=1}^{n} G_k$$** #### 分压公式与分流公式的对偶 * **分压 (Voltage Divider)**： **$$u_k = \frac{R_k}{\sum R} u_S$$** * 含义：串联电路中，某电阻分得的电压与其阻值成正比。 * **分流 (Current Divider)**： **$$i_k = \frac{G_k}{\sum G} i_S$$** * 含义：并联电路中，某支路分得的电流与其电导成正比（或与电阻成反比）。 ### 对偶性应用举例 * **例子**：如果你已经推导出一阶 $RC$ 电路在直流激励下的零状态响应电压公式为 $u_C(t) = U_S(1 - e^{-t/RC})$。 * **应用对偶原理**：无需再次解微分方程，可以直接写出一阶 $RL$ 电路的零状态响应电流公式。 * 代换：$u_C \to i_L$，$U_S \to I_S$，$R \to G$，$C \to L$。 * 得：**$i_L(t) = I_S(1 - e^{-t/GL}) = I_S(1 - e^{-Rt/L})$**。 ### 学习意义吉培荣主编指出，掌握对偶原理具有“**举一反三**”的能力： 1. **简化记忆**：只需记住一套公式，另一套自动生成。 2. **开阔思路**：为复杂电路分析提供新的切入点（如网孔法与节点法的对偶）。 3. **验证结果**：通过对偶关系检查计算逻辑是否自洽。 ## 受控源及含受控源电路的分析 ### 受控源的基本概念 * **定义**：受控源又称非独立源，其输出电压或电流不由自身决定，而是受电路中其他支路的电压或电流控制。 * **结构**：受控源是一个**四端元件**，具有一对输入端（控制端）和一对输出端（受控端）。 * **图形符号**：为了与独立源区别，受控源通常用**菱形**符号表示。 * **物理意义**：它是反映电路内部各支路间相互耦合关系的模型。独立源是电路的“激励”，而受控源只是反映能量的控制与转移，不能独立作为电路的激励源。 ### 四种基本类型的数学模型受控源根据控制量（电压 $u$ 或电流 $i$）和受控量（电压或电流）的不同，分为四类： | 类型 | 名称 | 特性方程（公式） | 参数含义 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | **VCVS** | 电压控制电压源 | $u_2 = \mu u_1$ | $\mu$：电压增益（无量纲） | | **CCVS** | 电流控制电压源 | $u_2 = r_m i_1$ | $r_m$：转移电阻（单位：$\Omega$） | | **VCCS** | 电压控制电流源 | $i_2 = g_m u_1$ | $g_m$：转移电导（单位：$S$） | | **CCCS** | 电流控制电流源 | $i_2 = \beta i_1$ | $\beta$：电流增益（无量纲） | **例子**：三极管工作在放大区时，其集电极电流 $i_C$ 受基极电流 $i_B$ 控制，即 $i_C = \beta i_B$，这可以抽象为一个 **CCCS** 模型。 ### 含受控源电路的一般分析方法分析含受控源电路的要点是：**先将其看作独立电源，再补充控制量方程**。 * **解题步骤**： 1. **视作独立源**：在列写支路电流法、网孔法或节点法方程时，先将受控源看作理想的独立电压源或独立电流源。 2. **列写约束方程**：根据受控源所在的控制支路，列出一个**辅助方程（限制方程）**，将控制量用待求变量（如网孔电流或节点电位）表示出来。 3. **代入并整理**：将辅助方程代入原电路方程组，消去控制量，联立求解。 * **公式推导示例（网孔法）**：若网孔 2 中含有一个受控电压源 $u = r_m i_x$，且控制电流 $i_x = i_{m1} - i_{m2}$。网孔 2 的 KVL 方程原为：$R_{21}i_{m1} + R_{22}i_{m2} = -u$。代入受控关系后得连等推导： **$R_{21}i_{m1} + R_{22}i_{m2} = -r_m(i_{m1} - i_{m2}) = -r_m i_{m1} + r_m i_{m2}$** 整理得：**$(R_{21} + r_m)i_{m1} + (R_{22} - r_m)i_{m2} = 0$**。 ### 受控源电路的等效变换与定理应用 * **等效变换**：受控源可以像独立源一样进行电压源与电流源的互换，但变换过程中必须**保留控制量所在的支路**，且控制量关系不能丢失。 * **叠加定理**：使用叠加定理时，受控源**不能**单独作用，也不能像独立源那样“置零”。在每一个独立源单独作用的子电路中，受控源必须**完整保留**。 * **戴维南/诺顿定理**： * 求解等效电阻 $R_{eq}$ 时，若电路含受控源，通常不能直接用电阻串并联化简。 * **推荐方法**：**外加电源法（加压求流法）**。在端口施加电压 $u$，求流入电流 $i$，则 $R_{eq} = u/i$。 ### 受控源对电路特性的影响 * **电阻特性**：受控源的存在可能使电路的输入电阻或输出电阻出现**零**、甚至**负值**的情况。 * **能量性质**：当等效电阻 $R_i < 0$ 时，说明该含受控源的二端网络不仅不消耗能量，反而向外电路提供能量，这一能量来源于受控源。 * **放大作用**：受控源是实现电压放大或电流放大的理论基础。 ## 非线性电阻电路分析 ### 非线性电路的基本概念 * **定义**：电路中只要含有一个或多个非线性元件，该电路就称为非线性电路。 * **本质区别**：线性电路满足叠加原理，而非线性电路**不满足叠加原理**。 * **建模思想**：若元件在工作范围内非线性程度较轻，可忽略不计而进行线性建模；若非线性特征明显（如二极管），则必须使用本节的方法分析。 ### 非线性电阻元件的分类根据元件伏安特性曲线的形态，通常分为以下三类： | 类型 | 描述 | 特性方程 | 典型例子 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | **电流控制型** | 电压是电流的单值函数，同一电压可能对应多个电流 | | **电压控制型** | 电流是电压的单值函数，同一电流可能对应多个电压 | | **单调型** | 伏安特性严格单调增加或减少，既是压控也是流控 | * **双向性与单向性**：一般的线性电阻是双向性的（与电压极性无关）；而许多非线性电阻（如 p-n 结二极管）具有**单向导电性**，其特性曲线对原点不对称。 ### 静态电阻与动态电阻 (核心公式) 非线性电阻的阻值随工作点变化，需区分两个基本参数： #### 静态电阻 (Static Resistance, $R$) * **概念**：在伏安特性曲线上某一点 $P(U, I)$，其端电压与电流的比值。 * **公式推导**： **$$R = \frac{u}{i} \propto \tan\alpha$$** * **变量含义**：$u, i$ 为工作点处的瞬时电压和电流值；$\alpha$ 为工作点与原点连线与 $i$ 轴的夹角。 * **物理意义**：反映了在该点处元件吸收电能的直流阻力。 #### 动态电阻 (Dynamic Resistance, $r_d$) —— 邱关源重点 * **概念**：在工作点附近，电压微变量与电流微变量的比值，即特性曲线在该点切线的斜率。 * **公式推导**： **$$r_d = \frac{du}{di} \propto \tan\beta$$** * **变量含义**：$du/di$ 是电压对电流的导数；$\beta$ 为工作点处切线与 $i$ 轴的夹角。 * **注意**：静态电阻 $R$ 恒为正，但动态电阻 $r_d$ 在曲线下滑段可能为**负值**（表现为负电阻性质）。 ### 非线性电阻电路的分析方法由于无法直接使用线性叠加，通常采用以下几种方法： #### 解析法 (Analytical Method) * **原理**：根据拓扑约束（KCL、KVL）和元件约束（非线性函数方程）列写方程组求解。 * **例子（例 2-16）**：已知非线性电阻 $u = 2i^3 + 1$，代入含有线性电阻和电源的回路方程： $U_S = RI + u = RI + (2I^3 + 1)$。 * **特点**：解可能**不唯一**。计算结果可能出现多个解（对应不同的物理状态）。 #### 图解法 (Graphical Method) —— **最常用** * **原理**：利用“曲线相交法”寻找**静态工作点 (Q)**。 * **步骤**： 1. 将非线性电阻以外的部分简化为戴维南等效电路（$U_{oc}$ 和 $R_{eq}$）。 2. 在 $u-i$ 平面上画出非线性电阻的伏安特性曲线 $u=f(i)$。 3. 在同一坐标系画出外部电路的**负载线**：**$$u = U_{oc} - R_{eq} i$$**。 4. 两条线的**交点 Q** 的坐标即为电路的解。 #### 分段线性化法与小信号分析法 (补充) * **分段线性化**：将复杂的曲线用多段折线代替，在每一段内按线性电路处理。 * **小信号分析法**：在静态工作点 Q 附近，用动态电阻 $r_d$ 代替非线性电阻，从而将非线性问题转化为线性微量问题。 ### 典型应用示例：倍频作用 * **概念**：当给非线性电阻施加单一频率的正弦电流时，由于 $u$ 与 $i$ 是高次幂关系（如 $u \propto i^3$），输出电压中会出现高次谐波成分。 * **公式演示**：若 $i = I_m \sin\omega t$，根据三角恒等式 $\sin^3\theta = \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin3\theta$，输出电压中会产生 $3\omega$ 的频率成分，这种现象称为“**倍频**”。 # 电路的暂态分析 ## 电容元件与电感元件 ### 电容元件 (Capacitor Element) **概念定义**：电容元件是描述实际电路中电场效应（储存电场能量）的理想模型。 **核心知识点**： * **库伏特性 (Constitutive Relation)**：线性电容存储的电荷量 $q$ 与其两端的电压 $u$ 成正比。 * **公式**：$$q = C u$$ * **变量含义**：$q$ 为电荷量（库仑 C）；$u$ 为端电压（伏特 V）；$C$ 为电容量（法拉 F）。 * **电压电流关系 (VCR) 的微分形式**：在关联参考方向下，电流是电荷随时间的变化率： * **推导**：$$i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(Cu)}{dt} = C\frac{du}{dt}$$ * **物理意义**：电流的大小取决于电压的变化率。若电压恒定（DC），则电流为零，因此电容具有**隔直（隔直流）**作用。 * **电压电流关系 (VCR) 的积分形式**：电压取决于电流的历史积分，体现了电容的**记忆性质**。 * **推导**：$$u(t) = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\xi)d\xi = u(t_0) + \frac{1}{C}\int_{t_0}^{t} i(\xi)d\xi$$ * **变量含义**：$u(t_0)$ 是时刻 $t_0$ 的初始电压，反映了电容过去的能量状态。 * **储能公式**：电容以电场能量的形式储存能量。 * **连等推导**：$$p = ui = u(C\frac{du}{dt}) \implies W_C = \int_{-\infty}^{t} p \, d\xi = \int_{0}^{u} C \nu \, d\nu = \frac{1}{2}Cu^2$$ * **变量含义**：$W_C$ 为电场能量（焦耳 J）。 **重要特性总结**： 1. **电压不能跃变**：若电流 $i$ 为有限值，由 $i = C(du/dt)$ 可知电压 $u$ 必须是连续的。 2. **无源与储能**：电容只充放电而不消耗能量（理想状态下），是无源元件。 3. **例子**：在直流稳态电路中，电容两端电压不再变化，$\frac{du}{dt}=0$，此时电容相当于**开路**。 --- ### 电感元件 (Inductor Element) **概念定义**：电感元件是描述实际电路中磁场效应（储存磁场能量）的理想模型。 **核心知识点**： * **韦安特性 (Constitutive Relation)**：线性电感的磁通链 $\psi$ 与流过的电流 $i$ 成正比。 * **公式**：$$\psi = L i$$ * **变量含义**：$\psi$ 为磁通链（韦伯 Wb）；$i$ 为电流（安培 A）；$L$ 为电感量（亨利 H）。 * **电压电流关系 (VCR) 的微分形式**：根据法拉第电磁感应定律，端电压等于磁通链的变化率。 * **推导**：$$u = \frac{d\psi}{dt} = \frac{d(Li)}{dt} = L\frac{di}{dt}$$ * **物理意义**：电压的大小取决于电流的变化率。若电流恒定（DC），则电压为零，电感相当于**短路**。 * **电压电流关系 (VCR) 的积分形式**：电流取决于电压的历史积分，同样具有**记忆性质**。 * **公式**：$$i(t) = \frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t} u(\xi)d\xi = i(t_0) + \frac{1}{L}\int_{t_0}^{t} u(\xi)d\xi$$ * **变量含义**：$i(t_0)$ 为时刻 $t_0$ 的初始电流。 * **储能公式**：电感以磁场能量的形式储存能量。 * **连等推导**：$$p = ui = (L\frac{di}{dt})i \implies W_L = \int_{-\infty}^{t} p \, d\xi = \int_{0}^{i} L \iota \, d\iota = \frac{1}{2}Li^2$$ * **变量含义**：$W_L$ 为磁场能量（焦耳 J）。 **重要特性总结**： 1. **电流不能跃变**：若电压 $u$ 为有限值，电流 $i$ 必须是连续的。 2. **通直阻交**：在直流电路稳态时，$\frac{di}{dt}=0$，故 $u=0$，电感相当于**短路（一根导线）**。 3. **例子**：当开关断开含大电感的电路时，由于 $i$ 试图在瞬间变为零（$\frac{di}{dt} \to \infty$），会在电感两端产生极高电压（火花），这就是感应电动势的表现。 --- ### 电容与电感特性的对偶性总结 | 特性 | 电容元件 (C) | 电感元件 (L) | | :--- | :--- | :--- | | **定义变量** | 电荷 $q = Cu$ | 磁链 $\psi = Li$ | | **VCR (微分)** | $i = C \frac{du}{dt}$ | $u = L \frac{di}{dt}$ | | **DC 稳态** | 相当于开路 (断路) | 相当于短路 (导线) | | **不能跃变量** | 电压 $u$ | 电流 $i$ | | **储能形式** | 电场能 $W_C = \frac{1}{2}Cu^2$ | 磁场能 $W_L = \frac{1}{2}Li^2$ | 这些概念是后续学习**换路定理**以及**暂态分析**（一阶电路和二阶电路）的理论基石。 ## 换路定理及电路的初始值 ### 暂态过程与换路的概念 * **暂态过程 (Transient Process)**：电路从一个稳定状态转变到另一个稳定状态所经历的中间过程，也称为过渡过程。 * **换路 (Switching)**：电路状态的改变，包括支路的接入、断开、短路以及电路参数或电源的突然变化。 * **时间参考点**：通常规定换路发生在 **$t = 0$** 时刻。 * **$0_-$ 时刻**：换路前的一瞬间（换路还未进行）。 * **$0_+$ 时刻**：换路后的一瞬间（换路已经结束）。 ::: {.callout-important} ## 换路定理 (Switching Theorem) 能量不能跃变，因此： | 元件 | 不能跃变的量 | 公式 | |:--|:--|:--| | 电容 | 电压 $u_C$ | $u_C(0_+) = u_C(0_-)$ | | 电感 | 电流 $i_L$ | $i_L(0_+) = i_L(0_-)$ | ::: ### 换路定理 (Switching Theorem) 换路定理是确定动态电路初始值的理论依据，其本质是能量不能跃变。 #### 电容元件的换路定理 * **内容**：若换路时电容电流 $i_C$ 为有限值，则换路前后**电容电压保持不变**。 * **公式推导**：根据电容的伏安关系积分形式 $u_C(t) = u_C(t_0) + \frac{1}{C}\int_{t_0}^{t} i_C(\xi)d\xi$ ： **$$u_C(0_+) = u_C(0_-) + \frac{1}{C}\int_{0_-}^{0_+} i_C(\xi)d\xi = u_C(0_-) + 0 = u_C(0_-)$$** * **变量含义**：$u_C(0_+)$ 为换路后瞬间电压（V），$u_C(0_-)$ 为换路前瞬间电压（V），$i_C$ 为电容电流（A）。 * **物理意义**：电容储存的是电场能量 $W_C = \frac{1}{2}Cu^2$，能量不能在零时间内突变，故电压必须连续。 #### 电感元件的换路定理 * **内容**：若换路时电感电压 $u_L$ 为有限值，则换路前后**电感电流保持不变**。 * **公式推导**：根据电感电流的积分形式 $i_L(t) = i_L(t_0) + \frac{1}{L}\int_{t_0}^{t} u_L(\xi)d\xi$ ： **$$i_L(0_+) = i_L(0_-) + \frac{1}{L}\int_{0_-}^{0_+} u_L(\xi)d\xi = i_L(0_-) + 0 = i_L(0_-)$$** * **变量含义**：$i_L(0_+)$ 为换路后瞬间电流（A），$i_L(0_-)$ 为换路前瞬间电流（A），$u_L$ 为电感电压（V）。 * **物理意义**：电感储存的是磁场能量 $W_L = \frac{1}{2}Li^2$，能量不能突变，故电流必须连续。 ### 电路初始值的确定步骤 (Determination of Initial Values) 初始值是指电路中变量在 $t = 0_+$ 时刻的数值。 1. **确定 $0_-$ 状态**：画出 **$t = 0_-$ 时刻的等效电路**（此时电路处于换路前的稳态）。 * **电容元件相当于开路，电感元件相当于短路**。 * 计算出 $u_C(0_-)$ 和 $i_L(0_-)$。 2. **应用换路定理**：直接得出 **$u_C(0_+) = u_C(0_-)$** 和 **$i_L(0_+) = i_L(0_-)$**。 3. **确定 $0_+$ 状态**：画出 **$t = 0_+$ 时刻的等效电路**。 * **电容用值为 $u_C(0_+)$ 的理想电压源代替**。 * **电感用值为 $i_L(0_+)$ 的理想电流源代替**。 * 电源取换路后的瞬时值。 4. **求解非独立变量**：在 $0_+$ 等效电路中应用 KCL、KVL 或欧姆定律，解出其他支路电流或电压的初始值（如 $i_C(0_+), u_L(0_+)$ 等）。 ### 关键点补充 (邱关源/秦曾煌重点) * **突变性**：换路定理**仅限定**了电容电压 $u_C$ 和电感电流 $i_L$ 的连续性。 * **特殊情况**：如果换路引起电容电压或电感电流的强迫性跃变（如理想电压源与电容并联切换），换路定理将不再适用（此时涉及冲激函数，邱关源教材中有详细讨论）。 ### 举例说明（参考例 3-1） **已知条件**：电路如图 3-6(a) 所示，含有 $12\text{V}$ 直流源、$4\Omega$ 电阻 $R_1$、电容 $C$ 和开关 K。换路前开关 K 处于断开状态且电路已达稳态。在 $t = 0$ 时闭合开关 K，求电容电压和支路电流的初始值。 **解题过程**： 1. **求 $0_-$ 状态**：开关断开且稳态，电容相当于开路。得：**$u_C(0_-) = 12\text{V}$**。 2. **应用换路定理**：得：**$u_C(0_+) = u_C(0_-) = 12\text{V}$**。 3. **求 $0_+$ 状态**：闭合开关，电容用 $12\text{V}$ 电压源替代（极性与 $u_C$ 一致）。此时 $R_1$ 两端电压为 $U_S - u_C(0_+) = 12 - 12 = 0\text{V}$。计算支路 $R_1$ 的初始电流：**$i_1(0_+) = 0/4 = 0\text{A}$**。计算流过 $R_L(2\Omega)$ 的初始电流：**$i_R(0_+) = u_C(0_+) / R_L = 12 / 2 = 6\text{A}$**。根据 KCL，电容电流初始值：**$i_C(0_+) = i_1(0_+) - i_R(0_+) = 0 - 6 = -6\text{A}$**。 **结论**：可以看到，$i_C$ 从换路前的 $0\text{A}$ 突变为 $-6\text{A}$，发生了跃变。 ## RC电路的暂态响应 ### 暂态响应的基本概念 * **暂态过程**：电路从一个稳态转变到另一个稳态所经历的中间过程。 * **激励与响应**：电源或信号源的输入称为**激励**，由此在电路中产生的电压和电流称为**响应**。 * **响应的分类**： 1. **零输入响应 (ZIR)**：无外加激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应。 2. **零状态响应 (ZSR)**：初始储能为零，仅由外加激励引起的响应。 3. **全响应**：初始储能不为零，且有外加激励时产生的响应。 ### RC电路的时间常数 ($\tau$) —— **核心参数** * **定义**：反映暂态过程进行快慢的物理量。 * **公式**： **$$\tau = RC$$** * **变量含义**：$R$ 为电阻（$\Omega$），$C$ 为电容（$F$），$\tau$ 的单位为秒（$s$）。 * **物理意义**：$\tau$ 越大，过渡过程越长；$\tau$ 越小，过渡过程越快。 --- ### RC电路的零输入响应 (放电过程) **概念**：电容 $C$ 原已充电至电压 $U_0$，在 $t=0$ 时通过电阻 $R$ 放电。 * **微分方程推导**：根据 KVL 有 $u_R + u_C = 0$。代入元件约束 $u_R = Ri$ 和 $i = C\frac{du_C}{dt}$（此处 $i$ 沿 $u_C$ 降低方向）： $$Ri + u_C = R(C\frac{du_C}{dt}) + u_C = 0 \implies RC\frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$。 * **电压公式**： **$$u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau} \quad (t \ge 0)$$**。 * **电流公式**： $$i(t) = -C\frac{du_C}{dt} = \frac{U_0}{R} e^{-t/\tau} \quad (t \ge 0)$$。 * **能量转化**：电容储存的能量最终全部被电阻消耗并转化为热能：$W_R = \frac{1}{2}CU_0^2$。 --- ### RC电路的零状态响应 (充电过程) **概念**：未储能的电容（$u_C(0_-)=0$）接通直流电源 $U_S$ 进行充电。 * **微分方程推导**：根据 KVL 有 $u_R + u_C = U_S$。 $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = U_S$$。 * **电压公式**： **$$u_C(t) = U_S(1 - e^{-t/\tau}) \quad (t \ge 0)$$**。 * **分量分析**：$U_S$ 为稳态分量（强制分量），$-U_S e^{-t/\tau}$ 为暂态分量（自由分量）。 * **电流公式**： **$$i(t) = \frac{U_S}{R} e^{-t/\tau} \quad (t \ge 0)$$**。 * **物理特性**：充电开始瞬间（$t=0_+$），电容相当于**短路**（$u_C=0$）；稳态时（$t \to \infty$），电容相当于**开路**（$i=0$）。 --- ### RC电路的全响应与三要素法 **概念**：全响应可视为零输入响应与零状态响应的叠加。 * **通用公式（三要素法）**：对于一阶电路，任一变量（电流或电压）$f(t)$ 的响应均可直接写为： **$$f(t) = f(\infty) +。 * **三要素含义**： 1. **初始值 $f(0_+)$**：由换路定理及 $0_+$ 等效电路求得。 2. **稳态值 $f(\infty)$**：换路后电路达到新稳态时的值。 3. **时间常数 $\tau$**：$\tau = R_{eq}C$，其中 $R_{eq}$ 是电容两端的戴维南等效电阻。 --- ### 应用实例：微分电路与积分电路在脉冲技术中，利用 $RC$ 电路实现波形变换。 * **RC微分电路**： * **条件**：从电阻 $R$ 输出，且 **$\tau \ll t_p$**（脉宽）。 * **原理**：输出电压 $u_o \approx RC\frac{du_i}{dt}$，即将矩形波变为尖脉冲。 * **RC积分电路**： * **条件**：从电容 $C$ 输出，且 **$\tau \gg t_p$**。 * **原理**：输出电压 $u_o \approx \frac{1}{RC}\int u_i dt$，即将矩形波变为锯齿波。 ### 举例说明（参考例 3-4） **已知条件**：$U=10V$，$R=1k\Omega$，$C_1=100pF$，$C_2=400pF$ 串联。换路前电压为零。求合闸后 $C_2$ 的电压 $u_{C2}$。 **解题思路**： 1. **求 $\tau$**：等效电容 $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 80pF$。$\tau = R C_{eq} = 10^3 \times 80 \times 10^{-12} = 0.08\mu s$。 2. **求初始值**：$u_{C2}(0_+) = 0V$。 3. **求稳态值**：稳态时 $u_{C2}(\infty) = \frac{C_1}{C_1 + C_2} U = \frac{100}{500} \times 10 = 2V$（电容分压规律）。 4. **代入三要素公式**：$u_{C2}(t) = 2 + (0 - 2)e^{-t/0.08\mu s} = 2(1 - e^{-12.5 \times 10^6 t}) V$。 ## 一阶电路求解的三要素法 ### 一阶电路的基本概念 * **定义**：电路中只含有一个储能元件（电容或电感），或者可以等效为一个储能元件的线性电路。 * **数学特征**：描述该类电路的方程是一阶线性常系数微分方程。 * **适用范围**：三要素法适用于在**直流激励**（恒定电压源或电流源）作用下一阶线性电路的零输入响应、零状态响应和全响应的求解。 ::: {.callout-important} ## 三要素法（一阶电路通解） $$f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)]\, e^{-t/\tau}, \quad t \geq 0$$ 三要素：**初始值** $f(0_+)$、**稳态值** $f(\infty)$、**时间常数** $\tau$。 ::: ### 三要素法的核心公式任何变量 $f(t)$（包括电压或电流）随时间变化的通用公式为： **$$f(t) = f(\infty) + * **变量含义**： * **$f(t)$**：待求的响应随时间变化的函数。 * **$f(0_+)$**：响应的**初始值**，即换路后 $t=0_+$ 瞬间的数值。 * **$f(\infty)$**：响应的**稳态值**，即换路后电路达到新稳态时的数值。 * **$\tau$**：电路的**时间常数**，反映暂态过程进行的快慢。 ### 公式推导（连等式简单推导）一阶线性微分方程的通解由**稳态分量（特解）**和**暂态分量（齐次方程通解）**两部分组成： 1. 设响应通式为：$f(t) = f_{\text{稳态}} + f_{\text{暂态}} = f(\infty) + Ae^{-t/\tau}$。 2. 在 $t=0_+$ 时，代入初始条件： **$$f(0_+) = f(\infty) + A e^0 = f(\infty) + A$$**。 3. 由此求得积分常数：**$$A = f(0_+) - f(\infty)$$**。 4. 将 $A$ 代回通式，得：**$$f(t) = f(\infty) +。 ### 确定“三要素”的具体步骤根据资料，确定三要素的方法归纳如下： * **（1）初始值 $f(0_+)$ 的确定**： * 利用**换路定理**：$u_C(0_+) = u_C(0_-)$ 或 $i_L(0_+) = i_L(0_-)$。 * 画出 **$0_+$ 等效电路**：将电容看作值为 $u_C(0_+)$ 的电压源，电感看作值为 $i_L(0_+)$ 的电流源，其余电阻和源保持不变。 * 在 $0_+$ 等效电路中解出所需的待求量 $f(0_+)$。 * **（2）稳态值 $f(\infty)$ 的确定**： * 画出 **$t \to \infty$ 时的等效电路**：在直流激励下，电路进入稳态，**电容相当于开路，电感相当于短路**。 * 在这个纯电阻电路中求出 $f(\infty)$。 * **（3）时间常数 $\tau$ 的确定**： * **$RC$ 电路**：$\tau = R_{eq}C$；**$RL$ 电路**：$\tau = L / R_{eq}$。 * **$R_{eq}$ 的含义**：将储能元件断开，从断开处看进去的**戴维南等效电阻**（此时电路中所有独立源应置零，即电压源短路、电流源开路）。 ### 具体举例（参考例 3-4） **已知条件**：如图 3-13(a)，$U=10V$，$R=1k\Omega$，$C_1=100pF$ 和 $C_2=400pF$ 串联。 **求解过程**： 1. **求 $\tau$**：等效电容 $C = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2} = 80pF$。$\tau = RC = 10^3 \times 80 \times 10^{-12} = 0.08\mu s$。 2. **求初始值 $u_{C2}(0_+)$**：根据换路定理，电容电压不能跃变，$u_{C2}(0_+) = u_{C2}(0_-) = 0V$。 3. **求稳态值 $u_{C2}(\infty)$**：稳态时，电容串联分压，根据分压公式 $u_{C2}(\infty) = \frac{C_1}{C_1+C_2} U = \frac{100}{500} \times 10 = 2V$。 4. **代入三要素公式**： **$$u_{C2}(t) = 2 + (0 - 2)e^{-t/0.08\mu s} = 2(1 - e^{-12.5 \times 10^6 t}) V \quad (t \ge 0)$$**。 ### 特殊说明 * **正弦信号激励**：如果激励源是正弦量，稳态值 $f(\infty)$ 将不再是常数，而是对应电路方程的正弦稳态解（特解）$f'(t)$。 * **响应曲线**：一阶电路的响应均按指数规律变化，呈现增长或衰减的趋势。 ## RL电路的暂态响应 ### RL 电路的时间常数 ($\tau$) —— **核心参数** 时间常数反映了 RL 电路暂态过程进行的快慢。 * **公式**： **$$\tau = \frac{L}{R}$$** * **变量含义**： * **$L$**：电感量，单位为亨利（H）。 * **$R$**：电阻值，单位为欧姆（$\Omega$）。 * **$\tau$**：时间常数，单位为秒（s）。 * **物理意义**：$\tau$ 越大，电流达到稳态所需的时间越长；当 $t = 5\tau$ 时，通常认为暂态过程结束。 --- ### RL 电路的零输入响应 (Magnetic Energy Release) **概念**：电路无外加激励，仅由电感元件的初始储能（初始电流 $I_0$）引起的响应。 * **微分方程推导**：根据 KVL，闭合回路中 $u_R + u_L = 0$。代入元件约束 $u_R = Ri$ 和 $u_L = L \frac{di}{dt}$： **$$Ri + L \frac{di}{dt} = 0 \implies \frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = 0$$** * **响应公式**： 1. **电流响应**：**$i(t) = I_0 e^{-t/\tau} = i(0_+) e^{-t/\tau}$**。 2. **电阻电压**：$u_R(t) = Ri = RI_0 e^{-t/\tau}$。 3. **电感电压**：$u_L(t) = -u_R = -RI_0 e^{-t/\tau}$。 * **能量转化**：电感储存的磁场能量全部被电阻消耗并转化为热能。 --- ### RL 电路的零状态响应 (Magnetic Energy Storage) **概念**：初始电流为零的电感在 $t=0$ 时接通恒定电压源 $U$ 引起的响应。 * **微分方程推导**：根据 KVL 有 $Ri + L \frac{di}{dt} = U$。 * **响应公式**： 1. **电流响应**：**$i(t) = \frac{U}{R}(1 - e^{-t/\tau}) = i(\infty)(1 - e^{-t/\tau})$**。 2. **电阻电压**：$u_R(t) = U(1 - e^{-t/\tau})$。 3. **电感电压**：$u_L(t) = L \frac{di}{dt} = U e^{-t/\tau}$。 * **物理特性**：在换路瞬间（$t=0_+$），由于电流不能跃变，$i(0_+)=0$，电感相当于**开路**；稳态时（$t \to \infty$），$u_L=0$，电感相当于**短路**。 --- ### RL 电路的全响应与三要素法 **概念**：初始电流不为零且有外加激励时的响应，可看作零输入响应与零状态响应的叠加。 * **三要素通用公式**： **$$f(t) = f(\infty) +。 * **求解步骤**： 1. **求初始值 $f(0_+)$**：利用换路定理 $i_L(0_+) = i_L(0_-)$。 2. **求稳态值 $f(\infty)$**：换路后电路达到新稳态，电感视为短路。 3. **求时间常数 $\tau$**：$\tau = L / R_{eq}$，其中 $R_{eq}$ 是电感两端的戴维南等效电阻。 --- ### 举例说明（参考例 3-5） **已知条件**：电路中 $U=16V$，$R_1=2\Omega$，$R_2=4\Omega$，$R_3=3\Omega$，$L=3H$。开关 K 从位置 1（稳态）切换到位置 2。求换路后的电感电流。 **解题过程**： 1. **求初始值**：换路前稳态，电感短路，通过分流求得 $i_L(0_-) = 4/3 A$。根据换路定理：**$i_L(0_+) = 4/3 A$**。 2. **求稳态值**：换路后接入位置 2，由于是零输入响应（无新激励），**$i_L(\infty) = 0$**。 3. **求时间常数**：从电感两端看进去的等效电阻 $R_{eq} = 6\Omega$。 **$\tau = L / R_{eq} = 3 / 6 = 0.5 s$**。 4. **写出表达式**： **$$i_L(t) = 0 + (4/3 - 0) e^{-t/0.5} = \frac{4}{3} e^{-2t} A$$**。 --- ### 重要提示与对比 * **电流连续性**：RL 电路中，**电感电流 $i_L$ 不能跃变**，但电感两端的电压 $u_L$ 在换路瞬间可以发生突变。 * **能量形式**：RC 电路储存电场能 ($1/2 Cu^2$)，而 RL 电路储存磁场能 (**$1/2 Li^2$**)。 * **直流稳态**：在直流激励达到稳态后，电容相当于开路，而**电感相当于短路**。 # 正弦交流电路 ## 正弦交流电的基本概念 ### 正弦交流电的定义 * **概念**：电路中电压、电流的大小和方向均随时间按**正弦规律**周期性变化的交流电，称为正弦交流电。 * **正弦稳态电路**：在线性电路中，若激励源（电压或电流源）是正弦量，当电路达到稳定状态时，电路中的响应也是与激励源**同频率**的正弦量。 * **优势**：正弦交流电易于产生、传输和变换（利用变压器），且波形平滑，运行稳定，不易产生危险的尖峰电压。 ### 正弦量的三要素正弦量的瞬时值由**幅值、角频率、初相位**这三个参数唯一确定，故称之为“三要素”。 #### 幅值（振幅/最大值, Amplitude/Maximum Value） * **概念**：正弦量在一个周期内出现的最大的瞬时值，反映了信号变化的幅度强弱。 * **符号与单位**：用大写字母加下标 $m$ 表示，如 $U_m$、$I_m$、$E_m$（单位：V 或 A）。 #### 频率与角频率 (Frequency and Angular Frequency) * **周期 ($T$)**：交流电完成一次完整循环所需的时间。单位：秒（s）。 * **频率 ($f$)**：单位时间内交流电完成循环的次数。单位：赫兹（Hz）。 * **角频率 ($\omega$)**：正弦量相位随时间变化的角速度（或单位时间内变化的弧度数）。单位：弧度/秒（rad/s）。 * **公式推导（连等式）**：由于正弦量循环一周经过 $2\pi$ 弧度，所需时间为 $T$： $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$。 * **例子**：我国电力系统的工频为 $f = 50\text{Hz}$，对应的周期 $T = 0.02\text{s}$，角频率 $\omega = 2 \times 3.14 \times 50 \approx 314\text{rad/s}$。 #### 相位与初相位 (Phase and Initial Phase) * **相位 ($\omega t + \psi$)**：反映正弦量随时间变化的进程（即变化到哪一个角度）。 * **初相位 ($\psi$)**：$t=0$ 时刻的相位角，简称初相。它决定了正弦波在计时起点的位置。 * **瞬时值表达式（以电流为例）**： $$i = I_m \sin(\omega t + \psi_i)$$ * $i$：电流瞬时值（单位：A）； * $I_m$：幅值（单位：A）； * $\omega$：角频率（单位：rad/s）； * $\psi_i$：初相位（单位：度或弧度）。 ::: {.callout-tip} ## 有效值与峰值关系（正弦量） $$U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707\, U_m, \quad I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$$ ::: ### 有效值 (Effective Value/RMS Value) 这是衡量交流电大小最重要的一种工程指标。 * **定义（热效应等效原则）**：让交流电 $i$ 与直流电 $I$ 分别通过相同的电阻 $R$，若在一个周期 $T$ 内产生的**热量相等**，则该直流电的数值 $I$ 即为交流电的有效值。 * **公式推导（平方平均根形式）**：交流电产生热量 $Q_{AC} = \int_0^T i^2 R \, dt$；直流电产生热量 $Q_{DC} = I^2 R T$。令 $Q_{AC} = Q_{DC} \implies I^2 R T = \int_0^T i^2 R \, dt$。消去 $R$ 得：**$I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$**。 * **正弦波的特定关系**：对于正弦量，通过积分计算可得： $$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_m \quad \text{且} \quad U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 U_m$$。 * **例子**：家用照明电压 220V 是**有效值**，其最高瞬间的电压幅值约为 $220 \times 1.414 \approx 311V$。 ### 相位差 (Phase Difference) * **概念**：两个**同频率**正弦量初相位之差，反映了它们在时间上先后到达波峰或零点的关系。 * **公式**：设 $u = U_m \sin(\omega t + \psi_u)$，$i = I_m \sin(\omega t + \psi_i)$，则相位差为： $$\phi = \psi_u - \psi_i$$。 * **状态判定**： 1. 若 $\phi > 0$：电压**超前**电流（或电流滞后电压）。 2. 若 $\phi < 0$：电压**滞后**电流（或电流超前电压）。 3. 若 $\phi = 0$：两者**同相**。 4. 若 $\phi = \pm 180^\circ$：两者**反相**。 ### 学习注意事项 * **符号规范**：瞬时值用小写字母（$u, i, e$）；幅值用大写加下标 $m$（$U_m, I_m$）；有效值用大写字母（$U, I$）。工程中如无特殊说明，提到的数值（如 380V）均指有效值。 * **相位计算**：计算相位差时，必须保证两个正弦量具有**相同的频率**，且写成**统一的函数形式**（同为 sin 或同为 cos）及**统一的正负号**。 ## 正弦量的相量表示 ### 引入相量法的背景与意义 * **背景**：在正弦稳态电路中，电压和电流都是同频率的正弦量。 * **概念**：相量法利用复数来表示正弦量。 * **意义**：使电路的微分方程变为复数代数方程，大大简化了分析过程。 ### 数学基础：复数的四种表示形式复数 $A$ 在复平面上可以用一个带有箭头的有向线段来表示： 1. **代数式**：$A = a + jb$（$a$ 为实部，$b$ 为虚部，$j = \sqrt{-1}$ 是虚数单位）。 2. **三角函数式**：$A = r(\cos \psi + j\sin \psi)$（$r$ 为模，$\psi$ 为辐角）。 3. **指数式**：$A = re^{j\psi}$。 4. **极坐标式**：$A = r\angle\psi$。 **复数运算规则** ： * **加减法**：适合**代数式**。实部与实部加减，虚部与虚部加减。 * **乘除法**：适合**极坐标式**。乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。 ### 正弦量的相量定义与推导相量的本质是基于**欧拉公式（Euler's Formula）**：$e^{j\theta} = \cos \theta + j\sin \theta$。 **连等式推导（以电流为例）** ：设正弦电流瞬时值为 $i(t) = \sqrt{2}I\cos(\omega t + \psi_i)$，根据欧拉公式，它可以看作是一个复指数函数的实部： $$i(t) = \text{Re}$$ 其中，复常数 $I e^{j\psi_i}$ 包含了正弦量的两个要素（有效值和初相位），定义为**相量**： $$\dot{I} = Ie^{j\psi_i} = I\angle\psi_i$$ **变量含义** ： * $\dot{I}$：**电流有效值相量**（符号上方的“·”表示相量）。 * $I$：正弦电流的**有效值**（相量的模）。 * $\psi_i$：正弦电流的**初相位**（相量的幅角）。 * $I_m$：若模取最大值，则称为**最大值相量**，记作 $\dot{I}_m$。 ### 相量运算的性质（微积分变换）相量表示法最强大的特性在于它能将时域的变换对应为复数的运算： * **微分性质**：时域中对时间求导 $\frac{di}{dt}$，在相量域中对应**乘以 $j\omega$**。 * 推导：$\frac{d}{dt}(I_m e^{j(\omega t + \psi)}) = j\omega(I_m e^{j(\omega t + \psi)})$。 * **积分性质**：时域中对时间求积分 $\int i dt$，在相量域中对应**除以 $j\omega$**。 ### 相量图 (Phasor Diagram) * **概念**：在复平面上，将电压、电流相量画在同一图上，反映各正弦量之间的大小和相位关系。 * **例子**：若电压 $\dot{U} = 10\angle60^\circ \text{V}$，电流 $\dot{I} = 5\angle30^\circ \text{A}$，则电压超前电流 $30^\circ$。 ### 应用举例（结合例 4-3） **已知**：$i_1 = 10\sqrt{2}\cos(314t + 60^\circ) \text{A}$，$i_2 = 22\sqrt{2}\cos(314t - 150^\circ) \text{A}$，求 $i_1 + i_2$。 **解题步骤**： 1. **写出对应的相量**： $\dot{I}_1 = 10\angle60^\circ \text{A} = (5 + j8.66) \text{A}$ $\dot{I}_2 = 22\angle-150^\circ \text{A} = (-19.05 - j11) \text{A}$ 2. **相量加法（代数式）**： $\dot{I} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2 = (5 - 19.05) + j(8.66 - 11) = -14.05 - j2.34 \text{A}$ 3. **转回极坐标形式**： $\dot{I} \approx 14.24\angle-170.54^\circ \text{A}$ 4. **写回瞬时值表达式**： $i = 14.24\sqrt{2}\cos(314t - 170.54^\circ) \text{A}$。 ### 注意事项 * **同频率前提**：只有**相同频率**的正弦量才能画在同一个相量图中并进行相量加减运算。 * **非等式关系**：相量只是正弦量的数学表示，**不等于**正弦量。不能写成 $i = \dot{I}$。 * **有效值约定**：实际工程中，若无特殊说明，相量通常默认指**有效值相量**。 ## 电路拓扑约束和元件约束的相量形式 ### 电路拓扑约束的相量形式 (KCL 和 KVL) 在正弦稳态电路中，由于同一电路中所有支路的电压和电流都是**同频率**的正弦量，基尔霍夫定律在相量域内依然成立。 #### 基尔霍夫电流定律 (KCL) 的相量形式 * **概念**：对于电路中任何一个节点或闭合面，流入或流出该节点的所有电流**相量**的代数和恒等于零。 * **公式**： $$\sum \dot{I} = 0$$ * **变量含义**：$\dot{I}$ 为支路电流的有效值相量（单位：$A$）。 #### 基尔霍夫电压定律 (KVL) 的相量形式 * **概念**：对于电路中任何一个回路，沿绕行方向各段支路电压**相量**的代数和恒等于零。 * **公式**： $$\sum \dot{U} = 0$$ * **变量含义**：$\dot{U}$ 为支路电压的有效值相量（单位：$V$）。 --- ### 元件约束 (VCR) 的相量形式元件约束即元件的伏安特性。在相量域中，电阻、电感和电容的电压与电流相量之间呈现线性代数关系。 #### 电阻元件 (R) * **时域关系**：$u = Ri$。 * **相量形式**： **$$\dot{U} = R\dot{I}$$** * **相位关系**：电压相量与电流相量**同相**（相位差 $\phi = 0$）。 * **变量含义**：$R$ 为电阻（单位：$\Omega$）。 #### 电感元件 (L) * **时域关系**：$u = L \frac{di}{dt}$。 * **相量形式推导（连等式）**：根据相量的微分性质，时域求导 $\frac{d}{dt}$ 对应相量域乘以 $j\omega$： $$\dot{U} = L \cdot (j\omega \dot{I}) = j(\omega L) \dot{I} = jX_L \dot{I}$$ * **感抗 ($X_L$)**：$X_L = \omega L = 2\pi fL$。它反映了电感对交流电的阻碍作用。 * **相位关系**：电压**超前**电流 $90^\circ$（即 $\dot{U}$ 在复平面上领先 $\dot{I}$ 一个 $j$ 的位置）。 * **变量含义**：$L$ 为电感（$H$），$\omega$ 为角频率（$rad/s$），$j$ 为虚数单位。 #### 电容元件 (C) * **时域关系**：$i = C \frac{du}{dt}$。 * **相量形式推导（连等式）**： $$\dot{I} = C \cdot (j\omega \dot{U}) \implies \dot{U} = \frac{1}{j\omega C} \dot{I} = -j \frac{1}{\omega C} \dot{I} = -jX_C \dot{I}$$ * **容抗 ($X_C$)**：$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$。它反映了电容对交流电的阻碍作用。 * **相位关系**：电压**滞后**电流 $90^\circ$。 * **变量含义**：$C$ 为电容（$F$），$X_C$ 为容抗（$\Omega$）。 --- ### 核心概念对比表 | 元件 | 伏安特性 (VCR) | 阻抗 ($Z$) | 相位关系 ($\phi = \psi_u - \psi_i$) | | :--- | :--- | :--- | :--- | | **电阻** | $\dot{U} = R\dot{I}$ | $R$ | $0^\circ$ (同相) | | **电感** | $\dot{U} = jX_L\dot{I}$ | $j\omega L$ | $+90^\circ$ (电压超前) | | **电容** | $\dot{U} = -jX_C\dot{I}$ | $1/(j\omega C)$ | $-90^\circ$ (电压滞后) | --- ### 知识点总结与应用例子 * **统一性**：引入相量形式后，交流电路的分析在形式上与直流电路完全一致，欧姆定律和基尔霍夫定律依然有效，只是计算对象变成了**复数**。 * **计算例子（结合例 4-8）**：在含有已知电压源 $\dot{U}_S$、电阻、电感和电容的复杂电路中，可以通过将所有元件转换为其对应的**复阻抗**（如 $j\omega L$ 或 $-j/\omega C$），然后应用 KCL 和 KVL 列出相量方程组进行求解。 ## 阻抗和导纳及其串并联 ::: {.callout-important} ## 复阻抗 $$Z = R + jX = |Z|\angle\varphi_Z, \quad |Z| = \sqrt{R^2+X^2}, \quad \varphi_Z = \arctan\frac{X}{R}$$ - 感性：$X_L = \omega L > 0$；容性：$X_C = -\dfrac{1}{\omega C} < 0$ ::: ### 复阻抗 (Complex Impedance, $Z$) **概念**：在正弦稳态电路中，端口电压相量 $\dot{U}$ 与电流相量 $\dot{I}$ 的比值定义为该一端口网络的阻抗。它反映了电路对交流电的总阻碍作用。 * **定义公式与极坐标形式**： **$$Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{U \angle \psi_u}{I \angle \psi_i} = \frac{U}{I} \angle (\psi_u - \psi_i) = |Z| \angle \phi$$** * **$|Z|$**：阻抗模，单位为欧姆 ($\Omega$)。表示电压与电流有效值的比值。 * **$\phi$**：阻抗角（相位差）。$\phi = \psi_u - \psi_i$。若 $\phi > 0$ 电路呈感性；$\phi < 0$ 呈容性；$\phi = 0$ 呈阻性。 * **代数形式（直角坐标形式）**： **$$Z = R + jX$$** * **$R$**：电阻分量（实部）。 * **$X$**：电抗分量（虚部）。在 $RLC$ 串联电路中，$X = X_L - X_C = \omega L - \frac{1}{\omega C}$。 * **阻抗三角形关系**：由勾股定理可得：**$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$**；阻抗角 **$\phi = \arctan(X/R)$**。 --- ### 复导纳 (Complex Admittance, $Y$) **概念**：复阻抗的倒数称为复导纳。它反映了电路导通交流电的能力。 * **定义公式**： **$$Y = \frac{1}{Z} = \frac{\dot{I}}{\dot{U}} = |Y| \angle \phi_y$$** * **$|Y|$**：导纳模，单位为西门子 ($S$)。 * **$\phi_y$**：导纳角。$\phi_y = -\phi$。 * **代数形式**： **$$Y = G + jB$$** * **$G$**：等效电导（实部）。 * **$B$**：等效电纳（虚部）。 --- ### 阻抗与导纳的等值互换 (核心推导) 通过复数代数运算，可以将串联模型 ($R, X$) 转换为并联模型 ($G, B$)。 * **连等式推导**： $$Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX} = \frac{R - jX}{(R + jX)(R - jX)} = \frac{R - jX}{R^2 + X^2} = \frac{R}{R^2 + X^2} - j \frac{X}{R^2 + X^2}$$ * **对应关系**： * **$G = \frac{R}{R^2 + X^2} = \frac{R}{|Z|^2}$** * **$B = -\frac{X}{R^2 + X^2} = -\frac{X}{|Z|^2}$** * **注意**：邱关源教材提醒，通常 $G \neq 1/R$ 且 $B \neq 1/X$，只有在纯电阻或纯电抗电路中才成立。 --- ### 阻抗、导纳的串联与并联交流电路的连接规则在形式上与直流电阻电路完全相同。 #### 阻抗的串联 (Impedances in Series) * **等效阻抗**：各串联阻抗之代数和。 **$$Z_{eq} = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n = \sum Z_k$$** * **分压公式**： **$$\dot{U}_k = \frac{Z_k}{Z_{eq}} \dot{U}$$** * **变量含义**：$\dot{U}_k$ 为第 $k$ 个阻抗上的电压相量，$\dot{U}$ 为总电压相量。 #### 阻抗的并联 (Impedances in Parallel) * **等效导纳**：各并联支路导纳之代数和。 **$$Y_{eq} = Y_1 + Y_2 + \dots + Y_n = \sum Y_k$$** * **等效阻抗 (两个阻抗并联)**： **$$Z_{eq} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$$** * **分流公式 (两个支路)**： **$$\dot{I}_1 = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \dot{I}$$** * **注意**：由于复数加法的特点，并联总电流的有效值通常**小于**各支路电流有效值之和，即 $I \neq I_1 + I_2$。 --- ### 举例说明（参考例 4.6.2） **已知条件**：两个阻抗并联，$Z_1 = (3 + j4) \Omega$，$Z_2 = (8 - j6) \Omega$，外接电压 $\dot{U} = 220 \angle 0^\circ V$。求总电流。 **求解过程**： 1. **极坐标化**：$Z_1 = 5 \angle 53.1^\circ \Omega$，$Z_2 = 10 \angle -36.9^\circ \Omega$。 2. **求各支路电流**： $\dot{I}_1 = \dot{U}/Z_1 = 220 \angle 0^\circ / 5 \angle 53.1^\circ = 44 \angle -53.1^\circ A$。 $\dot{I}_2 = \dot{U}/Z_2 = 220 \angle 0^\circ / 10 \angle -36.9^\circ = 22 \angle 36.9^\circ A$。 3. **求总电流（相量相加）**： $\dot{I} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2 = (26.4 - j35.2) + (17.6 + j13.2) = 44 - j22 = 49.2 \angle -26.6^\circ A$。 **结论**：总电流有效值为 $49.2 A$，而两支路电流之和为 $44+22=66A$，直观展示了交流电路相量加法的特性。 ## 正弦稳态电路的相量分析法 ### 核心思想：频域等效模型相量分析法的基础在于：在线性电路中，若所有激励（电源）都是**同频率**的正弦量，则电路达到稳态后，所有响应（电流、电压）也都是同频率的正弦量。因此，我们只需关注它们的幅值和初相位，而不必处理随时间变化的三角函数。 * **计算步骤**： 1. **时域 $\rightarrow$ 频域**：将电路中的瞬时值电压、电流换成相量，元件换成复阻抗。 2. **代数运算**：应用直流电路的方法列复数方程。 3. **频域 $\rightarrow$ 时域**：将计算结果（相量）变回瞬时值表达式。 --- ### 拓扑约束与元件约束的相量形式这是相量分析法能直接套用直流电路公式的法理依据。 #### 基尔霍夫定律的相量形式 * **KCL 相量形式**：$\sum \dot{I} = 0$。即流向任一节点的电流相量代数和为零。 * **KVL 相量形式**：$\sum \dot{U} = 0$。即沿任一回路绕行一周，支路电压相量的代数和为零。 #### 元件约束（VCR）的相量形式（相量欧姆定律） * **通用公式**： **$$\dot{U} = Z \cdot \dot{I}$$** 或 **$$\dot{I} = Y \cdot \dot{U}$$** * **变量含义**： * $\dot{U}$、$\dot{I}$：电压、电流的**有效值相量**。 * $Z$：**复阻抗**（单位：$\Omega$）。对于 $R, L, C$ 分别为 $R$、$j\omega L$、$-j\frac{1}{\omega C}$。 * $Y$：**复导纳**（单位：$S$）。$Y = 1/Z$。 --- ### 直流电路分析法的全面迁移由于上述约束方程在形式上与直流电路一致（仅由常数变为复数），以下方法可直接应用： * **支路电流法**：以支路电流相量为未知量列 KCL/KVL。 * **节点电压法**（重点）： * **公式推导**：设节点 $i$ 的电位为 $\dot{U}_{ni}$，则节点 $1$ 的方程为： **$Y_{11} \dot{U}_{n1} + Y_{12} \dot{U}_{n2} + \dots = \dot{I}_{S11}$** * **变量含义**：$Y_{11}$ 为与节点 $1$ 相连的所有支路导纳之和；$\dot{I}_{S11}$ 为流入该节点的电流源相量之和。 * **网孔电流法**：以网孔电流相量为未知量列 KVL 方程。 --- ### 核心电路定理的相量形式 #### 叠加定理 (Superposition Theorem) * **概念**：在线性正弦稳态电路中，任一响应相量等于各独立源单独作用时产生的响应相量的代数和。 * **注意**：必须是**同频率**电源。若频率不同，相量不能直接相加，必须在时域叠加瞬时值。 #### 戴维南与诺顿定理 * **戴维南等效**：任何含源一端口网络均可等效为**理想电压源 $\dot{U}_{oc}$ 与阻抗 $Z_{eq}$ 的串联**。 * **公式**：**$\dot{U} = \dot{U}_{oc} - Z_{eq} \dot{I}$** * **诺顿等效**：等效为**理想电流源 $\dot{I}_{sc}$ 与阻抗 $Z_{eq}$ 的并联**。 * **求解 $Z_{eq}$**：将内部独立源置零（电压源短路，电流源开路），从端口看进去的等效输入阻抗。 #### 特勒根定理 (Tellegen's Theorem) —— 邱关源补充 * **公式**：**$\sum \dot{U}_k \dot{I}_k^* = 0$**（此处 $\dot{I}_k^*$ 是共轭复数，用于分析复功率平衡）。 --- ### 典型计算例子（戴维南定理应用） **题目**：已知电路中 $U_S=100\angle 0^\circ V$，$Z_1=10+j20\Omega$，$Z_2=5-j4\Omega$，负载电阻 $R_4=7\Omega$。求 $R_4$ 上的电流。 **计算推导**： 1. **断开负载**，求开路电压 $\dot{U}_{oc}$：利用分压公式：**$\dot{U}_{oc} = \frac{R_3}{Z_1+Z_2+R_3} \dot{U}_{S1}$** 2. **求等效阻抗 $Z_{eq}$**：将电压源短路：**$Z_{eq} = R_3 // (Z_1 + Z_2)$** 3. **接回负载**求电流： **$\dot{I}_4 = \frac{\dot{U}_{oc}}{Z_{eq} + R_4}$** *最后将结果转回时域表达式：$i_4(t) = \sqrt{2} I_4 \cos(\omega t + \psi)$*。 --- ### 学习重点总结 * **复系数方程**：与直流电路唯一的不同是方程变为复系数。 * **相量图法**：邱关源教材强调，对于简单的串并联电路，利用相量图的几何关系（如勾股定理、三角函数）往往比纯代数计算更直观快捷。 * **功率分析前奏**：本节求得的电压、电流相量是下一节计算有功功率、无功功率和视在功率的基础。 ## 正弦稳态电路的功率 ::: {.callout-important} ## 功率三角形 | 功率 | 符号 | 公式 | 单位 | |:--|:--|:--|:--| | 有功功率 | $P$ | $UI\cos\varphi$ | W | | 无功功率 | $Q$ | $UI\sin\varphi$ | var | | 视在功率 | $S$ | $UI = \sqrt{P^2+Q^2}$ | VA | | 功率因数 | $\cos\varphi$ | $P/S$ | — | ::: ### 瞬时功率 (Instantaneous Power, $p$) * **概念**：电路吸收电能的瞬时速率，等于瞬时电压 $u$ 与瞬时电流 $i$ 的乘积。 * **公式推导**：设 $u = \sqrt{2}U\cos(\omega t + \phi_u)$，$i = \sqrt{2}I\cos(\omega t + \phi_i)$，相位差 $\phi = \phi_u - \phi_i$。 $$p = ui = 2UI \cos(\omega t + \phi_u) \cos(\omega t + \phi_i)$$ 利用三角恒等式 $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ 得： **$$p = UI\cos\phi + UI\cos(2\omega t + \phi_u + \phi_i)$$** * **特征**：瞬时功率包含一个**恒定分量** $UI\cos\phi$ 和一个以两倍角频率 ($2\omega$) 变化的**正弦分量**。 ### 有功功率（平均功率, Active Power, $P$） * **概念**：瞬时功率在一个周期内的平均值，反映了电路实际消耗（转化）的电能。 * **公式**： **$$P = \frac{1}{T} \int_0^T p \, dt = UI\cos\phi$$** * **变量含义**：$U, I$ 为有效值，$\cos\phi$ 为功率因数。 * **单位**：瓦特 (W)。 * **元件特性**：电阻消耗有功功率 ($P_R = I^2R$)，而理想电感和电容的有功功率为 **0**（它们只储能不耗能）。 ### 无功功率 (Reactive Power, $Q$) * **概念**：反映电路中电源与储能元件（电感、电容）之间能量交换规模的物理量，数值上等于瞬时功率中吞吐能量的幅度。 * **公式**： **$$Q = UI\sin\phi$$** * **单位**：乏 (var) 或千乏 (kvar)。 * **符号规定**：感性电路 $\phi > 0, Q > 0$；容性电路 $\phi < 0, Q < 0$。 ### 视在功率 (Apparent Power, $S$) * **概念**：电压有效值与电流有效值的乘积，反映了电气设备的容量或可能输出的最大功率。 * **公式**： **$$S = UI = \sqrt{P^2 + Q^2}$$** * **单位**：伏安 (VA) 或千伏安 (kVA)。 ### 功率因数 (Power Factor, $\cos\phi$) * **概念**：有功功率与视在功率的比值 $\lambda = P/S = \cos\phi$。 * **意义**：衡量交流电设备利用率的重要指标。 * **提高功率因数**：感性负载通过**并联电容器**来提高功率因数。 * **并联电容计算公式**： **$$C = \frac{P}{\omega U^2}(\tan\phi_1 - \tan\phi_2)$$** * $P$：负载有功功率；$\phi_1, \phi_2$：补偿前后的功率因数角。 ### 复功率 (Complex Power, $\tilde{S}$) —— 邱关源重点补充 * **概念**：将功率表示为复数形式，以便于利用相量法分析功率平衡。 * **公式推导**：设 $\dot{U} = U\angle\phi_u$，$\dot{I} = I\angle\phi_i$，电流相量的共轭为 $\dot{I}^* = I\angle-\phi_i$。 **$$\tilde{S} = \dot{U}\dot{I}^* = UI\angle(\phi_u - \phi_i) = UI\cos\phi + jUI\sin\phi = P + jQ$$** * **特点**：复功率的模为视在功率 $S$，实部为有功 $P$，虚部为无功 $Q$。 ### 功率三角形 (Power Triangle) * **描述**：$P$、$Q$、$S$ 三者构成一个直角三角形： * 底边为有功功率 $P$。 * 对边为无功功率 $Q$。 * 斜边为视在功率 $S$。 * 夹角为功率因数角 $\phi$。 ### 最大功率传输定理 (正弦稳态版) * **概念**：在正弦稳态电路中，负载阻抗 $Z_L$ 调整到什么值时可获得最大功率。 * **共轭匹配条件**： **$$Z_L = Z_S^*$$**（即 $R_L = R_S, X_L = -X_S$） * **最大功公式**： **$$P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$$** * 其中 $U_{oc}$ 为开路电压有效值，$R_{eq}$ 为戴维南等效电阻。 ### 举例说明（参考例 4-9） **测量电感线圈参数**：已知电压 $U=50\text{V}$，电流 $I=1\text{A}$，消耗有功功率 $P=30\text{W}$，频率 $f=50\text{Hz}$。 1. **求阻抗模**：$Z = U/I = 50\Omega$。 2. **求功率因数**：$\cos\phi = P/UI = 30/(50 \times 1) = 0.6 \implies \phi = 53.13^\circ$。 3. **求电阻与感抗**： $R = Z\cos\phi = 50 \times 0.6 = 30\Omega$。 $X_L = Z\sin\phi = 50 \times 0.8 = 40\Omega \implies L = X_L/(2\pi f) \approx 127\text{mH}$。 ## 非正弦周期电流电路 ### 非正弦周期信号的概念与来源 * **定义**：电路中电压、电流的大小随时间按非正弦规律作周期性变化的信号。 * **来源**： 1. **电源本身是非正弦的**：如电子电路中的矩形脉冲波、锯齿波或三角波信号源。 2. **电路中含有非线性元件**：即使激励电源是正弦的，经过二极管整流或含有铁心线圈的非线性电路后，响应也会变为非正弦周期信号。 ### 非正弦周期信号的傅里叶级数展开任何满足狄里赫利条件的周期函数 $f(t)$ 都可以展开为无穷多个正弦项和余弦项的和。 * **展开公式**： **$$f(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty} A_{km} \sin(k\omega t + \psi_k)$$** * **各项含义**： * **$A_0$**：**直流分量**（或恒定分量）。 * **$A_{1m} \sin(\omega t + \psi_1)$**：**基波**（或一次谐波），其频率与原信号频率相同。 * **$A_{km} \sin(k\omega t + \psi_k)$ ($k>1$)**：**高次谐波**，其频率是基波频率的整数倍。 * **频谱**：将各次谐波的幅值（或有效值）按频率高低顺序排列，构成的图形称为频谱图。 ### 非正弦周期量的有效值 (RMS Value) 非正弦周期量的有效值等于其各次谐波有效值平方和的平方根。 * **公式推导（连等式）**：根据有效值的定义 $I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$，代入傅里叶级数展开式，利用三角函数的正交性，抵消掉不同频率交叉相乘的项： **$$I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T}$$ * **变量含义**：$I$ 为总有效值；$I_0$ 为直流分量；$I_k$ 为第 $k$ 次谐波的有效值。 ### 非正弦周期电流电路的平均功率电路消耗的平均功率等于直流分量的功率与各次谐波产生的平均功率之代数和。 * **公式**： **$$P = U_0 I_0 + \sum_{k=1}^{\infty} U_k I_k \cos \phi_k = P_0 + P_1 + P_2 + \dots$$** * **物理意义**：不同频率的电压和电流之间不产生平均功率。 * **变量含义**：$U_k, I_k$ 为第 $k$ 次谐波的有效值；$\phi_k$ 为 $k$ 次谐波电压与电流之间的相位差。 ### 非正弦周期电流电路的计算步骤 (核心方法) 计算此类电路必须遵循**叠加原理**，严禁将不同频率的相量直接相加。 1. **分解**：将非正弦源展开成傅里叶级数。 2. **分频率计算响应**： * **直流分量**：电感视为**短路**，电容视为**开路**。 * **各次谐波**：分别利用相量法计算。注意感抗和容抗随频率改变： **$X_{Lk} = k\omega L$**，**$X_{Ck} = \frac{1}{k\omega C}$**。 3. **合成**：将各分量响应的**瞬时值**进行叠加。 * **例子**：若求总电流 $i(t)$，结果应写成 $i(t) = I_0 + i_1(t) + i_2(t) + \dots$ 的形式。 ### 计算举例 (结合例 4-11) **已知条件**：电路有 $R=5\Omega, L, C$，电源电压 $u(t) = 10 + 141.4\cos\omega t + 70.7\cos(3\omega t+30^\circ) V$。 * **解题逻辑**： 1. **直流作用**：$U_0 = 10V$，求出 $I_0 = U_0/R = 2A$。 2. **基波作用**：$\dot{U}_1 = \frac{141.4}{\sqrt{2}}\angle 0^\circ = 100\angle 0^\circ V$，计算阻抗 $Z_1 = R + j\omega L$，求出 $\dot{I}_1$。 3. **3次谐波作用**：$\dot{U}_3 = 50\angle 30^\circ V$，阻抗变为 $Z_3 = R + j3\omega L$，求出 $\dot{I}_3$。 4. **最后合成**：$i(t) = I_0 + \sqrt{2}I_1\cos(\omega t + \theta_1) + \sqrt{2}I_3\cos(3\omega t + \theta_3)$。 ### 学习注意点 (邱关源补充) * **有效值不等式**：非正弦波的有效值**不等于**幅值的 $1/\sqrt{2}$。 * **阻抗随频率变**：不同谐波面对的阻抗是完全不同的，必须逐次计算。 * **谐振现象**：在某些频率下，电路可能对特定谐波产生谐振，导致该谐波分量在电路中异常增大。 ## 谐振电路 ### 谐振的基本概念 * **定义**：在含有 $L$ 和 $C$ 的正弦稳态电路中，若二端网络端口电压与电流的相位差 $\phi = 0$，电路呈现纯电阻性，这种现象称为谐振。 * **分类**：根据元件连接方式，分为**串联谐振**和**并联谐振**。 --- ### 串联谐振 (Series Resonance) 串联谐振发生在 $R$、$L$、$C$ 串联电路中。 #### 谐振条件与频率推导 * **阻抗表达式**：$Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})$。 * **谐振条件**：要使电压与电流同相，阻抗的虚部必须为零，即： **$$\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \implies \omega L = \frac{1}{\omega C}$$**。 * **谐振角频率 ($\omega_0$)**： **$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$**。 * **谐振频率 ($f_0$)**： **$$f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$**。 * **变量含义**：$L$ 为电感量（H），$C$ 为电容量（F），$f_0$ 单位为赫兹（Hz）。 #### 串联谐振的特征 1. **阻抗最小且为纯电阻**：$Z = R$。 2. **电流最大**：$I_0 = U/R$。在电源电压 $U$ 一定时，谐振电流达到峰值。 3. **电压特征（电压增益）**：电阻电压等于电源电压 ($U_R = U$)；电感电压与电容电压大小相等、相位相反 ($U_L = U_C$)。 4. **能量性质**：电场能与磁场能在电路内部相互转换，不与电源发生能量交换。 #### 品质因数 (Quality Factor, $Q$) * **定义**：谐振时电感（或电容）电压与电源电压的比值。 * **公式推导**： **$$Q = \frac{U_L}{U} = \frac{I_0 \omega_0 L}{I_0 R} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$**。 * **物理意义**：$Q$ 值越高，电路的选频特性（选择性）越好，谐振曲线越尖锐。 * **例子**：收音机的选频电路。利用可调电容 $C$ 使电路谐振于某一频率，从而滤除其他杂波信号。 --- ### 并联谐振 (Parallel Resonance) 通常指电感线圈（含电阻 $R$）与电容器并联的电路。 #### 谐振条件与频率推导 * **导纳表达式**：$Y = \frac{1}{R+j\omega L} + j\omega C$。 * **谐振条件**：令导纳的虚部为零，推导得： **$$\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{L}\right)^2}$$**。 * **近似情况**：当 $R \ll \omega_0 L$ 时，$\omega_0 \approx \frac{1}{\sqrt{LC}}$，与串联谐振频率相同。 #### 并联谐振的特征 1. **导纳最小，阻抗最大**：谐振时阻抗 $Z_0 = \frac{L}{RC}$。 2. **电流最小**：在电源电压 $U$ 一定时，总电流 $I_0 = U/Z_0$ 达到极小值。 3. **电流特征（电流增益）**：支路电流 $I_L \approx I_C \approx QI$。即支路电流远大于总电流，故并联谐振又称**电流谐振**。 * **变量含义**：$I$ 为总电流，$Q$ 为品质因数。 #### 品质因数 ($Q$) * **公式**：当 $R$ 很小时，$Q \approx \frac{\omega_0 L}{R} \approx \frac{1}{\omega_0 RC}$。 --- ### 学习要点总结与对比 | 特性 | 串联谐振 (RLC) | 并联谐振 ($R-L // C$) | | :--- | :--- | :--- | | **谐振频率** | $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ | $\omega_0 \approx 1/\sqrt{LC}$ (当 $R$ 较小时) | | **阻抗/导纳** | 阻抗 $Z$ 最小，等于 $R$ | 阻抗 $Z$ 最大，等于 $L/RC$ | | **电流/电压** | 电流 $I$ 最大 | 总电流 $I$ 最小 | | **别名** | **电压谐振** ($U_L, U_C$ 很大) | **电流谐振** ($I_L, I_C$ 很大) | | **主要用途** | 选频、产生高压（如耐压试验）、提高功率因数 | **重要公式连等推导示例（串联 $Q$ 值）**： $$Q = \frac{U_L}{U} = \frac{X_L I_0}{R I_0} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{\frac{1}{\sqrt{LC}} L}{R} = \frac{\sqrt{L}}{R\sqrt{C}} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$。 # 三相交流电与安全用电 ## 三相电源 ### 三相电源的定义 (Definition of Three-phase Power Supply) * **概念**：由三个**频率相同**、**幅值相等**、**相位彼此相差 120°** 的正弦电压源按一定方式连接组成的供电系统，称为**对称三相电源**。 * **三相电路**：由三相电源供电的电路。 ### 三相电动势的产生 (Generation) * **物理实现**：由三相交流发电机产生。其定子上嵌入三个形状及匝数完全相同的绕组（分别称为 A 相、B 相和 C 相绕组），各绕组在空间位置上彼此相隔 120°。 * **工作原理**：当发电机的磁极转子以角速度 $\omega$ 匀速旋转时，根据电磁感应定律，在三个绕组中感应出三个同频率、同幅值、相位差为 120° 的正弦电压。 ### 三相电压的数学表示 (Mathematical Representation) 通常以 A 相为参考正弦量（初相设为零），则三相电压的表达式如下： #### 瞬时值表达式 $$ \begin{cases} u_A = \sqrt{2}U \cos(\omega t) \\ u_B = \sqrt{2}U \cos(\omega t - 120^\circ) \\ u_C = \sqrt{2}U \cos(\omega t + 120^\circ) \end{cases} $$ * **变量含义**： * $u_A, u_B, u_C$：A、B、C 各相电压的瞬时值（V）。 * $U$：各相电压的有效值（V）。 * $\omega$：角频率（rad/s）。 * $120^\circ$：三相之间的相位差。 #### 相量表达式 $$ \begin{cases} \dot{U}_A = U \angle 0^\circ \\ \dot{U}_B = U \angle -120^\circ \\ \dot{U}_C = U \angle 120^\circ = U \angle -240^\circ \end{cases} $$ #### 算子表示法（补充）引入单位相量算子 $\alpha = 1 \angle 120^\circ$，则有： $$ \dot{U}_B = \alpha^2 \dot{U}_A, \quad \dot{U}_C = \alpha \dot{U}_A $$ ### 对称三相电源的核心特性 (Core Characteristics) * **代数和为零（连等式推导）**：在任一瞬间，对称三相电压的瞬时值之和以及相量之和恒等于零。 $$ u_A + u_B + u_C = 0 $$ $$ \dot{U}_A + \dot{U}_B + \dot{U}_C = U \angle 0^\circ + U \angle -120^\circ + U \angle 120^\circ = U(1 - \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 $$ * **物理意义**：这一特性意味着在三相平衡系统中，若将三相末端连在一起，其总电压波动为零。 ### 相序 (Phase Sequence) * **定义**：三相电压到达最大值的先后次序。 * **正序（顺序）**：$A \to B \to C$。即 $u_A$ 超前 $u_B$ 120°，$u_B$ 超前 $u_C$ 120°。电力系统中一般采用此序。 * **负序（反序）**：$A \to C \to B$。即 $u_B$ 超前 $u_A$ 120°。 * **例子**：若将连接电动机的三相电源线中任意两根对调，就会改变相序，从而使电动机反转。 ### 三相电源的优势 (Advantages) 1. **设备效率高**：在相同尺寸下，三相发电机比单相发电机输出功率更大。 2. **传输成本低**：输电功率相同时，三相输电线比单相输电线可节省约 25% 的有色金属（铜或铝）。 3. **运行平稳**：对称三相负载的总瞬时功率是一个常数（不随时间变化），这使得三相电动机能获得恒定的转矩，运行更稳定。 ### 术语辨析 * **端线（火线）**：从电源绕组首端引出的输电线。 * **中性点（零点）**：三相绕组末端连接在一起的公共点 $N$。 * **中性线（零线/地线）**：从中性点引出的导线。 ## 三项电路的连接与结构 ### 三相电路的基本术语 (Basic Terminology) * **端线（端线/火线）**：连接电源与负载的导线。 * **中性线（中性线/零线）**：连接电源中性点 $N$ 与负载中性点 $N'$ 的导线。 * **相电压 ($U_p$)**：每相负载或每相电源绕组两端的电压。 * **线电压 ($U_L$)**：两条端线（火线）之间的电压。 * **相电流 ($I_p$)**：流过每相负载或电源绕组的电流。 * **线电流 ($I_L$)**：流过端线的电流。 --- ### 星形连接 (Star Connection, Y) #### 连接结构将三相绕组的末端（X、Y、Z）或三相负载的末端连接在一起形成一个公共点（中性点），而首端分别向外引出端线。 #### 电压关系 (Voltage Relationship) 在星形连接中，线电压与相电压的相量关系为 $\dot{U}_L = \dot{U}_{\text{相1}} - \dot{U}_{\text{相2}}$。 * **有效值公式推导（连等式）**：以 A、B 相为例，$\dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B$。设 $\dot{U}_A = U_p \angle 0^\circ$，$\dot{U}_B = U_p \angle -120^\circ$： $$\dot{U}_{AB} = U_p(1 - e^{-j120^\circ}) = U_p(1 + \frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}U_p \angle 30^\circ$$ * **结论**：**$U_L = \sqrt{3}U_p$**。线电压在相位上超前其对应的相电压 30°。 * **例子**：我国常用的低压配电系统，相电压为 220V，则线电压为 $220 \times \sqrt{3} \approx 380V$。 #### 电流关系 (Current Relationship) * **结论**：**$I_L = I_p$**。 * **含义**：在星形连接中，端线与相支路是串联关系，故线电流等于相电流。 --- ### 三角形连接 (Delta Connection, $\Delta$) #### 连接结构将三相负载或电源绕组的首末端依次相连（A-Z, B-X, C-Y），形成一个闭合回路，从三个连接点引出端线。 #### 电压关系 * **结论**：**$U_L = U_p$**。 * **含义**：每相负载直接跨接在两条端线之间，因此线电压即为相电压。 #### 电流关系 (Current Relationship) 在对称三相系统中，线电流与相电流的相量关系为 $\dot{I}_A = \dot{I}_{AB} - \dot{I}_{CA}$。 * **有效值公式推导（连等式）**：设 $\dot{I}_{AB} = I_p \angle 0^\circ$，$\dot{I}_{CA} = I_p \angle 120^\circ$： $$\dot{I}_A = I_p(1 - \cos 120^\circ - j\sin 120^\circ) = I_p(1 + \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}I_p \angle -30^\circ$$ * **结论**：**$I_L = \sqrt{3}I_p$**。线电流在相位上滞后于对应的相电流 30°。 --- ### 三相电路的结构分类 * **三相四线制 (Three-phase Four-wire System)**：电源与负载均按 Y 形连接，且连有中性线。适用于单相负载较多且不对称的场合。 * **三相三线制 (Three-phase Three-wire System)**：不引出中性线的 Y 形连接或 $\Delta$ 形连接。当三相负载对称时，中性线电流为零，可采用此制式。 --- ::: {.callout-important} ## 三相电路线值与相值关系 | 接法 | 电压关系 | 电流关系 | |:--|:--|:--| | 星形 Y | $U_l = \sqrt{3}\, U_p$ | $I_l = I_p$ | | 三角形 $\Delta$ | $U_l = U_p$ | $I_l = \sqrt{3}\, I_p$ | ::: ### 核心计算公式与应用 * **负载相电流计算**： $$I_p = \frac{U_p}{|Z|}$$ 其中 $U_p$ 为每相负载承受的相电压，$|Z|$ 为每相负载的阻抗模。 * **中性线电流 ($I_N$)**：对于三相四线制，根据 KCL：**$\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C$**。 * **对称负载时**：$\dot{I}_N = 0$，此时中性点位移为零。 * **星-三角（Y-$\Delta$）降压起动例证**：电动机在星形起动时的线电流 $I_{LY}$ 仅为三角形运行（正常工作）时线电流 $I_{L\Delta}$ 的 **$1/3$**： $$\frac{I_{LY}}{I_{L\Delta}} = \frac{U_L/(\sqrt{3}Z)}{\sqrt{3}(U_L/Z)} = \frac{1}{3}$$ 这是电力工程中限制起动电流的常用手段。 ### 总结表 | 连接方式 | 电压关系 ($U_L, U_p$) | 电流关系 ($I_L, I_p$) | 结构特点 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | **星形 (Y)** | $U_L = \sqrt{3}U_p$ | $I_L = I_p$ | 有中性点，可引出中性线 | | **三角形 ($\Delta$)** | $U_L = U_p$ | $I_L = \sqrt{3}I_p$ | 无中性点，回路内电动势代数和为零 | ## 对称三项电路的计算 ### 对称三相电路的定义与特征 * **概念**：由对称三相电源、对称三相负载以及阻抗相等的输电线组成的电路。 * **核心特征**： * 三相电源对称：$\dot{U}_A + \dot{U}_B + \dot{U}_C = 0$。 * 三相负载对称：$Z_A = Z_B = Z_C = Z$。 * **中性点性质**：在 Y-Y 连接中，电源中性点 $N$ 与负载中性点 $N'$ 之间的电位差为零（即 **$\dot{U}_{N'N} = 0$**）。 ### 核心分析方法：三相化一相法 (Single-phase Method) **概念**：利用对称性，只需计算其中一相（通常选 A 相）的电压和电流，其余两相的量可根据对称关系（相位依次差 120°）直接写出。 * **单相计算等效电路的画法**： 1. 将电源中性点 $N$ 与负载中性点 $N'$ 用一条无阻抗的导线连接起来。 2. 仅取出 A 相电源、A 相线路阻抗和 A 相负载构成回路。 * **计算公式**： **$$\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AN}}{Z_l + Z}$$** * **变量含义**： * $\dot{I}_A$：A 相线电流（在 Y 接中也是相电流）。 * $\dot{U}_{AN}$：电源相电压。 * $Z_l$：每根输电线的复阻抗。 * $Z$：每相负载的复阻抗。 * **例子**：已知对称 Y-Y 电路，线电压 $380\text{V}$，负载 $Z=5+j6\Omega$，线路 $Z_l=1+j2\Omega$。求线电流。 * 先求相电压 $\dot{U}_{AN} = 220\angle 0^\circ \text{V}$。 * 总阻抗 $Z_{\text{总}} = Z + Z_l = 6+j8 = 10\angle 53.1^\circ \Omega$。 * 则 $\dot{I}_A = 220/10\angle -53.1^\circ = 22\angle -53.1^\circ \text{A}$。 ### 不同连接方式的等效变换 ($\Delta \to Y$) 若负载为三角形（$\Delta$）联结且考虑线路阻抗时，通常先将其转化为星形（Y）联结。 * **等效公式推导**： **$$Z_Y = \frac{Z_\Delta}{3}$$** * **变量含义**：$Z_Y$ 为变换后的星形每相负载阻抗；$Z_\Delta$ 为原三角形每相负载阻抗。 * **注意**：变换后线电流保持不变，但负载承受的电压从线电压变为了相电压。 ### 对称三相电路的功率计算三相负载的总功率等于各相功率之和。 #### 有功功率 (Active Power, $P$) * **公式推导（连等式）**： $P = P_A + P_B + P_C = 3 U_p I_p \cos \phi$ 代入线值关系（以 Y 接为例：$U_p = U_L/\sqrt{3}, I_p = I_L$）： **$$P = 3 \times \frac{U_L}{\sqrt{3}} \times I_L \cos \phi = \sqrt{3} U_L I_L \cos \phi$$** * **变量含义**：$U_L, I_L$ 为线电压/线电流有效值；$\phi$ 为负载的**相阻抗角**。 #### 无功功率 (Reactive Power, $Q$) * **公式**：**$$Q = \sqrt{3} U_L I_L \sin \phi$$** * **单位**：乏 ($\text{var}$)。 #### 视在功率 (Apparent Power, $S$) * **公式**：**$$S = \sqrt{3} U_L I_L = \sqrt{P^2 + Q^2}$$** * **单位**：伏安 ($\text{VA}$)。 ### 对称三相电路计算小结 1. **对称性应用**：总瞬时功率 $p$ 为恒定值，不随时间变化，这是对称三相电路的重要优点。 2. **相位差注意**：在计算功率时，公式中的 $\cos \phi$ 里的 $\phi$ 是负载**相电压**与**相电流**的相位差，绝不是线电压与线电流的相位差。 3. **计算顺序建议**：将所有阻抗化为 Y 接 $\to$ 取 A 相画等效电路 $\to$ 计算 A 相电流 $\to$ 根据线/相关系求其他量 $\to$ 计算功率。 ## 不对称三项电路 ### 不对称三相电路的概念 (Basic Concept) * **定义**：在三相电路中，只要三相电源、三相负载或三条连接线的阻抗中有任何一部分**不对称**（即参数不完全相同），该电路即为不对称三相电路。 * **常见情形**：实际低压配电系统中，通常电源是基本对称的，但由于单相负载的分布不均，导致**三相负载不对称**（即 $Z_A \neq Z_B \neq Z_C$）。 * **计算特点**：由于对称性被破坏，各相电流和电压不再满足数值相等且相位差 120° 的关系，因此必须对每一相进行**逐个支路计算**。 ### 中性点位移 (Neutral Point Displacement) —— **核心现象** 这是不对称星形（Y-Y）连接电路中最显著的特征。 #### 定义与产生原因 * **概念**：在负载不对称且没有中性线（或中性线阻抗很大）的情况下，负载的中性点 $N'$ 与电源的中性点 $N$ 之间的电位差不再为零，这种现象称为**中性点位移**。 * **结果**：中性点位移会导致各相负载承受的电压（相电压）不再相等。有的相电压会显著升高（可能烧毁设备），有的则会降低（设备无法正常工作）。 #### 中性点位移电压公式 (弥尔曼定理推导) 利用**节点电压法**（弥尔曼公式），可以直接求得两个中性点间的电位差相量 $\dot{U}_{N'N}$： **$$\dot{U}_{N'N} = \frac{\dot{U}_A Y_A + \dot{U}_B Y_B + \dot{U}_C Y_C}{Y_A + Y_B + Y_C}$$** * **变量含义**： * $\dot{U}_{N'N}$：中性点位移电压相量（V）。 * $\dot{U}_A, \dot{U}_B, \dot{U}_C$：电源的各相电压相量（V）。 * $Y_A, Y_B, Y_C$：各相负载的复导纳，其中 $Y = 1/Z$（S）。 #### 负载相电压的计算求得 $\dot{U}_{N'N}$ 后，各相负载承受的实际电压为： **$$\begin{cases} \dot{U}_{AN'} = \dot{U}_{AN} - \dot{U}_{N'N} \\ \dot{U}_{BN'} = \dot{U}_{BN} - \dot{U}_{N'N} \\ \dot{U}_{CN'} = \dot{U}_{CN} - \dot{U}_{N'N} \end{cases}$$** ### 三相四线制的作用 (Function of Neutral Line) * **物理意义**：当中性线阻抗 $Z_N \approx 0$（即理想中性线）时，中性点位移电压 $\dot{U}_{N'N} \approx 0$。 * **结论**：中性线的作用在于**迫使负载中性点与电源中性点电位一致**，从而保证即便负载不对称，各相负载也能获得恒定且对称的相电压。 * **重要禁忌**：三相四线制的**中性线上严禁安装保险丝或开关**。如果中性线断开（相当于 $Z_N \to \infty$），会产生严重的中性点位移，导致电器损坏。 ### 不对称电路的电流与功率计算 #### 电流计算 (根据 KCL) * **各相电流**：$\dot{I}_A = \dot{U}_{AN'} Y_A$（以此类推）。 * **中性线电流 ($\dot{I}_N$)**：在三相四线制中，中线电流是三相电流相量的代数和： **$$\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C$$** 注：由于负载不对称，此时 $\dot{I}_N \neq 0$。 #### 功率计算 (相加原则) 不论电路是否对称，三相总功率始终等于各相功率之和： * **有功功率**：**$P = P_A + P_B + P_C = U_A I_A \cos \phi_A + U_B I_B \cos \phi_B + U_C I_C \cos \phi_C$**。 * **无功功率**：**$Q = Q_A + Q_B + Q_C$**。 ### 举例说明（结合实际应用） **例子**：三相四线制供电系统，A、B、C 三相分别接有不同数量的白炽灯。 * **情况 A（中线完好）**：虽然每相灯的数量不同（负载不对称），但由于中线存在，每盏灯承受的电压依然是 220V，亮度正常。 * **情况 B（中线断开）**：产生**中性点位移**。灯泡数量最少（电阻最大）的那一相，其相电压会大幅升高，导致灯泡被烧毁；而灯泡数量最多的那一相，电压会降低，灯光变暗。 ### 学习建议在分析不对称三相电路时，第一步应判断**是否存在有效的中性线**。若有中性线且不计阻抗，则直接按三个独立的单相电路计算；若无中性线且负载不对称，则必须先用节点电压法求出**中性点位移电压**。 ## 三项电路的功率 ### 三相电路功率的基本概念 * **总功率相加原则**：在三相电路中，无论对称与否、采用何种连接，三相负载吸收的总复功率等于各相复功率之和。 * **有功功率 ($P$)**：各相负载有功功率的代数和，单位为瓦（W）。 * **无功功率 ($Q$)**：各相负载无功功率的代数和，单位为乏（var）。 * **视在功率 ($S$)**：总有功功率与总无功功率的矢量和，反映电源的容量。 --- ### 瞬时功率 (Instantaneous Power, $p$) * **概念**：三相负载瞬时功率之和。 * **对称三相电路的特性**：在对称三相电路中，各相瞬时功率之和为一个**恒定值**，且等于其有功功率。 **公式推导（连等式）**：设 A 相 $u_A = \sqrt{2}U_p \cos\omega t$，$i_A = \sqrt{2}I_p \cos(\omega t - \phi)$，则： $p = p_A + p_B + p_C = 3 U_p I_p \cos\phi = P$。 * **物理意义**：瞬时功率恒定意味着三相电动机受到的转矩是恒定的，运行更加平稳，这是三相制的一大优点。 --- ::: {.callout-important} ## 对称三相电路功率（通用公式） $$P = \sqrt{3}\, U_l I_l \cos\varphi, \quad Q = \sqrt{3}\, U_l I_l \sin\varphi, \quad S = \sqrt{3}\, U_l I_l$$ ::: ### 对称三相电路的功率计算（核心公式）在对称电路中，由于各相电压、电流有效值相等且相位差角 $\phi$ 相同，功率计算可以简化。 #### 有功功率 ($P$) * **相值表示法**：$P = 3 U_p I_p \cos\phi$。 * **线值表示法（推导）**： * **星形（Y）**：$U_L = \sqrt{3}U_p, I_L = I_p \implies P = 3 \times \frac{U_L}{\sqrt{3}} \times I_L \cos\phi = \sqrt{3}U_L I_L \cos\phi$。 * **三角形（$\Delta$）**：$U_L = U_p, I_L = \sqrt{3}I_p \implies P = 3 \times U_L \times \frac{I_L}{\sqrt{3}} \cos\phi = \sqrt{3}U_L I_L \cos\phi$。 * **结论**：**$$P = \sqrt{3}U_L I_L \cos\phi$$**。 * **变量含义**：$U_L, I_L$ 为线电压/线电流有效值；$\phi$ 为负载的**相阻抗角**（即负载相电压与相电流的相位差），绝非线电压与线电流的相位差。 #### 无功功率 ($Q$) * **公式**：**$$Q = \sqrt{3}U_L I_L \sin\phi$$**。 #### 视在功率 ($S$) * **公式**：**$$S = \sqrt{3}U_L I_L = \sqrt{P^2 + Q^2}$$**。 --- ### 三相功率的测量方法 #### 三瓦计法 (Three-wattmeter Method) * **适用**：三相四线制电路（有中线）。 * **原理**：每个功率表测量一相功率，总功率 $P = W_1 + W_2 + W_3$。 #### 二瓦计法 (Two-wattmeter Method) —— 邱关源重点 * **适用**：三相三线制电路（无论对称与否）。 * **接线**：两表的电流线圈分别串入两根端线（如 A、B），电压线圈的公共端接到第三根端线（如 C）。 * **公式**：总功率 **$P = W_1 + W_2$**。 * **读数特性（对称负载）**： * $W_1 = U_L I_L \cos(30^\circ - \phi)$ * $W_2 = U_L I_L \cos(30^\circ + \phi)$。 * **注意**：当 $|\phi| > 60^\circ$ 时，其中一个功率表的读数可能为负值，此时求和需带符号计算。 --- ### 应用举例：Y-$\Delta$ 变换对功率的影响 **例子**：同一对称负载，在线电压 $U_L$ 不变的情况下，从三角形连接改为星形连接。 * **推导**： * 三角形时：$P_\Delta = \sqrt{3} U_L (\sqrt{3} I_{p\Delta}) \cos\phi = 3 \frac{U_L^2}{|Z|} \cos\phi$。 * 星形时：$P_Y = \sqrt{3} U_L (\frac{U_L}{\sqrt{3} |Z|}) \cos\phi = \frac{U_L^2}{|Z|} \cos\phi$。 * **结论**：**$P_\Delta = 3 P_Y$**。即负载三角形连接时消耗的功率是星形连接时的 **3 倍**。 ### 核心知识点小结表 | 功率名称 | 符号及单位 | 对称电路计算公式 (线值) | 物理意义 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | **有功功率** | $P$ (W) | $\sqrt{3} U_L I_L \cos\phi$ | 电路实际消耗的功率 | | **无功功率** | $Q$ (var) | $\sqrt{3} U_L I_L \sin\phi$ | 电源与负载间交换能量的规模 | | **视在功率** | $S$ (VA) | $\sqrt{3} U_L I_L$ | 电气设备的容量 | | **功率因数** | $\cos\phi$ | $P/S$ | 设备利用率的衡量指标 | ## 安全用电 ::: {.callout-warning} ## 安全电流与安全电压 - **安全电流**：工频交流 **10 mA** 以下（可摆脱） - **安全电压**：交流有效值 **42 V** 以下（干燥场所），潮湿场所更低 ::: ### 电流对人体的危害 (Harm of Current) 触电对人体的伤害程度主要取决于通过人体的电流大小、持续时间、电流频率及路径。 * **感知电流**：引起人有感觉的最小电流，交流（50Hz）约 **1mA**。 * **摆脱电流**：人触电后能自主摆脱电源的最大电流，约为 **10mA**。此值为安全电流的参考界限。 * **致命电流**：在较短时间内危及生命的电流，交流约 **50mA**。 * **人体电阻 ($R_h$)**：通常在 $1000\Omega \sim 2000\Omega$ 之间，受皮肤潮湿程度、接触压力等影响很大。 ### 触电方式 (Electric Shock Modes) 触电是指人体触及带电体，使人体成为电路的一部分。 * **单相触电**：人站在地上触及一根相线（火线）。人体承受相电压（如 220V）。 * **两相触电**：人体同时触及两根不同的相线。人体承受线电压（如 380V），极其危险。 * **跨步电压触电 (Step Voltage)**：当带电导线落于地面，电流由接地点向四周流散。人在接地点附近两脚间产生的电位差称为跨步电压。 * **例子**：发现电线坠地时，应并足跳离危险区，以防步距产生压差。 ### 接地与接零 (Grounding and Neutral Connection) —— **核心技术点** 这是预防间接触电（外壳带电）的主要措施。 #### 保护接地 (Protective Grounding) * **概念**：将电气设备的金属外壳通过接地体与大地连接。 * **适用范围**：**中性点不接地**的低压供电系统（IT 系统）。 * **原理公式**：当设备绝缘损坏使外壳带电时，接地电阻 $R_e$ 与人体电阻 $R_h$ 并联。 **$$I_h = \frac{R_e}{R_h + R_e} I \approx \frac{R_e}{R_h} I$$** * **变量含义**：$I_h$ 为通过人体的电流；$R_e$ 为接地电阻（通常规定 $\le 4\Omega$）；$R_h$ 为人体电阻（约 $1000\Omega$）。 * **结论**：由于 $R_h \gg R_e$，电流绝大部分流过接地电阻，从而将人体电流限制在安全范围内。 #### 保护接零 (Protective Neutral Connection) * **概念**：将电气设备的金属外壳与电网的零线（保护中性线 PEN）连接。 * **适用范围**：**中性点接地**的低压供电系统（TN 系统）。 * **原理推导（连等式）**：当发生碰撞外壳短路时，形成单相短路回路： **$$I_{sc} = \frac{U_p}{Z_s} > I_{set}$$** * **变量含义**：$I_{sc}$ 为短路电流；$U_p$ 为相电压；$Z_s$ 为短路回路阻抗；$I_{set}$ 为保护装置（保险丝或断路器）的动作电流。 * **结论**：保护接零的作用是使“漏电”变成“短路”，从而触发保护装置迅速切断电源。 #### 重复接地 (Repeated Grounding) * **概念**：在保护接零系统中，除了中性点接地外，在零线的其他地方再次接地。 * **作用**：防止零线断线时，由于负载不对称导致断路点后的所有设备外壳带上危险的高电压。 ### 静电防护与防火防爆 * **静电防护**：静电积聚可能产生高火花。防护方法主要是通过接地导出电荷。 * **防火防爆**：在易燃易爆场所必须选用具有**防爆功能**的电气设备，并保持良好通风。 ### 安全用电注意事项 (邱关源/秦曾煌强调) * **漏电保护装置 (RCD)**：当电路发生漏电（剩余电流）超过设定值时，能自动切断电源，是保障人身安全的关键装置。 * **严禁接零、接地混用**：在同一低压配电网中，不允许一部分设备接地而另一部分设备接零，否则一旦接地设备漏电，会使所有接零设备外壳带电。 * **节约用电**：提高电力利用效率，降低线损，也是用电管理的组成部分。 # 磁路与变压器 ## 磁场与磁性材料 ### 磁场的基本概念与特性 * **磁场 (Magnetic Field)**：磁体或电流周围存在磁力作用的特殊物质空间。 * **磁力线 (Magnetic Lines of Force)**：形象描述磁场分布的闭合曲线，其切线方向为磁场方向，疏密程度反映磁场强弱。 * **毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart Law)**：描述电流产生磁场的定量关系。 * **例子**：通电直导线周围产生的环形磁场，其强度随电流增大而增强。 ### 磁场的基本物理量 (核心公式) | 物理量名称 | 符号与单位 | 概念定义与物理意义 | | :--- | :--- | :--- | | **磁感应强度** | **$B$** (特斯拉 T) | 表征磁场强弱与方向的矢量，也称磁通密度。 | | **磁通量** | **$\Phi$** (韦伯 Wb) | 穿过某一截面 $S$ 的磁感应强度通量。 | | **磁导率** | **$\mu$** (亨/米 H/m) | 表示介质导磁性能的物理量。 | | **磁场强度** | **$H$** (安/米 A/m) | 独立于介质磁化性质的辅助矢量。 | #### 相关计算公式： * **磁通与磁感应强度的关系**： **$$\Phi = B \cdot S \cos \alpha \implies B = \frac{\Phi}{S}$$** * **变量含义**：$\Phi$ 为磁通（Wb）；$B$ 为磁感应强度（T）；$S$ 为垂直于磁场方向的截面积（m²）。 * **磁导率定义**： **$$\mu = \mu_r \mu_0$$** * **变量含义**：$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{H/m}$（真空磁导率）；$\mu_r$ 为相对磁导率（空气约等于 1，铁磁材料远大于 1）。 * **$B$ 与 $H$ 的关系**： **$$B = \mu H \implies H = \frac{B}{\mu}$$** * **变量含义**：$H$ 为磁场强度（A/m）。 ### 磁性材料的分类与特性 #### 按磁导率分类 * **顺磁物质**：$\mu_r$ 稍大于 1（如空气、铝）。 * **反磁物质**：$\mu_r$ 稍小于 1（如铜、水）。 * **铁磁物质**：$\mu_r \gg 1$（如铁、硅钢），且 $\mu$ 不是常数。 #### 铁磁材料的三大特性 1. **高导磁性**：能用较小的电流产生极大的磁感应强度，是电机和变压器铁心的理论依据。 2. **磁饱和性**：当外磁场 $H$ 增大到一定程度时，$B$ 不再随之显著增加。 3. **磁滞性**：当磁场 $H$ 改变方向时，磁感应强度 $B$ 的变化滞后于 $H$。 #### 铁磁材料的分类 (根据磁滞回线) * **软磁材料**：磁导率高，**剩磁 $B_r$ 和矫顽力 $H_c$ 小**，易磁化也易去磁。常用于变压器、电机铁心（如硅钢片）。 * **硬磁材料 (永磁材料)**：磁滞回线宽，**矫顽力 $H_c$ 大**，一旦磁化后能保持强磁性。常用于永久磁铁。 * **矩磁材料**：磁滞回线近矩形，极小电流即可使其饱和。常用于计算机存储磁芯。 ### 磁路的基本定律 (重要扩展) 磁路与电路具有高度相似性，是分析电机与变压器的核心工具。 * **安培环路定律**：沿任何闭合路径，磁场强度 $H$ 的线积分等于该路径包围的电流代数和。 **$$\oint H \cdot dl = \sum I = NI$$** * **变量含义**：$N$ 为线圈匝数；$I$ 为电流；$H$ 为磁场强度；$l$ 为磁路平均长度。 * **磁路的欧姆定律 (Ohm's Law for Magnetic Circuits)**： **$$\Phi = \frac{NI}{R_m} = \frac{F_m}{R_m}$$** * **连等推导**：$\Phi = B \cdot S = \mu H \cdot S = \mu \frac{NI}{l} \cdot S = \frac{NI}{l / (\mu S)}$。 * **变量含义**：$F_m = NI$ 为**磁动势**（A）；$R_m = \frac{l}{\mu S}$ 为**磁阻**（1/H）。 * **磁路的基尔霍夫定律**： 1. **第一定律 (KCL类比)**：$\sum \Phi = 0$。流向任一节点的磁通代数和为零。 2. **第二定律 (KVL类比)**：$\sum NI = \sum Hl = \sum \Phi R_m$。沿任一闭合磁路的磁压降之和等于总磁动势。 ## 磁路与磁路的基本定律 ### 磁路 (Magnetic Circuit) 的基本概念 * **概念定义**：为了在空间某个区域获得较强的磁场，通常采用高磁导率的铁磁材料制成一定形状的铁心，磁通主要闭合在铁心及其包围的气隙中。 * **例子**：变压器的铁心、电动机的定子与转子铁心，以及它们之间的气隙。 ### 磁路的基本定律 (核心知识点) #### 安培环路定律 (Ampere's Circuital Law) —— 磁路理论的基础 * **内容**：磁场强度 $H$ 沿任何闭合路径的线积分，等于该路径所包围的电流的代数和。 * **公式**：$$\oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \sum I = NI$$ * **变量含义**： * $H$：磁场强度（A/m）。 * $l$：闭合路径的长度（m）。 * $N$：线圈匝数。 * $I$：流过线圈的电流（A）。 * $NI$：称为**磁动势** ($F_m$)，单位是安培 (A)。 #### 磁路的欧姆定律 (Ohm's Law for Magnetic Circuits) * **概念**：描述磁路中磁通、磁动势与磁阻之间关系的定律。 * **公式连等推导**：由 $B = \mu H$ 且 $H = NI/l$，代入磁通公式 $\Phi = BS$： $$\Phi = BS = \mu H S = \mu \frac{NI}{l} S = \frac{NI}{l / (\mu S)} = \frac{F_m}{R_m}$$ * **变量含义**： * $\Phi$：磁通量（Wb）。 * $F_m = NI$：磁动势（A）。 * $R_m = \frac{l}{\mu S}$：**磁阻**（1/H），表示磁路对磁通的阻碍作用。 * $\mu$：磁导率（H/m）；$S$：磁路截面积（$m^2$）；$l$：磁路平均长度（m）。 * **注意**：铁磁物质的 $\mu$ 不是常数，因此磁阻 $R_m$ 是非线性的，该定律常用于定性分析。 #### 磁路的基尔霍夫第一定律 (类比 KCL) * **内容**：穿过磁路中任一封闭面的磁通代数和恒等于零。 * **公式**：$$\sum \Phi = 0$$ * **物理意义**：磁力线是闭合曲线，没有起点和终点（无散性）。 #### 磁路的基尔霍夫第二定律 (类比 KVL) * **内容**：沿磁路中任一闭合路径，各段磁压降的代数和等于该路径上所有磁动势的代数和。 * **公式**：$$\sum Hl = \sum NI \quad \text{或} \quad \sum \Phi R_m = \sum F_m$$ * **变量含义**：$Hl$ 称为磁压降（也记作 $U_m$），其符号取决于 $H$ 的方向与回路绕行方向是否一致。 --- ::: {.callout-note} ## 磁路与电路的对应关系 | 磁路量 | 符号 | 电路对应量 | 符号 | |:--|:--|:--|:--| | 磁通势 | $F = NI$ | 电动势 | $E$ | | 磁通量 | $\Phi$ | 电流 | $I$ | | 磁阻 | $R_m = l/(\mu A)$ | 电阻 | $R$ | | 磁路欧姆定律 | $\Phi = F/R_m$ | 欧姆定律 | $I = E/R$ | ::: ### 磁路与电路的比较总结 | 物理量/定律 | 电路 (Electric Circuit) | 磁路 (Magnetic Circuit) | | :--- | :--- | :--- | | **驱动源** | 电动势 $E$ | 磁动势 $F_m = NI$ | | **响应量** | 电流 $I$ | 磁通 $\Phi$ | | **阻力项** | 电阻 $R = \rho \frac{l}{S}$ | 磁阻 $R_m = \frac{l}{\mu S}$ | | **欧姆定律** | $I = E/R$ | $\Phi = F_m/R_m$ | | **节点定律** | $\sum I = 0$ (KCL) | $\sum \Phi = 0$ | | **回路定律** | $\sum IR = \sum E$ (KVL) | $\sum Hl = \sum NI$ | --- ### 磁路与电路的本质区别 1. **漏磁现象**：电路中几乎没有漏电（导线外绝缘好），但磁路中由于没有绝对的磁绝缘体，铁心外的空间仍有少量磁通经过，称为**漏磁通**。 2. **能量损耗**：电流流过电阻会持续消耗能量并产生热量；而在恒定磁通的磁路中，磁阻**不消耗能量**。 3. **线性度**：电阻常为线性常数，而铁磁材料的磁导率 $\mu$ 随磁场强度变化，导致磁路具有强烈的**非线性**。 ## 电磁铁 ### 电磁铁的基本概念 * **定义**：电磁铁是利用**通电铁心线圈**产生磁场，从而吸引衔铁或保持某种机械零件处于固定位置的一种电器。 * **工作过程**：当线圈通电时，产生磁力吸引衔铁动作；当电源断开时，磁性消失，衔铁在弹簧力或自重作用下释放。 * **组成结构**：主要由**线圈 (Coil)**、**铁心 (Iron core)** 及**衔铁 (Armature)** 三部分组成。 * **应用举例**：电磁起重机、电磁继电器、接触器的电磁操作机构等。 ### 电磁铁吸力的计算公式吸力（Attraction Force）是电磁铁的主要参数，其大小由磁场能量的虚位移法推导得出。 * **计算公式**： **$$F = \frac{B^2 S}{2\mu_0}$$** * **变量含义**： * **$F$**：电磁吸力，单位为牛顿（N）。 * **$B$**：气隙中的磁感应强度，单位为特斯拉（T）。 * **$S$**：气隙磁场穿过的截面积，单位为平方米（$m^2$）。 * **$\mu_0$**：真空磁导率，常取 $4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$。 --- ### 直流电磁铁与交流电磁铁的区别这是学习中的重点，两者的结构、运行特性及安全注意事项均有显著差异。 #### 结构材料的区别 * **交流电磁铁**：磁场随时间交变，为减小铁心中的涡流损耗（铁损），其**铁心由硅钢片叠成**。 * **直流电磁铁**：磁场恒定，不存在铁损，因此铁心可以用**整块软钢**制成。 #### 衔铁吸合过程中的电流变化（秦曾煌教材重点） * **直流电磁铁**：线圈电流 $I = U/R$ 仅由电阻决定。因此在衔铁吸合过程中，气隙的变化不影响电流大小，**电流保持恒定**。 * **交流电磁铁**：线圈电流 $I \approx U/X_L$ 主要受感抗限制。当衔铁未吸合（气隙大）时，磁阻大，电感 $L$ 小，感抗 $X_L$ 小，导致**电流很大**；随着衔铁吸合，气隙减小，电感增大，电流随之减小。 * **例子与风险**：若交流电磁铁由于机械故障被卡住导致衔铁无法吸合，线圈中将持续流过数倍于正常工作的电流，极易导致**线圈过热甚至烧毁**。 #### 振动与噪声问题（交流电磁铁特有） * **现象**：在交流电磁铁中，磁场按正弦规律交变，根据吸力公式 $F \propto B^2$，吸力以**两倍电源频率**（如工频 50Hz 对应 100Hz）在零与最大值之间波动，导致衔铁颤动并产生噪声。 * **吸力公式推导（连等式）**：设 $B = B_m \sin \omega t$，代入吸力公式得： **$$f = \frac{B_m^2 S_0}{2\mu_0} \sin^2 \omega t = \frac{B_m^2 S_0}{2\mu_0} \cdot \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} = \frac{1}{2} F_m - \frac{1}{2} F_m \cos 2\omega t$$** * 其中 $F_m$ 为最大吸力。计算吸力通常取一个周期内的平均值：**$F = \frac{1}{2} F_m$**。 --- ### 分磁环（短路环）的作用 * **概念**：为了消除交流电磁铁的颤动，在磁极的部分端面上套一个铜质的环，称为**分磁环**（或短路环）。 * **原理**： 1. 主磁通的一部分穿过分磁环，在环内产生感应电流并激发出辅助磁通 $\Phi_2$。 2. 由于分磁环的阻感作用，$\Phi_2$ 与未穿过环的主磁通 $\Phi_1$ 之间产生**相位差**。 3. 这使得两部分磁通产生的吸力不同时为零。总吸力（两者之和）在任何瞬间都大于零，从而**消除了衔铁的颤动和噪声**。 ### 总结对比表 | 特性 | 直流电磁铁 | 交流电磁铁 | | :--- | :--- | :--- | | **铁心构造** | 整块软钢 | | **线圈电流** | 恒定，不随气隙变化 | | **吸力特性** | 恒定吸力 | | **常见故障** | 机械卡死影响动作 | 衔铁未吸合会导致线圈烧毁 | ## 变压器 ### 变压器的基本构造与分类 * **基本构造**：主要由**铁心**和绕在铁心上的两个或多个**绕组**组成。 * **原绕组（初级绕组）**：接电源的一侧，匝数为 $N_1$。 * **副绕组（次级绕组）**：接负载的一侧，匝数为 $N_2$。 * **分类**：按用途可分为电力变压器、特种变压器（如自耦变压器、仪用变压器）和脉冲变压器等。 ::: {.callout-important} ## 理想变压器三大变换公式设匝数比 $n = N_1/N_2$： | 变换量 | 公式 | |:--|:--| | 电压变换 | $U_1/U_2 = N_1/N_2 = n$ | | 电流变换 | $I_1/I_2 = N_2/N_1 = 1/n$ | | 阻抗变换 | $Z_1' = n^2 Z_2$ | ::: ### 变压器的工作原理与三大变换公式变压器的核心功能是实现电压、电流和阻抗的变换。 #### 电压变换 (Voltage Transformation) * **原理**：根据法拉第电磁感应定律，穿过原、副绕组的主磁通 $\Phi$ 在两绕组中分别产生感应电动势 $e_1$ 和 $e_2$。 * **公式推导（连等式）**：在忽略绕组电阻和漏磁通的理想情况下： **$$ \frac{\dot{U}_1}{\dot{U}_2} \approx \frac{\dot{E}_1}{\dot{E}_2} = \frac{N_1 \frac{d\Phi}{dt}}{N_2 \frac{d\Phi}{dt}} = \frac{N_1}{N_2} = k $$** * **变量含义**：$U_1, U_2$ 为原、副边电压有效值；$N_1, N_2$ 为匝数；**$k$ 为变比**（匝数比）。 * $k > 1$ 为降压变压器；$k < 1$ 为升压变压器。 #### 电流变换 (Current Transformation) * **原理**：基于能量守恒（理想状态下输入功率等于输出功率）或磁动势平衡原理。 * **公式推导**：对于理想变压器，$P_1 = P_2 \implies U_1 I_1 = U_2 I_2$。 **$$ \frac{I_1}{I_2} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{k} $$** * **结论**：变压器原、副绕组的电流有效值之比与它们的匝数成反比。 #### 阻抗变换 (Impedance Transformation) * **原理**：从原边看进去的等效阻抗 $Z'$ 与负载阻抗 $Z$ 的关系。 * **公式推导**： **$$ Z' = \frac{\dot{U}_1}{\dot{I}_1} = \frac{k\dot{U}_2}{\dot{I}_2/k} = k^2 \frac{\dot{U}_2}{\dot{I}_2} = k^2 Z $$** * **应用例子**：在电子电路中常用于**阻抗匹配**，如将 8Ω 的扬声器通过变比 $k=6$ 的变压器接到放大器，原边得到的电阻为 $6^2 \times 8 = 288\Omega$。 --- ### 理想变压器 (Ideal Transformer) 邱关源教材强调，理想变压器是一个极限电路模型，需满足以下三个条件： 1. **无损耗**：绕组电阻 $R_1 = R_2 = 0$。 2. **全耦合**：耦合系数 $k=1$，无漏磁通。 3. **参数无穷大**：自感 $L_1, L_2$ 和互感 $M$ 均为无穷大，但 $\sqrt{L_1/L_2} = N_1/N_2$ 保持常数。 * **伏安关系**：$\dot{U}_1 = n \dot{U}_2$，$i_1 = -\frac{1}{n} i_2$（此处 $n = N_1/N_2$）。 --- ### 变压器的极性与同名端 * **同名端（极性）**：当两个绕组电流从对应端流入时，它们产生的磁通方向相同，则这两个端点互为同名端，用“·”标出。 * **连接意义**：判别绕组极性是变压器并联运行及绕组串、并联连接的先决条件。 --- ### 变压器的损耗与效率变压器在能量传输过程中存在两类损耗： 1. **铁损 ($\Delta P_{Fe}$)**：由铁心中的磁滞和涡流产生，大小与铁心内感应强度最大值 $B_m$ 有关，**与负载大小无关**。 2. **铜损 ($\Delta P_{Cu}$)**：绕组电阻消耗的功率，**与负载电流的平方成正比**。 * **效率公式**： **$$ \eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + \Delta P_{Fe} + \Delta P_{Cu}} \times 100\% $$** --- ### 特殊变压器 * **自耦变压器**：原、副绕组共用一部分绕组，主要优点是节省材料、体积小，但原副边有电的联系，使用需注意安全。 * **三相变压器**：工业生产中常用，连接方式有 Y/Y、Y/$\Delta$ 等。高压侧常接成 Y 形以降低绝缘要求，低压侧接成 $\Delta$ 形以减小导线截面。 ### 额定值参数 * **额定容量 ($S_N$)**：在额定运行时能输送的最大视在功率，单位为 $V \cdot A$ 或 $kV \cdot A$。 * 单相：$S_N = U_{1N} I_{1N} = U_{2N} I_{2N}$。 * 三相：$S_N = \sqrt{3} U_{1N} I_{1N}$。 # 电动机 ## 三相异步电动机的结构和工作原理 ### 三相异步电动机的构造 (Structure) 异步电动机主要由**定子**和**转子**两大部分组成，定、转子之间有很小的空气隙。 * **定子 (Stator)**：电动机的不动部分。 * **定子铁心**：由表面绝缘的**硅钢片**叠压而成，用以减少铁损，内圆冲有槽孔以嵌置绕组。 * **定子绕组**：三相绕组（U、V、W）在空间互差 **120°**，根据电源电压可接成**星形(Y)**或**三角形($\Delta$)**。 * **机座**：固定铁心和端盖。 * **转子 (Rotor)**：电动机的旋转部分。 * **鼠笼式 (Squirrel Cage)**：转子铁心槽内嵌有铜条（或铸铝），两端用短路环焊接，结构简单坚固。 * **绕线式**：转子绕组与定子类似，通过滑环和电刷接入外电路（如起动电阻）。 ### 旋转磁场的产生 (Rotating Magnetic Field) 这是异步电动机工作的核心前提。 * **产生条件**：在定子三相对称绕组中通入三相对称交流电。 * **物理现象**：合成磁场随电流的交变在空间不断旋转。 * **旋转方向**：由三相电流的**相序**决定。若要改变转向，只需对调接入电源的任意两根接线（即改变相序）。 ### 同步转速 ($n_0$) 的计算旋转磁场的转速称为同步转速，其大小取决于电源频率 $f_1$ 和电动机的极对数 $p$。 **公式与变量含义**： **$$n_0 = \frac{60f_1}{p}$$** * **$n_0$**：同步转速（r/min）。 * **$f_1$**：电源频率（我国工频为 50Hz）。 * **$p$**：电动机磁极对数（如 2 极电机 $p=1$，4 极电机 $p=2$）。 ### 三相异步电动机的工作原理 (Working Principle) 其工作过程遵循电磁感应定律和电磁力定律： 1. **旋转磁场**切割转子导体，产生**感应电动势** $e$。 2. 由于转子绕组闭合，产生**感应电流** $i$。 3. 载流导体在磁场中受到**电磁力** $F$ 的作用，产生驱动转子旋转的**电磁转矩** $T$。 4. **转子转速 $n$ 始终低于同步转速 $n_0$**（故称“异步”），否则磁场不再切割导体，转矩消失。 ::: {.callout-important} ## 转差率 $s$ $$s = \frac{n_0 - n}{n_0}$$ - 额定运行时 $s_N \approx 0.01 \sim 0.06$（1%—6%） - $s=0$：同步（理想空载）；$s=1$：启动瞬间（堵转） ::: ### 转差率 (Slip, $s$) 转差率是描述异步电动机运行状况的最重要物理量，表示转子转速落后于磁场转速的程度。 **定义公式及推导**： **$$s = \frac{n_0 - n}{n_0} \times 100\%$$** * **变量含义**：$n_0$ 为同步转速，$n$ 为转子转速。 * **特殊状态下的数值**： * **启动瞬间**：$n=0$，则 **$s=1$**。 * **空载运行**：$n$ 接近 $n_0$，**$s$ 极小**（约 0.5%）。 * **额定负载**：**$s_N$** 通常在 **1% ~ 9%** 之间。 ### 转子感应电动势与频率的关系转子绕组中感应电势的频率 $f_2$ 取决于磁场切割转子的速率。 **连等式简单推导**：旋转磁场与转子的相对转速为 $n_0 - n$，则： **$$f_2 = p \cdot \frac{n_0 - n}{60} = p \cdot \frac{s \cdot n_0}{60} = s \cdot \frac{60f_1}{60} = s \cdot f_1$$** * **含义**：转子频率等于转差率乘以电源频率。在运行中，$f_2$ 远低于 $f_1$。 ### 概念应用例子 **例子**：一台四极（$p=2$）异步电动机，接入 50Hz 电源，额定负载下转速为 $n = 1440 \text{r/min}$。 1. **计算同步转速**：$n_0 = 60 \times 50 / 2 = 1500 \text{r/min}$。 2. **计算额定转差率**：$s_N = (1500 - 1440) / 1500 = 0.04$（即 4%）。 3. **计算转子电流频率**：$f_2 = 0.04 \times 50 = 2 \text{Hz}$。 ## 三相异步电动机的电路分析 ### 核心概念：电磁类比关系 * **变压器类比**：异步电动机的电磁关系与变压器非常相似。**定子绕组**相当于变压器的**原绕组（一次侧）**，**转子绕组**相当于**副绕组（二次侧）**。 * **本质区别**：变压器是静止的，而电动机的转子是**旋转**的。此外，电动机的磁路中存在一个很小的**空气隙**。 * **主磁通 ($\Phi_m$)**：旋转磁场的主磁通同时交链着定子和转子绕组，在两边感应出感应电动势。 --- ### 定子电路分析 (Stator Circuit) 定子电路接在三相交流电源上，产生旋转磁场。 * **定子感应电动势 ($E_1$)**： **$$E_1 = 4.44 f_1 N_1 \Phi_m$$** * **变量含义**：$f_1$ 为电源频率；$N_1$ 为定子每相绕组匝数；$\Phi_m$ 为每极主磁通。 * **电压平衡方程**： $\dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_1 R_1 + \dot{I}_1 j X_{1\sigma} \approx -\dot{E}_1$。在工程分析中，通常忽略定子阻抗降，认为 **$U_1 \approx E_1 \propto \Phi_m$**。即主磁通的大小主要由电源电压决定。 --- ### 转子电路分析 (Rotor Circuit) —— **本节重点** 转子导体在旋转磁场中感应电流，其电特性随转速（转差率 $s$）变化。 #### 转子频率与感应电动势 * **转子频率 ($f_2$)**：$f_2 = s f_1$。 * **转子电动势 ($E_2$) 的推导**：转子在运行状态下的感应电动势 $E_2$ 取决于旋转磁场切割转子的相对速度。 **$$E_2 = 4.44 f_2 N_2 \Phi_m = 4.44 (s f_1) N_2 \Phi_m = s (4.44 f_1 N_2 \Phi_m) = s E_{20}$$** * **变量含义**：$s$ 为转差率；$E_{20}$ 为转子在**不转动（站住）时**的感应电动势。 #### 转子抗阻与电流 * **转子漏电抗 ($X_2$) 的推导**：漏电抗与频率成正比。 **$$X_2 = 2 \pi f_2 L_{2\sigma} = 2 \pi (s f_1) L_{2\sigma} = s (2 \pi f_1 L_{2\sigma}) = s X_{20}$$** * **变量含义**：$X_{20}$ 为转子在站住时的漏电抗；$L_{2\sigma}$ 为转子漏电感。 * **转子电流 ($I_2$)**： **$$I_2 = \frac{E_2}{Z_2} = \frac{s E_{20}}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}}$$** * **变量含义**：$R_2$ 为转子绕组电阻（常数）。 #### 转子功率因数 ($\cos \phi_2$) * **公式**： **$$\cos \phi_2 = \frac{R_2}{Z_2} = \frac{R_2}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}}$$** * **特性分析**：在启动瞬间（$s=1$），$s X_{20}$ 很大，导致 $\cos \phi_2$ 非常低。随着转速升高（$s$ 减小），$\cos \phi_2$ 会逐渐增大并接近 1。 --- ### 知识点总结与例子 * **启动瞬间特性**：在启动瞬间（$n=0, s=1$），$E_2$ 和 $X_2$ 均达到最大值，因此**启动电流 $I_{2st}$ 很大**，但由于 $X_2$ 的存在，转子电流滞后电动势的角度很大，导致**功率因数很低**。 * **例子**：若一台电动机在额定运行（$s_N = 0.04$）时的转子频率 $f_2$ 为 $0.04 \times 50 = 2\text{Hz}$。此时由于频率极低，转子漏电抗 $X_2$ 几乎可以忽略不计，转子电路近似呈现**纯电阻性**，功率因数很高。 ### 三要素法/叠加定理应用提醒虽然本节主要是交流稳态分析，但秦曾煌教材提醒，分析电动机的电磁感应时要始终注意磁场方向（右手定则）与载流导体受力方向（左手定则）的协调，这决定了电动机是运行在电动机状态还是制动状态。 ## 三相异步电动机的电磁转矩和机械特性 ### 电磁转矩 ($T$) 的基本概念 * **概念**：驱动电动机旋转的力矩，是由旋转磁场的每极磁通 $\Phi$ 与转子导体中的电流 $I_2$ 相互作用产生的。 * **物理意义**：电磁转矩的大小表征了电动机拖动生产机械能力的大小。 ### 电磁转矩的公式推导与变量含义异步电动机的转矩有两种主要的数学表示方式： #### 物理表达式（定性分析常用） $$T = K_T \Phi I_2 \cos \phi_2$$ * **变量含义**： * $T$：电磁转矩，单位为牛顿·米 (N·m)。 * $K_T$：与电动机结构有关的常数。 * $\Phi$：旋转磁场每极磁通量 (Wb)。 * $I_2$：转子电流有效值 (A)。 * $\cos \phi_2$：转子电路的功率因数。 #### 参数表达式（定量计算与特性分析）通过转子电路分析，将 $I_2$ 和 $\cos \phi_2$ 代入上式，可推导出包含电源电压和转差率的连等式： $$T = K_T \Phi I_2 \cos \phi_2 \propto U_1 \cdot \frac{s E_{20}}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}} \cdot \frac{R_2}{\sqrt{R_2^2 + (s X_{20})^2}} = K \frac{s R_2 U_1^2}{R_2^2 + (s X_{20})^2}$$ * **核心结论**：电磁转矩 $T$ 与定子每相电压的平方 ($U_1^2$) 成正比。 * **变量含义补充**： * $U_1$：定子绕组相电压。 * $s$：转差率。 * $R_2$：转子电阻。 * $X_{20}$：转子不动（$s=1$）时的每相漏电抗。 --- ### 机械特性曲线 * **定义**：在电源电压 $U_1$ 和转子电阻 $R_2$ 一定的条件下，转速 $n$ 与转矩 $T$ 的关系曲线 $n = f(T)$，或转矩 $T$ 与转差率 $s$ 的关系曲线 $T = f(s)$。 * **分段特征**： * **稳定运行区**：当负载转矩发生微小变化时，电动机能自动调节转矩平衡负载，对应的转差率范围较小。 * **不稳定运行区**：当负载转矩超过最大转矩时，转速会迅速下降直到停转（堵转），此时电流剧增，易烧毁电机。 --- ::: {.callout-note} ## 三种关键转矩 | 转矩 | 符号 | 意义 | |:--|:--|:--| | 额定转矩 | $T_N = 9550 P_N/n_N$ | 正常运行力矩 | | 最大转矩 | $T_{max} = \lambda_m T_N$ | 过载能力（$\lambda_m \approx 1.8\text{-}2.5$） | | 启动转矩 | $T_{st} = \lambda_{st} T_N$ | 直接启动力矩（$\lambda_{st} \approx 1.0\text{-}2.0$） | ::: ### 三个核心转矩指标 #### 额定转矩 ($T_N$) * **概念**：电动机在额定负载、额定转速下运行时的转矩。 * **计算公式**： $$T_N = 9550 \frac{P_{2N}}{n_N}$$ * $P_{2N}$：额定输出功率 (kW)。 * $n_N$：额定转速 (r/min)。 #### 最大转矩 ($T_m$) * **概念**：电动机能产生的极限驱动转矩。 * **特性**：$T_m$ 与 $U_1^2$ 成正比，但**与转子电阻 $R_2$ 无关**。 * **过载能力**：$\lambda = T_m / T_N$，通常 $\lambda$ 在 1.8~2.2 之间。 #### 启动转矩 ($T_{st}$) * **概念**：启动瞬间（$n=0, s=1$）产生的转矩。 * **特性**：$T_{st}$ 既与 $U_1^2$ 成正比，也与 $R_2$ 有关。 * **例子**：对于绕线式异步电动机，可以通过在转子电路中串入适当电阻来增大 $R_2$，从而提高启动转矩，这适用于需要重载启动的机械，如吊车。 ### 学习总结与注意事项 * **电压波动的影响**：由于 $T \propto U_1^2$，当电源电压下降（例如下降到额定值的 90%）时，最大转矩会大幅度下降（下降到额定值的 81%），可能导致电动机无法带动负载而出现“闷车”。 * **堵转风险**：一旦电动机堵转（堵转时 $s=1$），定子电流会迅速升高至额定电流的 5~7 倍，需及时切断电源。 ## 三项异步电动机的使用 ::: {.callout-tip} ## 铭牌参数速查 - **额定功率** $P_N$：轴输出机械功率（kW） - **额定转速** $n_N$：额定负载下转速（r/min） - **额定电流** $I_N$：额定负载时定子线电流（A） - **额定电压** $U_N$：定子额定线电压（V） - **功率因数** $\cos\varphi_N$：额定负载时 ::: ### 三相异步电动机的铭牌数据 (Nameplate Data) 铭牌是正确使用电动机的依据，包含了电动机在额定运行状态下的主要技术指标。 * **型号**：反映电动机的类型、机座高度、长度及极数。例如 Y132M-4，“Y”表示三相异步电动机，“4”表示磁极数为 4（极对数 $p=2$）。 * **额定功率 ($P_N$)**：电动机在额定运行状态下，轴上输出的**机械功率**。 * **额定电压 ($U_N$)**：定子绕组应加的**线电压**有效值。 * **额定电流 ($I_N$)**：额定运行时定子绕组的**线电流**有效值。 * **额定频率 ($f_N$)**：我国工频为 $50\text{Hz}$。 * **额定转速 ($n_N$)**：额定负载下的转子转速。 * **效率 ($\eta_N$)**：输出机械功率与输入电功率之比。 * **功率因数 ($\cos\phi_N$)**：由于电动机是感性负载，额定负载时通常在 0.7~0.9 之间。 **核心计算公式（连等式推导）**：额定输出功率与电参数的关系： **$$P_N = P_{in} \cdot \eta_N = \sqrt{3} U_N I_N \cos\phi_N \cdot \eta_N$$** * **变量含义**：$P_N$ 为输出功率（W）；$U_N, I_N$ 为线值；$\cos\phi_N$ 为额定功率因数；$\eta_N$ 为额定效率。 --- ### 电动机的启动 (Starting) 启动是指电动机接通电源由静止加速到额定转速的过程。 * **核心问题**：启动瞬间转差率 $s=1$，转子感应电动势大，导致启动电流 $I_{st}$ 很大（约为额定电流的 5~7 倍），可能引起电网电压波动。 * **启动要求**：启动转矩足够大，且启动电流在允许范围内。 #### 直接启动适用于容量较小或对电网冲击影响不大的场合。 #### 降压启动 (Reduced Voltage Starting) * **星-三角 (Y-$\Delta$) 降压启动**：启动时定子接成 Y 形，正常运行时换接成 $\Delta$ 形。 * **推导（电流关系）**：启动电流 $I_{LY} = \frac{U_L}{\sqrt{3}|Z|}$；直接启动电流 $I_{L\Delta} = \sqrt{3} \frac{U_L}{|Z|}$。 **$$\frac{I_{LY}}{I_{L\Delta}} = \frac{U_L / (\sqrt{3}|Z|)}{\sqrt{3} U_L / |Z|} = \frac{1}{3}$$** * **结论**：启动电流和启动转矩均降为直接启动时的 **$1/3$**。仅适用于正常运行时为 $\Delta$ 接法的电机，且仅适用于轻载或空载启动。 * **自耦变压器降压启动**：利用自耦变压器抽头降低启动电压。电流和转矩均降为全压启动时的 **$1/k^2$**（$k$ 为变比）。 #### 绕线式电动机转子串电阻启动 * **概念**：在转子电路中串入电阻以增大启动转矩并减小启动电流。 * **例子**：吊车起重时，通过转子串电阻获得极大的启动转矩以克服重物惯性。 --- ### 电动机的调速 (Speed Control) 调速是指人为改变电动机的转速。 **公式依据**： **$$n = n_0(1-s) = \frac{60f_1}{p}(1-s)$$** * **变频调速 (VFD)**：改变电源频率 $f_1$。这是目前最理想、应用最广的方法。 * **变极调速**：改变定子绕组极对数 $p$。属于有级调速。 * **变转差率调速**：仅适用于绕线式电机，通过改变转子电路电阻实现。 --- ### 反转与制动 (Reversing and Braking) * **反转**：只需任意**对调接入电源的两根导线**，即可改变旋转磁场的转向，从而实现反转。 * **制动方法**： * **能耗制动 (Dynamic Braking)**：切断交流电后，向定子绕组通入**直流电**。转子受力产生制动转矩。制动平稳，但需直流电源。 * **反接制动 (Plugging)**：突然改变相序产生反向转矩。制动迅速，但冲击电流大，需串电阻保护。 --- ### 电动机的选用 (Selection) 选择电动机应遵循实用、合理、经济、安全的原则。 * **种类选择**：一般场合选鼠笼式；启动转矩要求高或需平滑调速时选绕线式。 * **容量选择**：功率需匹配。过大会导致“大马拉小车”，效率和功率因数低；过小会导致“小马拉大车”，电机过载烧毁。 * **结构选择**：根据工作环境选择开启式、防护式、封闭式或防爆式。 ## 单相异步电动机 ### 单相异步电动机的结构与问题 (Structure and Starting Problem) * **基本构造**：定子上通常有两个绕组（主绕组和辅助绕组），转子为**鼠笼式**结构。 * **核心问题（起动困难）**：单相交流电通入定子绕组时，产生的是一个**脉动磁场**（大小随时间变化，轴线位置固定），而不是旋转磁场。 * **物理特性**：在静止状态（$n=0$）下，脉动磁场分解为两个大小相等、转向相反的旋转磁场，它们产生的转矩相互抵消，故**单相异步电动机没有自起动能力**。 * **例子**：如果直接给只有一个绕组的单相电机通电，它只会发出嗡嗡声而不转动；但如果你用手朝任意方向拨动一下，它就能顺着该方向转起来。 --- ### 电容分相式异步电动机 (Capacitor Split-phase Motor) 这是解决起动问题最常用的方法。 #### 工作原理 * **概念（分相）**：在定子中放置两个在空间相隔 90° 的绕组 A（工作绕组）和 B（起动绕组）。将绕组 B 与一个**电容器 C** 串联，使通过两个绕组的电流在相位上近似相差 90°。 * **旋转磁场的产生**：相位互差 90° 的电流流过空间互差 90° 的绕组，就能产生**旋转磁场**，从而产生起动转矩。 #### 电流关系公式设两相电流分别为 $i_A$ 和 $i_B$： **$$i_A = I_{Am} \sin \omega t$$** **$$i_B = I_{Bm} \sin (\omega t + 90^\circ)$$** * **变量含义**：$I_{Am}, I_{Bm}$ 为两相电流的幅值；$\omega$ 为角频率。由于电容的作用，$i_B$ 在相位上超前 $i_A$ 90°。 --- ### 运行与结构特点 * **离心开关 (S)**：在某些设计中，当电机转速达到额定转速的 75% 左右时，借助于离心力的作用将起动绕组断开，仅由工作绕组运行。 * **起动继电器**：另一种方法是利用电流变化，在起动时由继电器接通起动绕组，转速升高后自动切断。 --- ### 反转与调速 (Reversing and Speed Control) #### 反转方法 * **原理**：改变旋转磁场的转向即可实现反转。 * **操作**：只需将**主绕组（A）或副绕组（B）中的任意一个绕组的两端对调**接线即可。 * **例子**：全自动洗衣机的洗涤状态就是通过定时器控制开关，交替对调绕组接线来实现正反转切换的。 #### 调速方法（以电风扇为例） * **抽头调速**：通过改变电抗线圈（调速电感）的抽头，从而改变加在电动机绕组上的电压有效值来实现调速。 * **琴键开关**：利用开关切换不同的电路节点（如 0 位停止，1、2、3 位分别对应快、中、慢速）。 --- ### 核心知识点小结 | 知识点 | 核心内容摘要 | | :--- | :--- | | **脉动磁场** | 单相电流产生的磁场，不能提供起动转矩。 | | **分相技术** | 利用电容或电感使两相电流产生相位差，从而产生旋转磁场。 | | **起动转矩** | 电容分相后，电机获得起动能力。 | | **反转控制** | 对调任意一个绕组的接线。 | | **应用领域** | 功率不大的家用电器和小型电动工具。 | ## 直流电动机 ### 直流电动机的结构与工作原理 * **基本构造**：主要由**磁极**（产生磁场）、**电枢**（旋转部分，放置电枢绕组）和**换向器**三部分组成。 * **工作原理**：将直流电源接在电刷之间，使电流通入电枢绕组。 * **换向器的作用**：当电枢绕组的有效边从 N 极转到 S 极下时，换向器使绕组中的电流方向同时改变，确保电磁转矩的方向始终不变，从而使电机持续转动。 ### 核心公式与变量含义直流电动机的运行遵循以下三个核心方程： #### 电磁转矩公式 ($T$) **$$T = K_T \Phi I_a$$** * **变量含义**：$T$ 为电磁转矩 (N·m)；$K_T$ 为结构常数；$\Phi$ 为每极磁通 (Wb)；$I_a$ 为电枢电流 (A)。 * **物理意义**：它是电动机的驱动转矩，与磁通和电枢电流成正比。 #### 反电动势公式 ($E$) **$$E = K_E \Phi n$$** * **变量含义**：$E$ 为反电动势 (V)；$K_E$ 为结构常数；$n$ 为电枢转速 (r/min)。 * **概念**：电枢在磁场中转动时产生的感应电动势，其方向与电枢电流和电源电压方向相反。 #### 电压平衡方程 (连等式推导) 根据基尔霍夫电压定律，外加电压 $U$ 需平衡反电动势 $E$ 和电枢绕组的压降： **$$U = E + I_a R_a \implies E = U - I_a R_a$$** * **变量含义**：$U$ 为电源电压 (V)；$R_a$ 为电枢回路电阻 ($\Omega$)。 * **结论**：由于 $R_a$ 通常很小，电源电压主要用来平衡反电动势。 ### 并励电动机的机械特性并励电动机（励磁绕组与电枢绕组并联）最为常用。其机械特性描述了转速 $n$ 与转矩 $T$ 的关系。 * **特性方程推导**：由 $n = \frac{E}{K_E \Phi}$ 和 $E = U - I_a R_a$ 以及 $I_a = \frac{T}{K_T \Phi}$ 代入得： **$$n = \frac{U}{K_E \Phi} - \frac{R_a}{K_E K_T \Phi^2} T = n_0 - \Delta n$$** * **变量含义**：$n_0 = \frac{U}{K_E \Phi}$ 称为**理想空载转速**。 * **特点**：并励电动机的机械特性较“硬”，即负载转矩 $T$ 增大时，转速 $n$ 下降不多。 ### 直流电动机的调速方法根据机械特性方程，可以通过以下三种方式调速： 1. **改变电源电压 ($U$)**：$U$ 降低，转速 $n$ 随之降低。这是一种性能优良的平滑调速法。 2. **改变磁通 ($\Phi$)（弱磁调速）**：通过增大励磁回路电阻使 $\Phi$ 减小，从而提高转速。 * **例子**：某台并励电动机使磁通减小 10%，在负载转矩不变的情况下，转速会相应升高（参考习题 7-5）。 3. **电枢回路串电阻**：增大 $R_a$，使转速降 $\Delta n$ 增大，从而降低转速。但这种方法损耗较大，通常用于启动。 ### 启动与反转 * **启动**：直流电动机启动瞬间 $n=0$，则 $E=0$。由 $I_a = \frac{U - E}{R_a}$ 可知启动电流 $I_{st} = \frac{U}{R_a}$。由于 $R_a$ 极小，直接启动电流极大，通常需要**串电阻启动**。 * **反转**：任意改变**电枢电流方向**或**磁场方向**中的一个，即可实现反转。如果两个方向同时改变，则转向不变。 ### 功率关系 **$$T = 9550 \frac{P_2}{n}$$** * **变量含义**：$P_2$ 为输出机械功率 (kW)；$n$ 为转速 (r/min)。 * **效率 ($\eta$)**：输出机械功率与输入电功率的比值。 # 继电接触器控制 ## 常用低压电器 ### 低压电器的分类低压电器按用途和控制方式主要分为三大类： * **手动控制电器**：依靠人力直接操作。如刀开关、组合开关、按钮等。 * **自动控制电器**：依靠电磁力或其他物理量变化自动动作。如接触器、各类继电器等。 * **保护电器**：用于电路异常时切断电源。如熔断器、热继电器、断路器等。 --- ### 手动控制电器 (Manual Control Appliances) #### 刀开关与组合开关 (QS) * **概念**：最简单的手动电器，用于不频繁接通和断开的电路，或作为隔离开关。 * **例子**：三极刀开关常用于机床电源的引入开关。 #### 按钮 (SB) * **概念**：一种短时接通或断开小电流电路的主令电器。 * **结构分类**： * **动合按钮（常开按钮）**：未按下时断开，按下时闭合。 * **动断按钮（常闭按钮）**：未按下时闭合，按下时断开。 * **复合按钮**：将动断与动合组合，按下时动断先断，动合后合。 --- ### 自动控制电器：交流接触器 (KM) 这是继电接触器控制系统中最核心的元件。 #### 结构与工作原理 * **组成**：主要由**电磁机构**（线圈、铁心、衔铁）、**触点系统**（主触点、辅助触点）和**灭弧装置**组成。 * **动作过程**：线圈通电产生电磁吸力，克服弹簧阻力使衔铁吸合，带动触点动作。 * **辅助触点作用**：主触点接主电路（电流大），辅助触点接控制电路（电流小），用于**自锁**或**联锁**。 #### 核心原理与公式：电磁吸力交流接触器的吸力计算遵循电磁铁原理： * **瞬时吸力公式**： **$$f = \frac{B^2 S}{2\mu_0}$$** * **变量含义**：$f$ 为瞬时吸力（N）；$B$ 为磁感应强度（T）；$S$ 为极面面积（m²）；$\mu_0$ 为真空磁导率。 * **分磁环（短路环）的作用**：交流磁场下吸力会随频率波动产生振动和噪声。通过在铁心端面套入铜制**分磁环**，使主、副磁通产生相位差，确保总吸力时刻大于零，从而消除颤动。 --- ### 保护控制电器 (Protective Appliances) #### 熔断器 (FU) * **概念**：利用电流的热效应使熔体熔断，用于电路的**短路保护**。 * **例子**：若电动机发生相间短路，电流瞬间激增，熔断器需在极短时间内熔断以保护电源。 #### 热继电器 (FR) * **概念**：利用电流的热效应使双金属片受热弯曲，从而推动触点动作，用于电动机的**过载保护**。 * **注意**：由于热惯性，热继电器**不能用于短路保护**，只能用于长期运行的过载监测。 #### 时间继电器 (KT) * **概念**：从得到输入信号（线圈通电或断电）开始，经过一定延时后触点才动作的继电器。 * **例子**：用于电动机 Y-Δ 降压起动中，控制从星形切换到三角形的时间间隔。 --- ### 核心控制逻辑概念 * **自锁 (Self-locking)**：利用接触器自身的辅助常开触点并在起动按钮两端，实现线圈持续供电的功能。 * **联锁/互锁 (Interlocking)**：在两个相反动作的回路中（如正反转），将其中一个接触器的常闭触点串入另一个接触器的线圈回路，防止两者同时吸合造成短路。 * **零压/欠压保护**：当电源掉电或电压过低时，接触器衔铁自动释放，切断主电路，防止电源恢复时电机自行起动造成事故。 ::: {.callout-tip} ## 常用文字符号速查 QS—刀开关，FU—熔断器，KM—接触器，KA—中间继电器，KT—时间继电器，FR—热继电器，SB—按钮，ST—行程开关 ::: ### 常用符号汇总表 | 名称 | 文字符号 | 图形符号特征 | | :--- | :--- | :--- | | **交流接触器线圈** | KM | 矩形框 | | **接触器主触点** | KM | 三对带弧形的触点 | | **热继电器热元件** | FR | 类似波浪线的电阻符号 | | **常开按钮** | SB | 断开状态，操作柄在上方 | | **常闭按钮** | SB | 闭合状态，操作柄在上方 | ## 继电接触器控制线路图的绘制原则 ### 电气控制线路的基本概念 * **定义**：用导线将电动机、电器、仪表等元器件按一定要求连接，实现特定控制功能的电路。 * **原理图 (Schematic Diagram)**：采用国家统一规定的图形符号和文字符号，按工作顺序排列，详细表达电路的工作原理。 ### 绘制原则 (Core Principles) —— **核心知识点** 为了方便阅读与分析，原理图必须遵循以下五个核心原则： #### 主电路与控制电路的分路绘制 * **主电路**：指强电流通过的部分，包括从电源到电动机的电路。由组合开关(QS)、主熔断器(FU)、接触器主触点(KM)、热继电器的热元件(FR)和电动机(M)等组成。 * **绘图要求**：画在图的左侧或上方，用**粗实线**绘制。 * **控制电路**：用于控制主电路的运行，流过的是弱电流。由按钮(SB)、接触器及继电器的线圈及辅助触点、热继电器的触点、保护电器触点等组成。 * **绘图要求**：画在图的右侧或下方，用**细实线**绘制。 #### 标准符号与标注原则 * **图形符号**：必须使用国家规定的标准图形符号（如：$\circ \setminus \circ$ 表示常开触点）。 * **文字符号**：同一电器元件的不同部分（如接触器的线圈、主触点、辅助触点）必须标注**相同的文字符号**（如 KM）。 * **区分标注**：若有多个同类电器，需加数字下标区分，如 $KM_1$、$KM_2$。 #### 元器件状态约定 * **原则**：所有电器的触点均按**“平常状态”**画出。 * **平常状态定义**： 1. 继电器、接触器线圈在**未通电**时的状态。 2. 控制按钮、行程开关在**未受外力作用**时的状态。 3. 闸刀开关、断路器在**断开**位置的状态。 #### 触点布置原则 * 触点在图中不按实际位置画在一起，而是根据功能画在所属的回路中。 * 例如：接触器 KM 的主触点画在主电路，辅助触点和线圈画在控制电路。 #### 连线与交叉约定 * **电气连接点**：导线连接处用**黑圆点**表示。 * **无电气连接**：导线交叉但不连接时，不画黑圆点。 --- ### 控制逻辑的概念与“公式”推导虽然控制线路不常涉及欧姆定律的连等推导，但其逻辑关系可用**布尔逻辑公式**（类似邱关源电路中的逻辑电路分析）来表达。 #### 例子：三相异步电动机直接起动控制（自锁电路） **电路逻辑公式推导**：设控制电路输出（线圈 KM 获电）为 $L$，则： **$$L = (SB_2 + KM_{aux}) \cdot SB_1 \cdot FR$$** * **变量含义**： * **$SB_2$**：起动按钮（动合触点），按下为“1”。 * **$KM_{aux}$**：接触器自锁辅助触点（动合），与起动按钮并联，实现**自锁**功能。 * **$SB_1$**：停止按钮（动断触点），正常状态（未按下）为“1”，按下为“0”。 * **$FR$**：热继电器触点（动断），正常状态（未动作）为“1”，过载时为“0”。 * **逻辑解释（连等逻辑）**：线圈获电 ($L=1$) $\iff$ (按下 $SB_2$ **或** $KM_{aux}$ 已闭合) **且** ($SB_1$ 未按下) **且** ($FR$ 未动作)。 --- ### 典型例证分析（参考图 8-13 ） **自锁 (Self-locking) 过程**： 1. **按下 $SB_2$** $\to$ 线圈 $KM$ 通电 $\to$ $KM$ 主触点闭合（电机运转）及 $KM$ 辅助常开触点闭合。 2. **松开 $SB_2$** $\to$ 电路通过已闭合的 $KM$ 辅助常开触点维持供电 $\to$ 线圈持续通电。 * **意义**：实现连续运行，并具有**失压保护**功能（电源断电后，线圈释放，触点断开，恢复供电时电机不会自动起动，需重新按下 $SB_2$）。 ### 学习总结表 | 绘制项 | 规范要求 | 物理/逻辑意义 | | :--- | :--- | :--- | | **线条粗细** | 主电路粗，控制电路细 | 区分功率回路与逻辑控制回路 | | **排列顺序** | 从左到右，从上到下 | 符合阅读习惯，体现动作先后顺序 | | **触点状态** | 未获电、未受力状态 | 统一绘图基准，便于故障排查 | | **黑圆点** | 导线连接处加注 | 明确电路的物理连接节点 (Nodes) | ## 三相鼠笼式异步电动机的基本控制线路 ### 基本元器件与文字符号在控制线路图中，必须识别各元器件的功能及标准符号： * **QS（组合开关/刀开关）**：电源引入，用于非频繁操作。 * **FU（熔断器）**：用于**短路保护**。 * **KM（交流接触器）**：包括线圈、主触点（接主电路）和辅助触点（接控制电路）。 * **SB（按钮）**：$SB_1$ 常用于停止（动断），$SB_2$ 常用于启动（动合）。 * **FR（热继电器）**：用于电动机的**过载保护**。 ::: {.callout-note} ## 自锁与联锁的区别 - **自锁**：接触器辅助常开触点并联于启动按钮，实现持续运行（松开按钮不停机）。 - **联锁（互锁）**：将一路接触器的常闭触点串入另一路线圈回路，防止两路同时得电（用于正反转防短路）。 ::: ### 直接启动控制线路与自锁 (Self-locking) 这是最基本的连续运行控制电路。 * **核心概念：自锁** * **定义**：利用接触器自身的常开辅助触点与启动按钮并联，在线圈得电后即使松开按钮，线圈仍能通过该辅助触点保持通电状态。 * **例子**：按下启动按钮 $SB_2$，接触器线圈 $KM$ 获电，其辅助常开触点闭合。松开 $SB_2$ 后，电流经由 $KM$ 的辅助触点流过线圈，电机持续运行。 * **保护功能** ： 1. **失压/欠压保护**：当电源掉电时，线圈释放，触点断开。电源恢复时，电机不会自行启动，需重新按下启动按钮，保证安全。 ### 点动控制 (Jogging/Inching) * **概念**：按下按钮电机转动，松开按钮电机停止。 * **实现方法**：去掉自锁触点（即不将 $KM$ 的常开辅助触点并联在启动按钮两端）。 * **应用**：常用于机床的对刀、调整或试机。 ### 正反转控制线路与联锁 (Interlocking) 要实现电动机的反转，必须将接入电源的任意两根线对调。 * **核心概念：联锁（互锁）** * **定义**：为防止两个接触器（如正转 $KM_F$ 和反转 $KM_R$）同时吸合导致电源相间短路，必须在电路中设置相互制约的逻辑关系。 * **方法**： 1. **电气联锁**：将正转接触器的常闭触点串接在反转线圈回路中，反之亦然。 2. **机械联锁（按钮联锁）**：利用复合按钮的动断触点实现先断开另一回路、再接通本回路。 * **逻辑推导（正反转逻辑公式）**：设正转线圈 $KM_F$ 获电为 $L_F$，反转线圈 $KM_R$ 获电为 $L_R$： **$$L_F = SB_{fwd\_start} \cdot \overline{SB}_{stop} \cdot \overline{KM}_R \cdot FR$$** **$$L_R = SB_{rev\_start} \cdot \overline{SB}_{stop} \cdot \overline{KM}_F \cdot FR$$** （含义：正转线圈获电必须满足：按下正转启动按钮 **且** 停止按钮未按下 **且** 反转接触器未吸合 **且** 热继电器未动作）。 ### 多台电动机的联锁控制 * **顺序控制**：要求一台电机启动后另一台才能启动（如先开冷却泵，后开主电机）。 * **实现**：将前一台接触器的常开触点串在后一台的控制回路中。 ### 核心公式与参数关系在分析基本控制线路时，常涉及电机的启动性能指标： * **直接启动电流 ($I_{st}$)** ： **$$I_{st} = (4 \sim 7) I_N$$** * **变量含义**：$I_{st}$ 为直接启动电流有效值；$I_N$ 为额定电流。 * **星-三角 (Y-$\Delta$) 启动电流比例推导（连等式）** ：直接启动时电流 $I_{L\Delta} = \sqrt{3} \frac{U_L}{|Z|}$，星形启动时电流 $I_{LY} = \frac{U_L/\sqrt{3}}{|Z|}$，则： **$$\frac{I_{LY}}{I_{L\Delta}} = \frac{U_L / \sqrt{3} |Z|}{\sqrt{3} U_L / |Z|} = \frac{1}{3}$$** * **结论**：星形启动电流仅为三角形直接启动时的 **$1/3$**。 * **转矩与电压关系** ： **$$T \propto U^2$$** * **含义**：电磁转矩与外加电压的平方成正比。因此降压启动（如 $Y-\Delta$）时，启动转矩也会大幅下降至全压启动时的 $1/3$。 ### 学习小结 | 控制类型 | 核心元件/逻辑 | 目的 | | :--- | :--- | :--- | | **自锁** | 辅助常开触点并联 | 实现连续运行及失压保护 | | **联锁** | 辅助常闭触点串联 | 防止相间短路（正反转必备） | | **短路保护** | 熔断器 (FU) | 瞬间过流保护 | | **过载保护** | 热继电器 (FR) | 长期过载发热保护 | ## 行程控制 ### 行程控制的基本概念 * **定义**：当运动部件到达预定的位置时，利用**行程开关（ST）**接通或断开控制电路，从而实现对生产机械的自动控制。 * **控制目标**：主要包括行程位置控制、**限位保护控制**（防止碰撞）和自动循环控制。 * **例子**：电梯门在完全开启或关闭到预定位置时自动停止；机床工作台到达终点后自动反向行驶。 ### 核心元件：行程开关 (ST) * **概念**：行程开关是一种由机械运动部件的挡块（挡铁）撞动，从而使触点动作的自动电器。 * **动作原理**：运动部件上的挡块压下行程开关的推杆，内部常开触点闭合，常闭触点断开；当挡块离开时，触点在弹簧作用下**自动复位**。 ### 行程控制电路的逻辑分析 (公式推导) 根据典型行程控制电路（如吉培荣教材图 8-17），其控制逻辑可以用布尔逻辑公式表达。以控制运动部件前进（正转 $KM_F$）和后退（反转 $KM_R$）为例： #### 控制逻辑公式推导（连等逻辑）设控制线圈获电状态为 $L$（1为获电，0为失电）： **正转逻辑公式**： **$$L_F = (SB_F + KM_F) \cdot \overline{SB}_1 \cdot \overline{ST}_b \cdot \overline{KM}_R \cdot \overline{FR}$$** **反转逻辑公式**： **$$L_R = (SB_R + KM_R) \cdot \overline{SB}_1 \cdot \overline{ST}_a \cdot \overline{KM}_F \cdot \overline{FR}$$** * **变量含义与推导逻辑**： * **$SB_F, SB_R$**：正/反转启动按钮。 * **$KM_F, KM_R$**：对应接触器的自锁触点（NO）与互锁触点（NC）。 * **$SB_1$**：总停止按钮（NC）。 * **$ST_b$**：**终点行程开关**的常闭触点。当挡块撞动 $ST_b$ 时，$\overline{ST}_b$ 变为 0，导致 $L_F=0$，电动机停止正转。 * **$ST_a$**：**原位行程开关**的常闭触点。用于防止反转过头或控制回程停止点。 * **$FR$**：热继电器触点（过载保护）。 ### 行程控制的三种典型应用 1. **限位保护（Terminal Position Control）**： * 通过在运动轨道末端安装 $ST$，当部件到达极限位置时强行切断电源，防止发生机械事故。 2. **位置启动/切换**： * 利用 $ST$ 的常开触点。当部件到达 A 位置时，撞动 $ST$ 使其闭合，从而启动另一台电动机或开启下一道工序。 3. **自动循环控制（Automatic Cycle）**： * 在两端各设一个 $ST$。挡块撞动一端开关时，先切断正转，同时接通反转，使机械在两个位置间往复运动。 ### 学习总结表 | 知识点 | 关键要素 | 实践意义 | | :--- | :--- | :--- | | **触发方式** | 挡块撞动 | 将**位移信号**转换为**电信号** | | **限位触点** | 串联在接触器线圈回路中 | 实现位置到达后的自动停机 | | **复位特性** | 自动复位 (Auto-reset) | | **安全联锁** | 行程开关触点与按钮、接触器配合 | 确保位置控制与电气逻辑互锁的可靠性 | **邱关源《电路》理论延伸**：在更高级的逻辑分析中，行程控制可以被抽象为**状态机模型**，行程开关的通断即为系统的状态输入约束（Constraint），决定了系统在不同拓扑结构间的切换。 ## 时间控制 ### 核心元件：时间继电器 (Time Relay, KT) * **概念**：时间继电器是一种从得到输入信号（线圈通电或断电）起，经过一定的延时后其触点才动作的继电器。 * **分类（按延时方式）**： * **通电延时型**：线圈得电后开始延时，达到设定时间后触点动作；线圈失电时触点立即复位。 * **断电延时型**：线圈得电后触点立即动作；线圈失电后开始延时，达到设定时间后触点才复位。 * **例子**：走廊里的声控灯。感应到声音（得电）灯亮，声音消失后延时一段时间（断电延时）灯才熄灭。 ### 时间控制的物理基础：暂态与时间常数 (Theoretical Basis) 虽然在工程应用中直接设定继电器的刻度，但其底层原理源于邱关源《电路》及吉培荣《电工技术》第3章讨论的**RC/RL 暂态过程**。延时的时间长短取决于电路的**时间常数 $\tau$**。 * **RC电路公式（充放电延时基础）**： **$$\tau = RC$$** * **变量含义**：$\tau$ 为时间常数（s）；$R$ 为电阻（$\Omega$）；$C$ 为电容（F）。 * **电压随时间变化的规律（连等式推导）**：以电容充电延时为例，电容电压 $u_C$ 达到触发电压的时间决定了延时： **$$u_C(t) = U_{final} + (U_{initial} - U_{final})e^{-t/\tau}$$** 对于零初始状态（$u_C(0)=0$），充电至电源电压 $U$ 的过程为： **$$u_C(t) = U(1 - e^{-t/\tau})$$** * **物理意义**：当 $t=5\tau$ 时，暂态过程基本结束。改变 $R$ 或 $C$ 的大小即可调节延时时间。 ### 典型应用：三相异步电动机 Y-Δ 降压起动控制线这是时间控制在电工技术中最经典的案例，旨在利用时间继电器自动完成起动方式的切换。 #### 控制逻辑过程 1. **按下起动按钮 $SB_2$**： * 主接触器 $KM_1$ 和星形连接接触器 $KM_3$ 线圈获电并自锁，电动机以 **Y 形连接**起动。 * **时间继电器 $KT$** 线圈同时获电并开始计时。 2. **延时到达设定时间**： * $KT$ 的**通电延时断开的常闭触点**断开，使 $KM_3$ 失电（断开星形连接）。 * $KT$ 的**通电延时闭合的常开触点**闭合，使三角形连接接触器 $KM_2$ 线圈获电。 3. **运行状态**：电机切换到 **$\Delta$ 形连接**进入额定运行。 #### 逻辑公式表达设 $L_\Delta$ 为切换到三角形运行的输出逻辑： **$$L_\Delta = KM_1 \cdot KT_{delay\_close} \cdot \overline{KM}_3$$** * **逻辑含义**：切换到三角形运行必须满足：主接触器已闭合 **且** 时间继电器延时时间到 **且** 星形接触器已安全断开（互锁）。 ### 电子式时间控制（555 定时器）在《电工学（下）》电子技术部分，时间控制常由 **555 集成定时器**实现。 * **延时公式**： **$$T_d = 1.1 RC$$** * **含义**：在单稳态触发器电路中，输出脉冲的宽度（即延时时间）仅由外接的 $R$ 和 $C$ 决定。 ### 时间控制的注意事项 * **整定值调节**：实际使用中需根据电机容量和负载性质，调节时间继电器的旋钮（整定值），以确保在电机转速接近额定转速时完成切换。 * **安全联锁**：在 Y-Δ 切换瞬间，必须通过硬件常闭触点设置 **$KM_2$ 与 $KM_3$ 的互锁**，防止因电弧未熄灭导致的电源相间短路。 ### 学习小结表 | 知识点 | 核心要素 | 实践意义 | | :--- | :--- | :--- | | **延时原理** | 电容充放电或空气阻尼 | 将**时间信号**转换为**电信号** | | **符号识别** | 伞形符号方向（通电/断电） | 准确理解电路动作逻辑顺序 | | **时间常数 $\tau$** | $\tau = RC$ 或 $\tau = L/R$ | 延时长短的理论计算依据 | | **Y-Δ 自动切换** | $KT$ 触点驱动 $KM$ 切换 | 减小起动电流对电网的冲击 | 已经根据吉培荣、秦曾煌和邱关源教材的内容为你梳理了时间控制的知识点。如果你需要更深入了解具体的 **Y-Δ 降压起动电路图分析** 或 **555 定时器的内部工作原理**，可以随时告诉我。 # 可编程控制器 ## 可编程控制器概述 ### 可编程控制器的定义与性质 (Definition and Nature) * **概念**：可编程控制器（PLC）是将 **3C 技术**（Computer 微型计算机技术、Control 控制技术、Communication 通信技术）融为一体，专门为工业环境下应用而设计的**工业控制计算机**。 * **起源**：PLC 是在传统的**继电器控制系统**基础上产生的，旨在克服继电器控制线路复杂、灵活性差和可靠性低等缺点。 * **物理性质**：它内部带有指令存储器，配备数字或模拟的输入/输出（I/O）接口，以**位运算（逻辑运算）**为主。 ### PLC 的核心特点 (Key Features) —— **本节重点** * **高可靠性与强抗干扰能力**：采用大规模集成电路和严格的抗干扰措施，能在恶劣的工业环境下稳定运行。 * **通用性与灵活性**：改变控制功能只需修改软件程序，无需改动外部硬件接线。 * **编程简单**：主要采用**梯形图（Ladder Diagram）**语言，其形式与继电接触器控制电路图非常相似，易于技术人员掌握。 * **接口丰富**：具有标准化的 I/O 模块，能直接驱动接触器线圈等执行元件。 ### 可编程控制器的基本功能 (Basic Functions) PLC 不仅能完成逻辑控制，还具备以下功能： 1. **逻辑控制**：取代中间继电器和时间继电器，实现复杂的组合逻辑和顺序控制。 2. **定时/计数控制**：内部设有大量的定时器（T）和计数器（C）。 3. **算术运算与数据处理**：进行数据的采集、传输及数学运算。 4. **通信联网**：实现 PLC 之间以及 PLC 与上位机之间的数据交换。 ### PLC 控制系统的工作原理与逻辑“公式” 在 PLC 控制中，硬件接线与内部程序逻辑分离。通常 PLC 的输出端不直接驱动大容量电机，而是驱动**接触器线圈**，再由接触器主触点控制电机。 #### 典型例子：三相异步电动机正反转逻辑参考吉培荣教材中的电动机正反转控制流程： * **I/O 分配**： * 输入：$I0.0$（停止按钮 SB1）、$I0.1$（正转按钮 SB2）、$I0.2$（反转按钮 SB3）、$I0.3$（热继电器 FR）。 * 输出：$Q0.0$（正转接触器线圈 KM1）、$Q0.1$（反转接触器线圈 KM2）。 #### 逻辑推导公式（连等布尔逻辑）：以正转输出 **$Q0.0$** 为例，其逻辑状态取决于输入条件的组合： **$$Q0.0 = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0} \cdot \overline{I0.2} \cdot \overline{Q0.1} \cdot \overline{I0.3}$$** * **变量含义**： * **$(I0.1 + Q0.0)$**：起动与**自锁**环节。按下起动按钮 $I0.1$ 或输出 $Q0.0$ 已接通，则该项为 1。 * **$\overline{I0.0}$**：停止环节。停止按钮（动断触点）未按下时为 1。 * **$\overline{I0.2}$**：**按钮联锁**。反转起动按钮未按下时为 1。 * **$\overline{Q0.1}$**：**电气联锁**（互锁）。反转接触器线圈未获电时为 1。 * **$\overline{I0.3}$**：**过载保护**。热继电器未动作时为 1。 * **结论**：当上述所有逻辑条件同时满足（逻辑乘为 1）时，正转接触器获电，电机起动。 ### 学习总结表 | 知识点 | 关键要素 | 实践意义 | | :--- | :--- | :--- | | **技术核心** | 3C 技术集成 | 标志着从硬接线逻辑向**软件逻辑**的转变 | | **控制方式** | 循环扫描方式 | 确保控制过程的高实时性与确定性 | | **输入/输出** | I/O 地址分配 | 将物理设备（按钮、电机）映射为内存地址 | | **编程模型** | 梯形图 | 降低了工业自动化系统的设计与维护门槛 | 通过本节的学习，应重点理解 PLC 如何通过**软件逻辑**替代继电器的**硬件逻辑**。如果您需要进一步了解具体的 **S7-200 指令系统** 或 **PLC 内部扫描周期的工作过程**，可以继续向我提问。 ## PLC的基本结构和工作原理 ### PLC 的硬件基本结构 (Basic Hardware Structure) PLC 在本质上是一台专为工业控制设计的**微型计算机**。其硬件系统由以下核心部分组成： * **中央处理器 (CPU)**：PLC 的“大脑”和“总指挥”。它负责接收并存储用户程序，在循环扫描过程中读取输入变量，执行逻辑运算，并将结果送往输出端。 * **存储器 (Memory)**： * **系统程序存储器**：存放 PLC 制造厂家编写的系统程序（类似于电脑的操作系统的核心）。 * **用户程序及数据存储器**：存放用户编写的梯形图程序及运行过程中产生的各类中间数据。 * **输入接口 (Input Interface)**：接收外部主令电器（如按钮 SB、行程开关 ST）或传感器送来的信号。为了提高抗干扰能力，输入电路通常带有**光电耦合隔离**功能。 * **输出接口 (Output Interface)**：将 CPU 运算后的逻辑状态转换为电信号，驱动外部执行元件（如接触器 KM 的线圈、电磁阀、信号灯）。常用的输出形式有继电器、晶体管和晶闸管三种。 * **编程器**：用于编写、修改程序并监控 PLC 运行。 --- ::: {.callout-important} ## PLC 循环扫描三阶段 1. **输入采样**：读取所有输入点状态存入输入映像寄存器 2. **程序执行**：从左到右、从上到下依次执行用户程序 3. **输出刷新**：将输出映像寄存器内容传送到输出模块一个扫描周期通常为 **1–100 ms**。 ::: ### PLC 的工作原理：循环扫描 (Scanning Principle) 与传统继电器控制系统（并行工作）不同，PLC 采用的是**周期性循环扫描方式**。 #### 扫描周期的三个阶段： 1. **输入采样阶段**：PLC 按顺序扫描所有输入端子，将其状态（0 或 1）读入内部的**输入影像寄存器**中。在此阶段之后，即便外部输入信号发生变化，影像寄存器的内容也不会改变，直到下一个周期的采样阶段。 2. **程序执行阶段**：CPU 按照用户程序（梯形图）由左向右、由上而下的顺序逐行进行逻辑运算。运算结果（如软继电器的状态）立即存入对应的**元件映像寄存器**。 3. **输出刷新阶段**：所有程序执行完毕后，将输出映像寄存器的状态集中转存到**输出锁存器**，通过物理输出接口驱动外部负载。 --- ### 核心概念：“软继电器” (Logic Relays) PLC 内部的逻辑元件（如 $I$、$Q$、$M$、$T$、$C$）被称为“软继电器”。 * **概念**：它们并不是物理实体，而是 PLC 内存（寄存器）中的一个**位 (Bit)**。 * **例子**：$I0.1$ 对应 PLC 的物理输入端子 1。在梯形图中，它的常开/常闭触点可以被无限次使用，这反映了邱关源《电路》中所强调的**逻辑约束**优于硬件物理约束的思想。 --- ### 逻辑控制“公式”与推导 (Logic Formulas) 在 PLC 的原理分析中，我们不使用复杂的基尔霍夫方程，而是使用**布尔逻辑公式**。 #### 例子：异步电动机直接起动控制（自锁逻辑）物理设备：停止按钮 $SB_1$（接 $I0.0$）、起动按钮 $SB_2$（接 $I0.1$）、输出线圈 $KM$（接 $Q0.0$）。 **逻辑推导（连等式）**：设线圈 $Q0.0$ 的逻辑状态为 $L$： **$$L = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0}$$** * **变量含义**： * **$I0.1$**：起动输入，按下为 1。 * **$Q0.0$**（括号内）：输出继电器的辅助常开触点，实现**自锁**功能。 * **$\overline{I0.0}$**：停止输入，正常状态（未按下）为 1。由于 PLC 内部程序处理通常与硬件接线配合，这里假设 $SB_1$ 为常闭按钮且接在 $I0.0$，则程序中使用 $I0.0$ 的常开触点代表“通路”。 * **结论**：一旦 $I0.1$ 被触发且 $I0.0$ 未切断，则输出 $L=1$，且由于 $Q0.0$ 反馈闭合，逻辑得以保持。 --- ### scan time 计算基础虽然教材未给出复杂的微积分公式，但在性能评价中涉及扫描周期 $T$： **$$T \approx T_{input\_process} + N \times T_{instruction} + T_{output\_process}$$** * **$T$**：总执行周期（ms）。 * **$N$**：程序步数。 * **$T_{instruction}$**：平均每条指令的执行时间。 * **物理意义**：当扫描周期过长时（超过信号脉冲宽度），会出现“输入漏计”现象。 ### 学习建议在学习第 9 章第 2 节时，应重点理解 **PLC 映像寄存器**的概念。 ## PLC的程序编制 ### PLC 编程语言种类 (Programming Languages) * **梯形图 (Ladder Diagram, LAD)**：最基本的编程语言，其符号与继电器控制电路非常相似，直观易懂。 * **指令语句表 (Statement List, STL)**：类似于计算机汇编语言，由操作码和操作数组成，用于小型 PLC 或复杂逻辑表达。 * **功能块图 (FBD)**：利用逻辑门符号表示控制逻辑。 ### 梯形图的基本结构与概念 (LAD Structure) * **母线 (Bus Bar)**：梯形图两侧的垂直线。**左母线**起始逻辑，**右母线**终止逻辑。 * **梯级 (Step/Rung)**：每一个继电器线圈为一个逻辑行，称为一个梯级。 * **触点 (Contact)**：代表输入条件，如按钮 $SB$ 或行程开关 $ST$。在 PLC 内部表现为影像寄存器的“位”状态。 * **线圈 (Coil)**：代表输出结果，驱动外部执行元件如接触器 $KM$ 线圈。 * **网络 (Network)**：程序段被网络分开，一个网络通常只包含一个完整的逻辑输出段。 ### PLC 用户程序结构 (User Program Structure) 用户程序通常由三部分组成： 1. **主程序**：每个扫描周期都执行，是控制逻辑的核心。 2. **子程序**：可选部分，仅在被主程序调用时执行。 3. **中断程序**：可选部分，仅在特定中断事件发生时执行。 ::: {.callout-tip} ## 梯形图编程规则 - 线圈不能放在左母线左侧，触点不能放在右母线右侧 - 同一编号线圈一般只能出现一次 - 触点可无限次串并联使用 - 从上到下、从左到右扫描执行 ::: ### PLC 编程的规则与原则 (Programming Rules) * **顺序原则**：程序应按**自上而下，从左至右**的顺序编写。 * **输出唯一性**：同一操作数的输出线圈在一个程序中**不能使用两次**（双线圈冲突），否则会导致逻辑混乱。 * **线圈位置**：线圈不能直接与左母线相连，必须经过触点。若需始终输出，需串联特殊标志位（如 SM0.0）。 * **性能优化原则**： * **上重下轻**：串联触点多的支路尽量放在上部。 * **左重右轻**：并联触点多的支路应靠近左母线。 ### 基本编程指令 (Basic Instructions) 参考秦曾煌教材中的常用指令： * **ST (Start / LD)**：起动指令，从左母线开始取用常开触点。 * **AN (And)**：串联常开触点。 * **OR (Or)**：并联常开触点。 * **OT (Out)**：驱动输出线圈。 * **ED (End)**：程序结束。 ### 控制逻辑“公式”推导：电动机自锁控制 (Logic Derivation) 以三相异步电动机起保停控制为例，我们可以将其逻辑抽象为布尔方程。 **变量含义**： * $L$：输出状态（如线圈 $Q0.0$）。 * $S_{start}$：起动输入（如 $I0.1$）。 * $S_{stop}$：停止输入（如 $I0.0$）。 * $S_{aux}$：自锁辅助触点（在 PLC 中即为输出位 $Q0.0$ 本身）。 **逻辑公式推导（连等逻辑）**： **$$L = (S_{start} + S_{aux}) \cdot \overline{S_{stop}}$$** * **公式推导过程**： 1. 按下起动按钮，输入 $S_{start}=1$，此时 $(1+0)=1$。 2. 若停止按钮未按下，则 $\overline{S_{stop}}=1$。 3. 输出结果 $L = 1 \cdot 1 = 1$，电动机起动。 4. 松开起动按钮，$S_{start}=0$，但由于输出已为 1，自锁触点 $S_{aux}=1$，此时 $(0+1)=1$。 5. 逻辑保持 $L = 1 \cdot 1 = 1$，实现**自锁**。 ### 典型编程实例：正反转控制 (Example) 在正反转控制中，必须加入**互锁**逻辑以防短路： * **正转输出 $Q0.0$ 逻辑**： **$$Q0.0 = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0} \cdot \overline{Q0.1}$$** * **变量解释**： * $I0.1$：正转按钮。 * $I0.0$：总停按钮。 * $\overline{Q0.1}$：**反转互锁**（当反转线圈获电时，此项为 0，强行断开正转回路）。 ### 邱关源《电路》理论延伸邱关源教材强调电路的**模型化**与**约束关系**。在 PLC 程序编制中： * **元件约束**：PLC 内部的“软继电器”打破了物理元件寿命和数量的限制，同一个地址的触点可以**无限次使用**。 * **拓扑约束**：梯形图的每一行逻辑本质上是一个受控的分支。与基尔霍夫定律 (KVL) 描述的回路电压守恒不同，PLC 梯形图描述的是**逻辑电位的传递**。通过本节学习，您应能熟练将继电接触器原理图（硬件逻辑）转化为 PLC 梯形图（软件逻辑）。如果您需要进一步分析具体的 **定时器/计数器编程** 或 **S7-200 寻址方式**，可以继续提问。 ## S7-200系列PLC的基本指令 ### 标准触点指令（位逻辑指令）触点指令代表 CPU 对存储器位状态的**读操作**。在 PLC 编程中，触点的使用次数是**不受限制**的。 * **LD (Load) 装入常开触点**：常开触点逻辑运算的开始。 * **LDN (Load Not) 装入常闭触点**：常闭触点逻辑运算的开始，对操作数状态取反。 * **A (And) 串联常开 / AN (And Not) 串联常闭**：用于单个触点的逻辑“与”运算。 * **O (Or) 并联常开 / ON 并联常闭**：用于单个触点的逻辑“或”运算。 ### 输出指令（赋值指令） * **符号**：`=` * **概念**：代表 CPU 对存储器的**写操作**。 * **功能**：将逻辑运算的结果输出到指定的影像寄存器位，驱动虚拟线圈。 * **注意**：在用户程序中，**同一线圈通常只能使用一次**（双线圈冲突原则），否则会导致逻辑混乱。 ### 正负跳变指令（边缘检测）用于检测输入信号状态的瞬时变化。 * **EU (Edge Up) 正跳变**：检测到由 OFF 变为 ON 的上升沿时，接通**一个扫描周期**。 * **ED (Edge Down) 负跳变**：检测到由 ON 变为 OFF 的下降沿时，接通一个扫描周期。 * **例子**：在需要脉冲触发的计算电路中，利用 EU 指令防止由于按钮长按导致的重复计数。 ### 置位与复位指令 * **S (Set) 置位**：使能有效后，从起始位开始的 $N$ 个位置 1 并**保持**。 * **R (Reset) 复位**：使能有效后，从起始位开始的 $N$ 个位清 0 并**保持**。 * **与输出指令的区别**：`=` 指令随逻辑条件实时变化，而 S/R 指令具有记忆功能，直到被反向操作。 ### 定时器指令 (T) 定时器用于实现电路的时间控制。 * **核心变量**： * **PV (Preset Value)**：设定值。 * **CV (Current Value)**：当前值（累加值）。 * **Resolution**：分辨率（如 1ms, 10ms, 100ms）。 * **计算公式（连等推导）**： **$$Time = PV \times Resolution$$** * **例子**：若使用分辨率为 100ms 的定时器 T37，设定值 PV 为 50，则： $Time = 50 \times 100\text{ms} = 5000\text{ms} = 5\text{s}$。 ### 立即操作指令 * **概念**：允许程序绕过扫描周期的限制，对输入/输出点进行**快速且直接**的存取。 * **应用**：用于对响应速度要求极高的场合（如高速计数或紧急制动）。 ### 逻辑控制“公式”推导：自锁控制 (Start-Stop Logic) 结合邱关源《电路》中对网络约束的分析，PLC 逻辑可视为有向图中的通路。 **物理变量定义**： * **$Q0.0$**：输出线圈状态（电动机运行）。 * **$I0.1$**：起动按钮（常开触点）。 * **$I0.0$**：停止按钮（在程序中使用常闭逻辑）。 **逻辑布尔公式推导（连等逻辑）**： **$$Q0.0 = (I0.1 \lor Q0.0) \land I0.0$$** * **变量含义与逻辑推导**： 1. **$(I0.1 \lor Q0.0)$**：代表“起动”或“已起动自锁”。当按下起动按钮 $I0.1$ 或线圈已获电 $Q0.0=1$ 时，此项为 1。 2. **$\land I0.0$**：代表“允许运行”约束。若停止按钮未按下（$I0.0$ 常闭触点闭合），则此项为 1。 3. **结果**：只有当启动且未停止时，线圈 $Q0.0$ 才保持获电。 ### 编程规则小结表 | 规则项 | 要求描述 | 理论依据 (邱关源/吉培荣) | | :--- | :--- | :--- | | **拓扑顺序** | 自上而下，从左至右 | 循环扫描的工作方式 | | **线圈位置** | 必须位于梯级最右端 | 能量流（逻辑流）的终点 | | **触点约束** | 可无限次重复使用 | 逻辑位读取不消耗物理寿命 | | **输入约束** | 不能直接驱动输入位 $I$ | 输入由外部物理电平决定 | 通过掌握这些指令，你可以将复杂的电磁继电器电路转化为高效的软件逻辑。如果你需要分析具体的**立即指令对响应延迟的影响**或**特殊继电器 SM 的用法**，可以随时提问。 ## PLC控制系统设计实例 ### PLC控制系统设计的基本流程 (Design Flow) 设计一个PLC控制系统通常遵循系统化的步骤，以确保逻辑的严密性和硬件的安全性： * **分析工艺过程**：首先必须深入了解被控设备的动作要求、动作顺序及保护环节。 * **确定与分配 I/O 点**：统计系统所需的输入信号（如按钮、行程开关）和输出信号（如接触器线圈、信号灯），并编制 **I/O 地址分配表**。 * **例子**：在电动机控制中，停止按钮通常分配给 $I0.0$，起动按钮分配给 $I0.1$，接触器线圈分配给 $Q0.0$。 * **PLC硬件接线图设计**：根据分配好的地址绘制物理接线图，注意 PLC 输出端通常不直接驱动大功率负载，而是通过中间继电器或接触器进行功率放大。 * **程序编写（梯形图 LAD）**：根据工艺流程编写控制软件。 * **运行与调试**：通过模拟运行或现场调试修正逻辑错误。 ### 核心概念与逻辑实例在设计实例中，最经典的是**三相鼠笼式异步电动机的正反转控制**。 * **互锁 (Interlocking)**：为了防止正、反转接触器同时吸合导致电源相间短路，必须在程序和硬件上设置制约关系。 * **自锁 (Self-locking)**：利用输出位 $Q$ 的辅助触点并联在起动按钮上，实现信号的保持。 * **保护环节**：包括过载保护（FR接入输入点）和短路保护（外部熔断器 FU）。 ### 控制逻辑公式与推导 PLC控制逻辑可以抽象为布尔逻辑表达式。这反映了邱关源《电路》中提到的**元件约束与拓扑约束**在逻辑层面的体现。 #### 电动机正反转控制逻辑公式（连等式推导）：以正转线圈输出 **$Q0.0$** 为例，其逻辑状态 $L$ 的推导如下： **$$Q0.0 = (I0.1 + Q0.0) \cdot \overline{I0.0} \cdot \overline{Q0.1} \cdot \overline{I0.3}$$** * **变量含义**： * **$I0.1$**：正转起动按钮（动合触点）。 * **$Q0.0$**（括号内）：正转接触器的自锁触点。 * **$\overline{I0.0}$**：停止按钮逻辑（假设外部接常闭点，程序内取常开逻辑以实现通路）。 * **$\overline{Q0.1}$**：**反转互锁**。只有当反转线圈 $Q0.1$ 未获电时，正转才能起动。 * **$\overline{I0.3}$**：**热继电器保护**。当电机过载时 $I0.3$ 动作，强行切断输出。 ### 时间与计数控制公式在设计如“自动往返控制”或“顺序启动”实例时，常涉及定时器指令。 * **定时时间计算公式**： **$$T_{delay} = PV \times Resolution$$** * **变量含义**： * **$T_{delay}$**：实际延时时间。 * **$PV$**：预设值（Preset Value），存放在设定值寄存器中。 * **$Resolution$**：分辨率。S7-200中常见的有 1ms, 10ms, 100ms。 * **例子**：若使用 T37（100ms 分辨率），设定值 $PV=50$，则 $T_{delay} = 50 \times 0.1\text{s} = 5\text{s}$。 ### 理论联系实际 (邱关源/秦曾煌观点集成) * **逻辑约束取代物理接线**：邱关源教材强调电路是由元件和结构约束共同决定的。 * **可靠性设计**：秦曾煌教材指出，PLC控制系统在恶劣工业环境下优于继电器系统，因为其内部采用光电隔离等技术，有效解决了干扰问题。在学习第 9 章第 5 节时，建议你亲手绘制 **I/O 分配图**和**梯形图**，并尝试针对不同的工业需求（如传送带顺序控制、水箱水位控制）进行逻辑推导。 # 电工测量 ## 测量的基本概念 ### 测量的定义与过程 * **概念**：测量是人们对客观事物取得数量概念的认识过程，即为确定被测对象的量值而进行的实验过程。 * **本质**：将被测量与所采用的参考量（标准量）进行比较的过程。 ### 电测量方法的分类 (核心知识点) 根据数据获取方式、标准量参与程度及仪表显示形式，测量方法分为以下三类： #### 按测量数据得到的方式分类 * **直接测量法**：直接从仪表读数得到数值。 * **例子**：用电压表直接测量负载两端的电压。 * **间接测量法**：利用直接测量的物理量与被测量间的函数关系计算得出。 * **例子**：通过测量电压 $U$ 和电流 $I$，根据欧姆定律计算电阻 $R = U/I$。 * **组合测量法**：在多个直接测量数据的基础上，通过联立方程组求解。 * **例子**：在不同温度下测量电阻，通过公式 $R_t = R_{20}。 #### 按标准量是否直接参与分类 * **直读法**：直接从仪表读数，准确度取决于仪表本身，计量标准物不直接参与。 * **比较测量法**：被测量与标准量直接对比。 * **例子**：用电桥（如邱关源教材中提到的直流/交流电桥）测量电阻，标准电阻直接参与测量。 #### 按仪表指示值的有无分类 * **偏转法**：利用指针偏转示值获取结果。 * **零值法**：利用补偿或平衡原理，通过指零仪表检查是否达到平衡。 --- ::: {.callout-important} ## 测量误差核心公式 $$\Delta_m = \pm K\%\times A \quad (最大允许绝对误差)$$ $$r_m = \frac{\Delta_m}{x}\times 100\% = \frac{K\% \cdot A}{x}\times 100\% \quad (最大相对误差)$$ **推论**：读数 $x$ 越接近量程 $A$，相对误差越小。测量时指针应在量程 **2/3 以上**。 ::: ### 测量误差及其计算公式 #### 绝对误差 ($\Delta$) 表示测量值与真实值之间的差值。 * **最大允许绝对误差 ($\Delta_m$) 计算公式**： **$$\Delta_m = \pm K\% \times A$$** * **变量含义**：$K$ 为仪表的准确度等级；$A$ 为仪表的量程（满刻度值）。 #### 相对误差 ($r$) 绝对误差与测量值之比，反映测量的精确程度。 * **测量结果的最大可能相对误差公式**： **$$r_m = \frac{\Delta_m}{x} \times 100\% = \frac{K\% \cdot A}{x} \times 100\%$$** * **变量含义**：$x$ 为被测量的读数数值。 * **推论**：在同一仪表下，读数 $x$ 越接近量程 $A$，相对误差越小。因此，测量时应尽量使指针指在量程的 **2/3 以上** 区域。 --- ### 电工仪表的准确度与性能指标 #### 准确度等级 (Accuracy Class) 国家规定仪表准确度分为 12 个等级：0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 5, 10, 20。 * **应用场景**：0.1~0.2 级用于标准表；0.5~1.5 级用于实验室；1.0~2.5 级用于工矿现场监视。 #### 仪表的灵敏度 ($S$) 与仪表常数 ($C$) * **灵敏度 $S$**：单位被测量引起指针偏转的角度或格数。 **$$S = \frac{\alpha}{X}$$** * **仪表常数 $C$**：灵敏度的倒数，表示每偏转一格所代表的被测量数值。 **$$C = \frac{1}{S} = \frac{\text{量程 } A}{\text{满刻度格数 } \alpha_{max}}$$** * **例子**：量程 50$\mu$A、满刻度 100 格的表，其 $C = 50/100 = 0.5 \mu$A/格。若指针指在 70 格，读数即为 $70 \times 0.5 = 35 \mu$A。 ### 误差消除与选择原则 * **合理选型**：并不是准确度等级越高测量就越准。应结合量程进行评估。 * **例子**：测量 40V 电压，用 0.5 级、100V 量程的表，误差为 $\pm 0.5V$；用 1.0 级、50V 量程的表，误差为 $\pm 0.5V$。两者最大绝对误差相同，但后者量程更贴近被测量，实际使用中通常更优。 ## 常用的电工仪表 ### 电测量指示仪表的结构与力矩 * **指示仪表的作用**：将被测电量（如电流、电压、功率等）转换为可动部分的偏转角 $\alpha$，使两者保持一定的比例关系。 * **基本结构**：由**测量线路**（将被测量 $x$ 转换为测量机构可接受的过渡电量 $y$）和**测量机构**（将 $y$ 转换为偏转角 $\alpha$）组成。 * **力矩平衡原理**： * **转动力矩 ($M$)**：由电磁力产生，使指针偏转。 * **反作用力矩 ($M_f$)**：通常由游丝或张丝产生，其大小与偏转角成正比，即 $M_f = D\alpha$（$D$ 为反作用系数）。 * **阻尼力矩**：由阻尼器（空气式或磁感应式）产生，用于限制指针摆动，使之迅速稳定。 * **支承装置**：常见的有轴尖轴承支承和张丝弹片支承，后者可消除摩擦误差，提高准确度。 ### 磁电系仪表 (Magnetoelectric Instrument) —— 测直流 * **结构**：由永久磁铁产生均匀磁场，可动线圈绕在铝框上。 * **工作原理公式推导**：当线圈通电 $I$ 时，电磁力 $F = NBlI$。产生的转动力矩为： **$$M = 2Fr = NBl(2r)I = NBSI$$** 当力矩平衡（$M = M_f$）时： **$$NBSI = D\alpha \implies \alpha = \frac{NBS}{D} I = S_I I$$** * **变量含义**：$N$ 为线圈匝数；$B$ 为磁感应强度；$S$ 为线圈有效面积；$D$ 为游丝反作用系数；$S_I$ 为灵敏度。 * **技术特性**： * **刻度均匀**：偏转角与电流一次方成正比。 * **极性限制**：只能测量**直流**，若测交流，指针会因惯性在零位附近颤动。 * **量程扩大**： * **电流表**：并联**分流器** $R_{fl}$。 * **电压表**：串联高阻值**附加电阻** $R_{fj}$。 ### 电磁系仪表 (Electromagnetic Instrument) —— 测交流有效值 * **结构**：由固定线圈和线圈内部的定铁片、动铁片组成。 * **工作原理公式**： **$$\alpha = K(NI)^2$$** * **变量含义**：$K$ 为结构系数；$NI$ 为安匝数。 * **技术特性**： * **交直流两用**：测量交流时，读数为**有效值**。 * **刻度不均匀**：由于偏转角与电流平方成正比，标尺具有平方律特性，起始段刻度密集。 ### 电动系仪表 (Electrodynamic Instrument) —— 测功率 * **结构**：由固定线圈（电流线圈）和可动线圈（电压线圈）组成。 * **工作原理公式**： * **直流**：$\alpha = KI_1I_2$。 * **交流**：**$$\alpha = KI_1I_2 \cos \phi$$** * **变量含义**：$I_1, I_2$ 为两线圈电流有效值；$\phi$ 为两者相位差。 * **核心应用：功率表 (Wattmeter)**： * **概念**：电流线圈串联入电路，电压线圈并联入电路。 * **接线例子**：必须遵守“**发电机端守则**”，即标有“*”号的端钮应接向电源同一侧。若电压线圈反接，指针会反向偏转。 ### 其他系仪表 * **铁磁电动系**：在电动系基础上加入铁心，转动力矩大，防御外磁场能力强。 * **静电系**：利用电荷间作用力，主要用于测量**高电压**，几乎不消耗能量。 * **感应系**：利用交变磁通在铝盘中产生的涡流，主要用于**单相电度表**测量电能。 ### 万用表 (Multimeter) * **模拟式万用表**： * **核心**：采用磁电系测量机构作为表头。 * **测量直流电压公式**：$U = I_{满偏} \times (R_{表头} + R_{附加})$。 * **交流测量**：必须通过**整流电路**将交流变为直流后测量，读数一般按有效值刻度。 * **数字式万用表**： * **组成**：由 A-D 转换器、电子计数器和显示器组成。 * **特点**：输入阻抗极高（如 $10\text{M}\Omega$），对原电路影响极小，读数直观。 ### 测量选择建议（综合邱关源/秦曾煌观点） * **电流测量**：要求电流表内阻 $R_A$ 远小于负载电阻 $R$，以减小仪表接入引起的误差。 * **电压测量**：要求电压表内阻 $R_V$ 远大于被测电路等效电阻，内阻越大测量越准。 * **频率影响**：在测量非正弦交流电时，应注意不同类型仪表的频率响应范围和读数含义。 ## 电参量的测量 ### 电流与电压的测量 (Measurement of Current and Voltage) * **电流的测量**：电流表（安培表）必须**串联**在被测电路中。 * **电压的测量**：电压表（伏特表）必须**并联**在被测电路两端。 * **量程扩大**： * **直流**：电流表并联分流器，电压表串联倍增电阻。 * **交流**：大电流通过**电流互感器**接入，高电压通过**电压互感器**接入。 * **单位与参考方向**：电流单位为安培(A)，电压单位为伏特(V)。 ### 功率的测量 (Measurement of Power) 功率的测量通常使用**电动系功率表**（瓦特表）。 * **接线规则——“发电机端守则”**：功率表有两个线圈（电流线圈和电压线圈），每个线圈各有一个标有星号“*”的端钮。接线时，这两个端钮必须接在**电源的同一侧**，否则指针会反偏。 * **单相功率计算公式**： **$$P = UI \cos \phi$$** * **变量含义**：$P$ 为有功功率（W）；$U, I$ 为电压和电流的有效值；$\phi$ 为电压与电流的相位差。 * **三相功率测量（二功率表法）**：在三相三线制电路中，常用两个功率表测量总功率。 * **总功率推导公式**： **$$P = W_1 + W_2$$** * **无功功率推导公式**： **$$Q = \sqrt{3}(W_1 - W_2)$$** * **变量含义**：$W_1, W_2$ 分别为两个功率表的读数。 ### 电阻的测量 (Measurement of Resistance) * **伏安法（间接测量法）**：利用欧姆定律，通过测量电压 $U$ 和电流 $I$ 来计算电阻。 * **公式**：**$$R = \frac{U}{I}$$** * **测量误差分析**：由于仪表内阻影响，分为**电流表内接法**（适测大电阻）和**电流表外接法**（适测小电阻）。 * **电桥法（比较测量法）**：利用直流电桥（如惠斯通电桥）进行高精度测量。 * **万用表测量**：利用内部电池作为电源，将被测电阻与基准电阻串联，根据压降原理转换成阻值读数。 ### 交流电路参数的测量（三表法）在交流电路中，若需测量一个阻抗 $Z = R + jX$ 的参数，可使用电压表、电流表和功率表进行测量。 * **连等式推导过程**： 1. **测量阻抗模 ($Z$)**：**$$Z = \frac{U}{I}$$** 2. **测量电阻 ($R$)**：由于 $P = I^2 R$，得 **$$R = \frac{P}{I^2}$$** 3. **计算电抗 ($X$)**：根据阻抗三角形 $Z^2 = R^2 + X^2$，得 **$$X = \sqrt{Z^2 - R^2}$$** * **变量含义**：$U, I, P$ 分别为三表的读数有效值。 ### 数字化测量基础 * **数字万用表**：其核心是 **A/D 转换器**，将连续的模拟电量转换为离散的数字量显示。 * **测量误差指标**：引用误差反映仪表的准确度等级 $K$。 **$$\Delta_m = \pm K\% \times A$$** * **变量含义**：$\Delta_m$ 为最大允许绝对误差，$A$ 为满量程值。 * **例子**：用 1.5 级、量程 30A 的表测量 20A 电流，其最大绝对误差为 $30 \times 1.5\% = 0.45A$，最大相对误差则为 $0.45 / 20 \times 100\% = 2.25\%$。 ### 非电量的电测技术 * **概念**：将位移、压力、温度等非电物理量通过**传感器**转换为电信号（电压、电流等），再进行测量。 * **系统结构**：待测非电量 $\to$ 传感器 $\to$ 测量电路 $\to$ 显示/记录。 ## 非电量电测技术简介 ### 非电量的定义与分类 * **概念**：在科学研究和生产实践中，除了电压、电流、电阻等电气量外，大量的其他物理量（如**位移、压力、温度、流量、液位、速度**等）、化学量及生物量统称为**非电量**。 * **测量性质**：非电量测量分为**静态测量**和**动态测量**；按信号性质可分为**模拟量**和**数字（开关）量**。 ### 非电量电测系统的结构该系统通常由四个关键环节组成： **$$待测量 \to 传感器 \to 测量电路 \to 记录/显示/处理$$** * **传感器 (Sensor)**：整个系统的关键环节，负责将非电量转换为电量。 * **测量电路**：将传感器输出的微弱或不便处理的电信号（如电容变化、微小电压）转换为标准的电压或电流信号。 ::: {.callout-note} ## 常用传感器类型速查 | 类型 | 原理 | 典型例子 | |:--|:--|:--| | 电阻式 | 阻值随物理量变化 | 应变片、热敏电阻 | | 热电式 | 热电效应 | 热电偶 | | 压电式 | 压电效应 | 压电晶体 | | 光电式 | 光强变化 | 光敏电阻 | ::: ### 核心概念：传感器 (Transducer) * **定义**：用于实现非电量转换为电量的装置或器件。 * **常用种类与实例**： * **电阻式**：利用阻值随物理量变化。例子：**应变片**（将位移/应变转换为电阻变化）、**热敏元件**（温度转换为电阻）。 * **热电式**：利用热电效应。例子：**热电偶**（将温度差转换为电动势）。 * **磁电/压电式**：利用力学效应。例子：**压电晶体**（将压力转换为电荷/电压）。 * **光电式**：利用光强变化。例子：**光敏元件**（发光强度转换为电阻或电流）。 ### 关键性能指标与逻辑公式在非电量电测中，**灵敏度 ($S$)** 是衡量传感器性能最重要的参数。 #### 通用灵敏度定义公式 **$$S = \frac{\Delta Y}{\Delta X}$$** * **变量含义**：$S$ 为灵敏度；$\Delta Y$ 为输出电量的变化量；$\Delta X$ 为输入非电量的变化量。 * **例子**：**热电偶**的灵敏度为 $40 \mu V/^\circ C$，意味着温度每升高 $1^\circ C$，输出电压增加 $40 \mu V$。 #### 位移与阻值转换（以电位计传感器为例） **$$R_x = S \cdot d$$ ** * **变量含义**：$R_x$ 为输出电阻 ($\Omega$)；$d$ 为位移长度 ($mm$)；$S$ 为位移灵敏度 ($\Omega/mm$)。 * **推导逻辑**：对于线性电位计，电阻与触点位移成正比。若 $S = 50 \Omega/mm$，位移 $2mm$ 时，阻值变为 $100 \Omega$。 #### 瞬时电功率与非电量关联（高级应用）在某些精密测量（如光学功率传感）中，电功率 $p(t)$ 作为待测量，其公式推导为： **$$p(t) = u(t)i(t) = 2U \cos(\omega t) \cdot 2I \cos(\omega t - \phi) = P$$ * **变量含义**：$P$ 为有功功率（平均功率）；$Q$ 为无功功率；$\phi$ 为功率因数角。 * **意义**：通过光学介质（如 BGO 晶体）的电光和磁光效应，可以将上述复杂的功率分量调制在光波中实现非接触测量。 ### 常用传感器典型参数汇总表 | 传感器类型 | 变换功能 | 灵敏度 ($S$) | 典型量程 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | **热电偶** | 温度 $\to$ 电压 | $40 \mu V/^\circ C$ | $-200 \sim 1350^\circ C$ | | **压电晶体** | 压力 $\to$ 电压 | $0.29 mV/Pa$ | $7 kPa \sim 34.5 MPa$ | | **转速表** | 转速 $\to$ 电压 | $0.03 V/(r/min)$ | $100 \sim 10000 r/min$ | | **应变片** | 位移 $\to$ 电阻 | $0.05 \Omega/\mu m$ | $0.1 \sim 50 \mu m$ | | **光电池** | 光强 $\to$ 电流 | $4.91 \mu A/cd$ | $1 \sim 912 cd$ | ### 学习小结非电量电测技术的实质是**信息的跨域传递**。通过传感器，我们将无法直接记录的物理量（如波导管内的微波焦耳热。对于电路场 1. 参考方向就是电路的坐标系 2. 基尔霍夫定律: 电流的散度为0,电压的旋度为0,实际上来源于麦克斯韦方程组,我们可以将其写成一个**复势** $$ W(z)=\phi(x,y)+j\psi(x,y) $$ 其中 - $W(z)$为复势,是解析的,电场与流场相互正交,因为彼此无源无旋 - $\phi$为电势 - $\psi$为电流结合后面对正交时间的关系得到 $$ \Phi(z,t)=Re\{W(z)e^{i\omega t}\} $$

元件	伏安特性 (VCR)	阻抗 (\(Z\))	相位关系 (\(\phi = \psi_u - \psi_i\))
电阻	\(\dot{U} = R\dot{I}\)	\(R\)	\(0^\circ\) (同相)
电感	\(\dot{U} = jX_L\dot{I}\)	\(j\omega L\)	\(+90^\circ\) (电压超前)
电容	\(\dot{U} = -jX_C\dot{I}\)	\(1/(j\omega C)\)	\(-90^\circ\) (电压滞后)

特性	串联谐振 (RLC)	并联谐振 (\(R-L // C\))
谐振频率	\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)	\(\omega_0 \approx 1/\sqrt{LC}\) (当 \(R\) 较小时)
阻抗/导纳	阻抗 \(Z\) 最小，等于 \(R\)	阻抗 \(Z\) 最大，等于 \(L/RC\)
电流/电压	电流 \(I\) 最大	总电流 \(I\) 最小
别名	电压谐振 (\(U_L, U_C\) 很大)	电流谐振 (\(I_L, I_C\) 很大)
主要用途	选频、产生高压（如耐压试验）、提高功率因数

接法	电压关系	电流关系
星形 Y	\(U_l = \sqrt{3}\, U_p\)	\(I_l = I_p\)
三角形 \(\Delta\)	\(U_l = U_p\)	\(I_l = \sqrt{3}\, I_p\)

连接方式	电压关系 (\(U_L, U_p\))	电流关系 (\(I_L, I_p\))	结构特点
星形 (Y)	\(U_L = \sqrt{3}U_p\)	\(I_L = I_p\)	有中性点，可引出中性线
三角形 (\(\Delta\))	\(U_L = U_p\)	\(I_L = \sqrt{3}I_p\)	无中性点，回路内电动势代数和为零

物理量/定律	电路 (Electric Circuit)	磁路 (Magnetic Circuit)
驱动源	电动势 \(E\)	磁动势 \(F_m = NI\)
响应量	电流 \(I\)	磁通 \(\Phi\)
阻力项	电阻 \(R = \rho \frac{l}{S}\)	磁阻 \(R_m = \frac{l}{\mu S}\)
欧姆定律	\(I = E/R\)	\(\Phi = F_m/R_m\)
节点定律	\(\sum I = 0\) (KCL)	\(\sum \Phi = 0\)
回路定律	\(\sum IR = \sum E\) (KVL)	\(\sum Hl = \sum NI\)

1 电路的基本概念与两类约束

1.1 电路的基本概念

1.1.1 电路的定义与功能

1.1.2 电路模型与建模

1.1.3 电路的基本物理量与变量

1.1.3.1 电流 (Current)

1.1.3.2 电压 (Voltage)

1.1.3.3 电位 (Potential)

1.1.3.4 电动势 (Electromotive Force)

1.1.4 参考方向 (Reference Directions)

1.1.5 电磁能量与功率

1.1.5.1 电功率 (Power)

1.1.5.2 电能 (Energy)

1.2 电路元件

1.2.1 电阻元件 (Resistor Element)

1.2.2 独立电源 (Independent Sources)

1.2.2.1 理想电压源 (Ideal Voltage Source)

1.2.2.2 理想电流源 (Ideal Current Source)

1.2.3 电容元件 (Capacitor Element) —— 储能元件

1.2.4 电感元件 (Inductor Element) —— 储能元件

1.2.5 受控源 (Controlled Sources) —— 邱关源重点补充

1.3 基尔霍夫定律

1.3.1 电路拓扑的相关概念

1.3.2 基尔霍夫电流定律 (KCL)

1.3.3 基尔霍夫电压定律 (KVL)

1.3.4 独立方程数与定律应用 (核心约束)

2 电路的分析方法

2.1 电路的等效变换

2.1.1 等效变换的概念 (Concept of Equivalent Transformation)

2.1.2 电阻的串联、并联与混联

2.1.2.1 电阻的串联 (Resistors in Series)

2.1.2.2 电阻的并联 (Resistors in Parallel)

2.1.2.3 电阻的混联 (Series-Parallel Circuit)

2.1.3 电阻的星形（Y）与三角形（\(\Delta\)）连接的等效变换

2.1.4 实际电源的两种模型及其等效变换

2.1.5 举例与应用

2.2 电路的一般分析方法

2.2.1 电路方程的独立性 (Independence of Equations)

2.2.2 2b 法 (2b Method)

2.2.3 支路电流法 (Branch Current Method)

2.2.4 网孔电流法 (Mesh Current Method)

2.2.5 节点电压法 (Node Voltage Method)

2.2.6 含受控源电路的分析 (Controlled Sources) —— 邱关源重点补充

2.3 电路定理

2.3.1 叠加定理 (Superposition Theorem)

2.3.2 齐性定理 (Homogeneity Theorem)

2.3.3 戴维南定理 (Thevenin’s Theorem)

2.3.4 诺顿定理 (Norton’s Theorem)

2.3.5 最大功率传输定理 (Maximum Power Transfer Theorem)

2.3.6 置换定理 (Substitution Theorem) —— 邱关源补充

2.3.7 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) —— 邱关源补充

2.3.8 互易定理 (Reciprocity Theorem) —— 邱关源补充

2.4 电路的对偶性

2.4.1 对偶原理的概念 (Concept of Duality Principle)

2.4.2 常见对偶元素对比表

2.4.3 元件 VCR 的对偶性 (VCR Duality)

2.4.3.1 电阻与电导

2.4.3.2 电感与电容（动态元件）

2.4.4 电路连接与公式的对偶推导

2.4.4.1 阻值与导纳的对偶 (连等推导)

2.4.4.2 分压公式与分流公式的对偶

2.4.5 对偶性应用举例

2.4.6 学习意义

2.5 受控源及含受控源电路的分析

2.5.1 受控源的基本概念

2.5.2 四种基本类型的数学模型

2.5.3 含受控源电路的一般分析方法

2.5.4 受控源电路的等效变换与定理应用

2.5.5 受控源对电路特性的影响

2.6 非线性电阻电路分析

2.6.1 非线性电路的基本概念

2.6.2 非线性电阻元件的分类

2.6.3 静态电阻与动态电阻 (核心公式)

2.6.3.1 静态电阻 (Static Resistance, \(R\))

2.6.3.2 动态电阻 (Dynamic Resistance, \(r_d\)) —— 邱关源重点

2.6.4 非线性电阻电路的分析方法

2.6.4.1 解析法 (Analytical Method)

2.6.4.2 图解法 (Graphical Method) —— 最常用

2.6.4.3 分段线性化法与小信号分析法 (补充)

2.6.5 典型应用示例：倍频作用