正弦交流电

线性电路中,当激励(电压源或者是电流源按某一正弦规律变化,响应也为相同频率的正弦量时)电路中的这种状态称为正弦稳态,此时的电路称为正弦稳态电路或者是正弦交流电路

\[ i=I_m cos(\omega t +\phi_i) \]

$I_m$：幅值/振幅（最大值）。
$\phi_i$：初相位（初相），$\omega t+\phi_i$称为相位（相角）。$(\omega t+\phi_i)\rvert_{t=0}=\phi_i, \lvert \phi_i \rvert \le \pi$
$\Delta \phi$：两个同频率正弦量的初相位之差。例如 $\phi = \psi_u - \psi_i$。若 $\phi > 0$，称电压超前电流；若 $\phi < 0$，称电压滞后电流。
$\omega$：正弦量的角频率，$\omega=\frac{d \omega t+\phi_i}{dt}$

\[ \omega =\frac{2\pi}{T}\;f=\frac{1}{T} \]

也就是

\[ \omega =2\pi f (HZ) \]

有效值 (Effective Value) 基于热效应等效原则。如果在相同时间内，交流电通过电阻产生的热量与直流电产生的热量相等，则该直流电的数值即为该交流电的有效值。 \[ I^2RT=\int^T_0 i^2 Rdt \]

$$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_m \; U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 U_m$$

正弦量的相量表示法 (Phasor Representation) 利用复数来表示正弦量。相量的模对应正弦量的有效值（或最大值），相量的幅角对应正弦量的初相位。 $\lvert F \rvert=\sqrt{a^2+b^2},\theta =arctan(\frac{b}{a})=\omega t+\psi_i$

\[ F=a+jb=\lvert F \rvert e^{j \theta}=\lvert F \rvert \angle \theta \]

将时域中的三角函数运算简化为频域中的代数运算，极大地简化了交流电路的分析和计算。

相量：在字母上方加点表示，如 $\dot{I} = Ie^{j\psi_i}=I\angle\psi_i$。

有效值相量：按正弦量的有效值定义的向量
最大值相量：按正弦量的幅值定义的向量

拓扑约束与元件约束的相量形式在正弦电流电路中，当所有激励源具有相同频率时，流入（或流出）任一节点的电流相量的代数和恒等于零。 \[\sum i = 0\;\sum \dot{I} = 0\;\sum \dot{I}_m = 0\]

在正弦电流电路中，当所有激励源具有相同频率时，沿任一闭合回路绕行一周，回路中各段支路电压相量的代数和恒等于零。 \[\sum u = 0\;\sum \dot{U} = 0\;\sum Z\dot{I} = \sum \dot{E}\]

电阻元件 ($R$)：电压与电流同相 ($\phi = 0$)。满足欧姆定律：$\dot U = R\dot I$。
电感元件 ($L$)：$u=L\frac{di_L}{dt}$，电压超前电流 $90^\circ$ ($\phi = 90^\circ$)。
- 感抗/电抗 ($X_L$)($\Omega$)：表示电感对交流电流的阻碍作用，$X_L = \omega L=2\pi fL$。感纳为感抗的倒数$B_L=\frac{1}{X_L}(S)西门子$
- 复数形式：$\dot{U} = jX_L\dot{I} = j\omega L\dot{I}$。
电容元件 ($C$)：电压滞后电流 $90^\circ$ ($\phi = -90^\circ$)。
- 容抗 ($X_C$)：表示电容对交流电流的阻碍作用，$X_C = 1/(\omega C)$。
- 复数形式：$\dot{U} = -jX_C\dot{I} = \frac{1}{j\omega C}\dot{I}$。

6. RLC 串联电路与复阻抗

复阻抗 ($Z$)：$Z = R + j(X_L - X_C) = R + jX$。
- 阻抗模：$|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$。
- 阻抗角：$\phi = \arctan\frac{X_L - X_C}{R}$ [20], [21]。
交流电路的欧姆定律：$\dot{U} = Z\dot{I}$ [21]。

7. 正弦交流电路的功率

有功功率 ($P$)：电阻消耗的功率，单位为瓦 (W)。$P = UI \cos\phi$ [22], [23]。
无功功率 ($Q$)：电感和电容与电源之间进行能量交换的规模，单位为乏 (VAR)。$Q = UI \sin\phi = Q_L - Q_C$ [24], [25]。
视在功率 ($S$)：电路总的电压与电流有效值的乘积，单位为伏安 (VA)。$S = UI = \sqrt{P^2 + Q^2}$ [26], [25]。
功率因数 ($\cos\phi$)：有功功率与视在功率的比值 $\cos\phi = P/S$ [27], [28]。

8. 谐振 (Resonance)

串联谐振条件：当 $X_L = X_C$ 时，电路的电抗为零，电压与电流同相 [29], [30]。
谐振频率：$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [29], [30]。
特点：电路阻抗模最小，电流达到最大值；电感和电容两端可能出现极高的过电压 [29], [31]。

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--- auther: QMD --- # 正弦交流电线性电路中,当激励(电压源或者是电流源按某一正弦规律变化,响应也为相同频率的正弦量时)电路中的这种状态称为正弦稳态,此时的电路称为正弦稳态电路或者是正弦交流电路 $$ i=I_m cos(\omega t +\phi_i) $$ - $I_m$：**幅值**/振幅（最大值）。 - $\phi_i$：**初相位**（初相），$\omega t+\phi_i$称为相位（相角）。$(\omega t+\phi_i)\rvert_{t=0}=\phi_i, \lvert \phi_i \rvert \le \pi$ - $\Delta \phi$：两个**同频率**正弦量的初相位之差。例如 $\phi = \psi_u - \psi_i$。若 $\phi > 0$，称电压超前电流；若 $\phi < 0$，称电压滞后电流。 - $\omega$：正弦量的**角频率**，$\omega=\frac{d \omega t+\phi_i}{dt}$ $$ \omega =\frac{2\pi}{T}\;f=\frac{1}{T} $$ 也就是 $$ \omega =2\pi f (HZ) $$ 有效值 (Effective Value) 基于热效应等效原则。如果在相同时间内，交流电通过电阻产生的热量与直流电产生的热量相等，则该直流电的数值即为该交流电的有效值。 $$ I^2RT=\int^T_0 i^2 Rdt $$ $$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_m \; U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 U_m$$ 正弦量的相量表示法 (Phasor Representation) 利用复数来表示正弦量。相量的模对应正弦量的有效值（或最大值），相量的幅角对应正弦量的初相位。 $\lvert F \rvert=\sqrt{a^2+b^2},\theta =arctan(\frac{b}{a})=\omega t+\psi_i$ $$ F=a+jb=\lvert F \rvert e^{j \theta}=\lvert F \rvert \angle \theta $$ 将时域中的三角函数运算简化为频域中的**代数运算**，极大地简化了交流电路的分析和计算。相量：在字母上方加点表示，如 $\dot{I} = Ie^{j\psi_i}=I\angle\psi_i$。 - 有效值相量：按正弦量的有效值定义的向量 - 最大值相量：按正弦量的幅值定义的向量拓扑约束与元件约束的相量形式在正弦电流电路中，当所有激励源具有相同频率时，流入（或流出）任一节点的电流**相量**的代数和恒等于零。 $$\sum i = 0\;\sum \dot{I} = 0\;\sum \dot{I}_m = 0$$ 在正弦电流电路中，当所有激励源具有相同频率时，沿任一闭合回路绕行一周，回路中各段支路电压**相量**的代数和恒等于零。 $$\sum u = 0\;\sum \dot{U} = 0\;\sum Z\dot{I} = \sum \dot{E}$$ - **电阻元件 ($R$)**：电压与电流**同相** ($\phi = 0$)。满足欧姆定律：$\dot U = R\dot I$。 - **电感元件 ($L$)**：$u=L\frac{di_L}{dt}$，电压**超前**电流 $90^\circ$ ($\phi = 90^\circ$)。 - **感抗/电抗 ($X_L$)($\Omega$)**：表示电感对交流电流的阻碍作用，$X_L = \omega L=2\pi fL$。感纳为感抗的倒数$B_L=\frac{1}{X_L}(S)西门子$ - **复数形式**：$\dot{U} = jX_L\dot{I} = j\omega L\dot{I}$。 - **电容元件 ($C$)**：电压**滞后**电流 $90^\circ$ ($\phi = -90^\circ$)。 - **容抗 ($X_C$)**：表示电容对交流电流的阻碍作用，$X_C = 1/(\omega C)$。 - **复数形式**：$\dot{U} = -jX_C\dot{I} = \frac{1}{j\omega C}\dot{I}$。 ### 6. RLC 串联电路与复阻抗 * **复阻抗 ($Z$)**：$Z = R + j(X_L - X_C) = R + jX$。 * **阻抗模**：$|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$。 * **阻抗角**：$\phi = \arctan\frac{X_L - X_C}{R}$ [20], [21]。 * **交流电路的欧姆定律**：$\dot{U} = Z\dot{I}$ [21]。 ### 7. 正弦交流电路的功率 * **有功功率 ($P$)**：电阻消耗的功率，单位为瓦 (W)。$P = UI \cos\phi$ [22], [23]。 * **无功功率 ($Q$)**：电感和电容与电源之间进行能量交换的规模，单位为乏 (VAR)。$Q = UI \sin\phi = Q_L - Q_C$ [24], [25]。 * **视在功率 ($S$)**：电路总的电压与电流有效值的乘积，单位为伏安 (VA)。$S = UI = \sqrt{P^2 + Q^2}$ [26], [25]。 * **功率因数 ($\cos\phi$)**：有功功率与视在功率的比值 $\cos\phi = P/S$ [27], [28]。 ### 8. 谐振 (Resonance) * **串联谐振条件**：当 $X_L = X_C$ 时，电路的电抗为零，电压与电流同相 [29], [30]。 * **谐振频率**：$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [29], [30]。 * **特点**：电路阻抗模最小，电流达到最大值；电感和电容两端可能出现极高的过电压 [29], [31]。