概率论与数理统计

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Author

QMD

Published

April 10, 2026

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概率论基础

随机试验

Note定义：随机试验

满足以下三个条件的试验称为随机试验，记为 \(E\)：

  1. 可在相同条件下重复进行；
  2. 试验的所有可能结果已知，且不止一个；
  3. 每次试验前无法确定具体出现哪个结果。

每进行一次试验，必然出现且只能出现其中一个基本结果；任何事件都由若干基本结果组成。

样本空间与随机事件

Note定义：样本空间

随机试验 \(E\) 的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为 \(\Omega\)。\(\Omega\) 中的每个元素称为样本点，记为 \(\omega\)。

Note定义：随机事件

样本空间 \(\Omega\) 的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母 \(A, B, C\) 等表示。

事件按特殊性分为三类：

  • 基本事件：由单个样本点组成的单点集 \(\{\omega\}\)。
  • 必然事件：样本空间 \(\Omega\) 本身，每次试验必然发生。
  • 不可能事件：空集 \(\emptyset\)，每次试验都不发生。

事件的关系与运算

关系／运算 记号 含义
包含 \(A \subset B\) \(A\) 发生 \(\Rightarrow\) \(B\) 发生
相等 \(A = B\) \(A \subset B\) 且 \(B \subset A\)
并 \(A \cup B\) \(A\)、\(B\) 至少一个发生
交 \(A \cap B\) \(A\)、\(B\) 同时发生
差 \(A \setminus B\) \(A\) 发生且 \(B\) 不发生
互斥 \(A \cap B = \emptyset\) \(A\)、\(B\) 不能同时发生
对立 \(\bar{A} = \Omega \setminus A\) \(A \cup \bar{A}=\Omega\)，\(A \cap \bar{A}=\emptyset\)
Code 
\tikzset{
  every node/.style={font=\sffamily\normalsize},
  every path/.style={line width=1.5pt}
}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) rectangle (6,4);
  \node[above right] at (0,4) {$\Omega$};
  \draw[fill=red!20] (3,2) circle (1.8cm);
  \node[above=1.6cm] at (3,2) {$B$};
  \draw[fill=blue!20] (3,2) circle (0.9cm);
  \node at (3,2) {$A$};
\end{tikzpicture}

包含关系 \(A \subset B\)
Code 
\tikzset{
  every node/.style={font=\sffamily\normalsize},
  every path/.style={line width=1.5pt}
}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) rectangle (6,4);
  \node[above right] at (0,4) {$\Omega$};
  \draw[fill=blue!20] (2,2) circle (1.2cm);
  \node at (2,2) {$A$};
  \draw[fill=red!20] (4,2) circle (1.2cm);
  \node at (4,2) {$B$};
\end{tikzpicture}

互斥 \(A \cap B = \emptyset\)
Code 
\tikzset{
  every node/.style={font=\sffamily\normalsize},
  every path/.style={line width=1.5pt}
}
\begin{tikzpicture}
  \draw[fill=red!20] (0,0) rectangle (6,4);
  \node[above right] at (0,4) {$\Omega$};
  \draw[fill=blue!20] (3,2) circle (1.5cm);
  \node at (3,2) {$A$};
  \node at (5,3.2) {$\bar{A}$};
\end{tikzpicture}

对立事件 \(\bar{A} = \Omega \setminus A\)

运算性质

事件的运算满足以下基本定律：

定律 公式
交换律 \(A \cup B = B \cup A\)，\(A \cap B = B \cap A\)
结合律 \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)
分配律 \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
差化积 \(A \setminus B = A\bar{B} = A \setminus AB\)
Tip定理：德摩根律（对偶律）

对有限个或可列无穷多个事件 \(\{A_i\}\)，恒有： \[ \overline{\bigcup_{i=1}^{n} A_i} = \bigcap_{i=1}^{n} \bar{A}_i, \qquad \overline{\bigcap_{i=1}^{n} A_i} = \bigcup_{i=1}^{n} \bar{A}_i \]